預(yù)緊力對(duì)滾珠絲杠副精度影響的研究*

趙蕾磊，馮虎田，歐 屹

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

0 引言

滾珠絲杠副是力與運(yùn)動(dòng)的傳遞部件，具有效率高、運(yùn)行平穩(wěn)、定位精度好和使用壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于精密機(jī)械、半導(dǎo)體、醫(yī)療等產(chǎn)業(yè)[1-3]。工業(yè)上對(duì)高精度絲杠的需求也促使了學(xué)者對(duì)滾珠絲杠副的研究。滾珠絲杠副的精度損失主要與滾珠—絲杠和滾珠—螺母接觸面上的磨損有關(guān)，而磨損也是預(yù)緊力降低的原因。雖然可以通過調(diào)整預(yù)緊結(jié)構(gòu)，使?jié)L珠絲杠的預(yù)緊力回到初始水平，但如果精度損失超過極限值，則將被判定為精度失效。如果這種被判定為精度失效的滾珠絲杠副被繼續(xù)使用，滾珠絲杠副將失去其可靠性和安全性。因此，提出一種可以計(jì)算絲杠副精度損失、預(yù)測(cè)精度變化趨勢(shì)的計(jì)算方法是非常必要的。

為了計(jì)算接觸區(qū)域由磨損造成的精度損失，需要建立預(yù)緊力、摩擦力矩、磨損以及其他運(yùn)動(dòng)特性與接觸特性之間的關(guān)系。滾珠絲杠副的運(yùn)動(dòng)特性部分類似于滾珠軸承，因此，用于滾珠軸承的分析方法可以用來分析滾珠絲杠副的運(yùn)動(dòng)[4]。Lin等[5]對(duì)滾珠絲杠副的運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行了研究。研究分析了滾珠與滾道接觸區(qū)域的運(yùn)動(dòng)特性并提出了一套完整的速度分析方法。分析結(jié)果表明，滾珠與滾道間存在滑動(dòng)，此前文獻(xiàn)中公認(rèn)的無滑動(dòng)狀態(tài)是不存在的。Lin等[6]還提出了滾珠絲杠副效率的計(jì)算方法并將其應(yīng)用于絲杠副的優(yōu)化設(shè)計(jì)中。在Lin等研究的基礎(chǔ)上，Wei等[7-8]對(duì)考慮接觸角變化和彈性變形的滾珠絲杠副運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行了研究。絲杠副運(yùn)行過程中預(yù)緊力會(huì)發(fā)生變化，但預(yù)緊力難以通過普通方法測(cè)得；因此可使用摩擦力矩的變化反映預(yù)緊力的變化[9]。Zhou等[10]對(duì)滾珠絲杠副預(yù)緊力與摩擦力矩的關(guān)系進(jìn)行了研究。研究表明，預(yù)緊力與摩擦力矩呈線性相關(guān)關(guān)系。根據(jù)他們的研究，利用摩擦力矩的測(cè)量結(jié)果可以計(jì)算預(yù)緊力。本文將基于Wei等提出的改進(jìn)的滾珠絲杠副運(yùn)動(dòng)學(xué)理論和Zhou等提出的預(yù)緊力與摩擦力矩關(guān)系分析的部分內(nèi)容，結(jié)合滾珠與滾道之間滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)、彈性變形和接觸區(qū)摩擦，針對(duì)雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副，提出一種滾珠絲杠副度精度損失的計(jì)算方法。此外，還將使用已有的專為滾珠絲杠副精度損失測(cè)量而設(shè)計(jì)的試驗(yàn)臺(tái)，測(cè)量其精度損失隨時(shí)間變化的趨勢(shì)，并將試驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較與分析。

