基于半?yún)?shù)模型的水準(zhǔn)網(wǎng)平差

雷前坤，張俊

(貴州大學(xué)礦業(yè)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025)

1 引 言

在水準(zhǔn)測(cè)量中，受觀(guān)測(cè)條件的影響，觀(guān)測(cè)值中常常含有系統(tǒng)誤差。當(dāng)系統(tǒng)誤差小于或至多等于偶然誤差的量級(jí)時(shí)，通常不考慮系統(tǒng)誤差對(duì)觀(guān)測(cè)值的影響[1]。目前主要采用經(jīng)典最小二乘對(duì)水準(zhǔn)網(wǎng)進(jìn)行平差處理，利用該方法進(jìn)行水準(zhǔn)網(wǎng)平差時(shí)只能顧及偶然誤差對(duì)觀(guān)測(cè)值平差結(jié)果的影響，而無(wú)法顧及系統(tǒng)誤差的影響。當(dāng)系統(tǒng)誤差較大時(shí)，繼續(xù)采用經(jīng)典最小二乘進(jìn)行平差，將得不到可靠的參數(shù)估值，甚至?xí)a(chǎn)生錯(cuò)誤結(jié)論[2]。半?yún)?shù)模型是統(tǒng)計(jì)學(xué)界在20世紀(jì)80年代提出的，并被引用到測(cè)量領(lǐng)域進(jìn)行測(cè)量數(shù)據(jù)處理，在模型精化、系統(tǒng)誤差分離和減弱方面得到了廣泛應(yīng)用[3]。文獻(xiàn)[2～7]對(duì)半?yún)?shù)模型從多個(gè)方面進(jìn)行了討論，證明了半?yún)?shù)模型在某些測(cè)量數(shù)據(jù)處理方面相對(duì)于經(jīng)典最小二乘具有更高的理論精度。本文嘗試?yán)冒雲(yún)?shù)模型來(lái)對(duì)水準(zhǔn)網(wǎng)進(jìn)行平差，并將平差結(jié)果與經(jīng)典最小二乘的平差結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，得出有益結(jié)論。

2 半?yún)?shù)平差模型的原理及解算過(guò)程

2.1 半?yún)?shù)平差模型的原理

半?yún)?shù)平差模型可以表示為[2]：

L=BX+S+△

(1)

半?yún)?shù)平差模型中既含有參數(shù)分量，又含有非參數(shù)分量，參數(shù)分量用以表示參數(shù)與觀(guān)測(cè)值之間確定的函數(shù)關(guān)系，而非參數(shù)分量則表示系統(tǒng)誤差或模型誤差與觀(guān)測(cè)值之間不確定的函數(shù)關(guān)系。若系數(shù)矩陣B=0，則半?yún)?shù)平差模型變?yōu)榉菂?shù)模型；若模型誤差S=0，則半?yún)?shù)平差模型變?yōu)榫€(xiàn)性參數(shù)模型。因此，半?yún)?shù)平差模型是參數(shù)模型與非參數(shù)模型的混合模型[4，5]。

根據(jù)式(1)可以寫(xiě)出半?yún)?shù)平差模型的誤差方程：

(2)

根據(jù)最小二乘原理有

(3)

式中，P為正定方陣，是觀(guān)測(cè)值L的權(quán)陣；R是一個(gè)適當(dāng)給定的正定矩陣，稱(chēng)為正規(guī)化矩陣，R的選擇與具體問(wèn)題有關(guān)；α是一個(gè)給定的純量因子，稱(chēng)為平滑因子(或稱(chēng)平滑參數(shù))，極小化過(guò)程中在S和V之間起到平滑的作用。

根據(jù)式(2)、式(3)通過(guò)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)解算可得半?yún)?shù)平差模型的法方程：

(4)

將法方程式(4)寫(xiě)成下列形式

(5)

(6)

令N=BTPB，由于N可逆，于是有

(7)

將式(7)代入式(6)經(jīng)過(guò)整理得：

(8)

令M=P+αR-PBN-1BTP，則可得到

(9)

(10)