1 精度損失計(jì)算方法

1.1 角速度與線速度

根據(jù)Lin和Wei等的研究，為了描述滾珠、絲杠和螺母的運(yùn)動(dòng)，需要用到幾組坐標(biāo)系。如圖1所示，o-x′y′z′為固定坐標(biāo)系；o-xyz隨絲杠旋轉(zhuǎn)，為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系。Ω表示固定坐標(biāo)系和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的角位移；Ω對(duì)時(shí)間的微分，即為絲杠旋轉(zhuǎn)速度ω。o′是滾珠球心，o′在x-y平面上的投影點(diǎn)與o的距離為絲杠軸的節(jié)圓半徑rm。滾珠移動(dòng)的軌跡對(duì)于坐標(biāo)系o-xyz，是沿半徑為rm的圓柱面的螺旋線，其螺旋角為α。o′與o的連線在x-y平面上的投影與x夾角為φ；將φ對(duì)時(shí)間微分即可得滾珠球心對(duì)絲杠z軸的公轉(zhuǎn)角速度ωm。第三組坐標(biāo)系為Frenet移動(dòng)坐標(biāo)系，表示為o′-tnb，該坐標(biāo)系隨滾珠球心移動(dòng)，用于描述球心在圓柱螺旋軌跡上的運(yùn)動(dòng)情況。U軸為滾珠的自旋軸。2軸是U軸在t-b平面的投影。U軸與2軸的夾角為β，b軸與2軸的夾角為β′。β和β′被稱為兩個(gè)自旋角，其中β′值非常小，可在計(jì)算中認(rèn)為為0。

圖1 固定坐標(biāo)系，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系和移動(dòng)坐標(biāo)系

如果一個(gè)滾珠沿t軸方向，在螺旋升角為α、旋轉(zhuǎn)速度為ω的絲杠表面上移動(dòng)，其公轉(zhuǎn)角速度為ωm，自轉(zhuǎn)角速度為ωR。與滾珠半徑相比，滾珠與滾道間的接觸變形很小(一般接觸變形數(shù)量級(jí)為10-5～10-6m，而滾珠半徑的數(shù)量級(jí)通常為10-3m)。因此，ω,ωm和ωR之間的關(guān)系可近似表示為：

(1)

(2)

其中，αi,αo分別表示滾珠-絲杠和滾珠-螺母間的接觸角；γ′定義為γ′=db/dm，db為滾珠直徑，dm為rm的兩倍值。上述兩式是用于計(jì)算ωm與ωR的重要關(guān)系式。

圖2 滑動(dòng)速度

如圖2所示，滾珠與螺母的接觸點(diǎn)為A，滾珠與絲杠的接觸點(diǎn)為B，在兩接觸點(diǎn)上分別建立坐標(biāo)系A(chǔ)-XoYoZo和B-XiYiZi。使用VAn表示螺母上A點(diǎn)速度，VAb表示滾珠上A點(diǎn)速度；使用VBs表示絲杠上B點(diǎn)的速度,VBb表示滾珠上B點(diǎn)速度；使用VSB和VSA表示兩接觸點(diǎn)上的滑動(dòng)速度。令d=rm/cosα，接觸點(diǎn)上滑動(dòng)速度可表示為：

VSA=VAb-VAn=

(3)

VSB=VBb-VBs=

(4)

其中，ωt、ωn和ωb分別表示滾珠自轉(zhuǎn)角速度ωR在移動(dòng)坐標(biāo)系(t,n,b)三個(gè)方向上的分量，可由圖1所示幾何關(guān)系求得。

1.2 受力分析

對(duì)于滾珠絲杠副常采用的雙螺母預(yù)緊結(jié)構(gòu)，調(diào)整兩螺母之間的墊片即可達(dá)到調(diào)整預(yù)緊力的目的。由于預(yù)緊螺母不參加滾珠絲杠副的工作，因此之后的精度損失分析都將針對(duì)工作螺母。設(shè)螺母A為工作螺母。設(shè)預(yù)緊墊片通過螺母給予絲杠的軸向預(yù)緊力為Fp，工作螺母A的實(shí)際受力為FA。圖3所示為滾珠受力情況。Ffo和Ffi分別表示滾珠上與螺母接觸點(diǎn)和與絲杠接觸點(diǎn)的摩擦力。Qo和Qi分別表示滾珠上與螺母接觸點(diǎn)和與絲杠接觸點(diǎn)的法向力。VSA、Ffo和Ffi是相互平行的。由于β′可認(rèn)為為0，因此VSA、Ffo和Ffi均可認(rèn)為與t軸平行。根據(jù)圖示幾何關(guān)系，螺母A內(nèi)滾珠所受法向力Qo可簡(jiǎn)化表示為：