式中，H(α)=s+(I-s)B[BTP(I-s)B]-1BTP(I-s)，其中s=(P+αR)-1P。

從上述半?yún)?shù)平差模型的解算過(guò)程中不難看出，解算半?yún)?shù)平差模型的關(guān)鍵和核心是如何合理的構(gòu)造正規(guī)化矩陣R和選擇平滑因子α。正規(guī)化矩陣R的構(gòu)造方法歸納起來(lái)主要有構(gòu)造矩陣法、樣條函數(shù)法和時(shí)間序列法等，平滑因子α的選擇方法主要有廣義交叉核實(shí)分值函數(shù)法、信噪比值法、L-曲線(xiàn)法等[7]。本文中正規(guī)化矩陣R采用時(shí)間序列法來(lái)構(gòu)造，平滑因子α采用L-曲線(xiàn)法中的最小距離法來(lái)求解。

2.2 正規(guī)化矩陣R的構(gòu)造

(11)

則可?。?/p>

R=GTG

(12)

2.3 平滑因子α的求解

NN(α)=VT(α)PV(α)

從上列兩加權(quán)范數(shù)可以看出，當(dāng)平滑因子α取不同的值時(shí)，可以得到不同的SN(α)和NN(α)，以SN(α)為橫坐標(biāo)，NN(α)為縱坐標(biāo)畫(huà)圖，可以得到許多不同的點(diǎn)對(duì)(SN(α)，NN(α))。將這些點(diǎn)進(jìn)行曲線(xiàn)擬合，可以得到一條形狀像“L”的光滑曲線(xiàn)，稱(chēng)之為“L-曲線(xiàn)”。用該曲線(xiàn)來(lái)求解平滑因子α的方法叫作“L-曲線(xiàn)法”。用“L-曲線(xiàn)法”來(lái)求解平滑因子有兩種方法，最短距離法和最大曲率法，即曲線(xiàn)上曲率最大的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的α或曲線(xiàn)上到坐標(biāo)原點(diǎn)最近的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的α即為所要求的平滑因子的值，本文中采用最小距離法來(lái)求解平滑因子α。用最短距離法求解平滑因子α的步驟如下：

(1)通過(guò)黃金搜索法來(lái)確定平滑因子α的取值范圍；

(2)在平滑因子α的取值范圍內(nèi)，每取一個(gè)α值，進(jìn)行一次平差計(jì)算，求出一組(SN(α)，NN(α))，通過(guò)取不同的α值，分別進(jìn)行一次平差計(jì)算，得到許多組(SN(α)，NN(α))，將這些點(diǎn)進(jìn)行曲線(xiàn)擬合，則曲線(xiàn)上距離原點(diǎn)最近的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的α即確定為最終的平滑因子。

3 算例分析

圖1 水準(zhǔn)網(wǎng)

水準(zhǔn)路線(xiàn)觀(guān)測(cè)值 表1

采用經(jīng)典最小二乘和半?yún)?shù)模型對(duì)高差觀(guān)測(cè)值進(jìn)行平差。

(1)列誤差方程

(2)計(jì)算各高差觀(guān)測(cè)值的權(quán)

取10 km的觀(guān)測(cè)高差為單位權(quán)觀(guān)測(cè)，即按：

定權(quán)，得觀(guān)測(cè)值的權(quán)陣為：

經(jīng)典最小二乘平差的計(jì)算結(jié)果：

半?yún)?shù)平差模型的計(jì)算結(jié)果：

精度統(tǒng)計(jì) 表2

4 結(jié) 語(yǔ)

文中針對(duì)經(jīng)典最小二乘平差無(wú)法顧及水準(zhǔn)網(wǎng)中系統(tǒng)誤差這一問(wèn)題，采用半?yún)?shù)模型來(lái)對(duì)水準(zhǔn)網(wǎng)進(jìn)行平差并獲得了優(yōu)于經(jīng)典最小二乘的平差結(jié)果。半?yún)?shù)模型中含有描述系統(tǒng)誤差的非參數(shù)分量，在平差過(guò)程中顧及到了系統(tǒng)誤差對(duì)觀(guān)測(cè)值平差結(jié)果的影響，因此所得平差結(jié)果的精度要優(yōu)于經(jīng)典最小二乘平差。