(5)

圖3 滾珠受力

其中，Z為滾珠數(shù)。實(shí)際情況中，αi和αo大小是不相等的。根據(jù)Wei等的研究，隨著絲杠轉(zhuǎn)速的升高，滾珠與絲杠的接觸角會(huì)逐漸增大而滾珠與螺母的接觸角會(huì)逐漸減小。然而當(dāng)絲杠轉(zhuǎn)速較小時(shí)，兩個(gè)接觸角之間的差距是非常小的，當(dāng)絲杠轉(zhuǎn)速高于1500rpm時(shí)，兩者的差距才逐漸明顯。因此在本文中，認(rèn)為αi和αo大小相等，因此有：

(6)

(7)

利用式(7)可以求得Fp。之后，利用預(yù)緊力的計(jì)算值，結(jié)合變形協(xié)調(diào)原理和赫茲接觸理論，即可得到FA的值。

1.3 精度損失計(jì)算

滾珠絲杠副的精度損失主要是由磨損造成的。在初始階段，滾道與滾珠的接觸面比較光滑，為粘著磨損，絲杠副的精度損失也比較緩慢；隨著粘著磨損的進(jìn)行，會(huì)出現(xiàn)磨粒磨損甚至腐蝕磨損，到這個(gè)階段，絲杠的磨損量已急劇加大。因此認(rèn)為在滾珠絲杠副精度失效前，粘著磨損是精度下降的主要原因，精度損失計(jì)算將基于Archard理論[9]。認(rèn)為接觸峰的接觸是球形之間的接觸，設(shè)接觸球的平均半徑為a。接觸峰發(fā)生材料遷移時(shí)，磨屑是半球形的。當(dāng)粘著點(diǎn)破裂即發(fā)生材料遷移時(shí)，需要移動(dòng)2a的距離，而磨屑的體積為(2/3)πa3，磨損率即為：

(8)

式中，po是單個(gè)接觸峰上承受的載荷，po=πa2σs；σs是摩擦副中軟質(zhì)材料的屈服極限。滾珠沿滾道移動(dòng)過程中，考慮到不是所有的接觸點(diǎn)都會(huì)發(fā)生材料的遷移形成磨屑，使用系數(shù)K′來表示所有接觸峰可能發(fā)生黏著的概率。該系數(shù)與絲杠運(yùn)行工況、材質(zhì)等條件有關(guān)，范圍約在10-8～10-11。令no=Qj/po，no表示所有接觸峰的數(shù)量。磨損量可表示為:

(9)

式中，j=i表示滾珠與絲杠的接觸點(diǎn)，j=o表示滾珠與螺母的接觸點(diǎn)。Lj表示滾珠與絲杠或滾珠與螺母之間的滑動(dòng)距離，該距離可使用前文中的滑動(dòng)速度計(jì)算。由磨損導(dǎo)致的法向變形量可表示為：

(10)

(11)

綜上所述，為了計(jì)算滾珠絲杠副精度損失，需先根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析計(jì)算出滾珠公轉(zhuǎn)角速度ωm、滾珠自轉(zhuǎn)角速度ωR，及其三個(gè)分量ωt、ωn和ωb。使用這幾個(gè)速度值，便可計(jì)算出滾珠—絲杠和滾珠—螺母接觸點(diǎn)的滑動(dòng)速度。由于預(yù)緊力Fp在絲杠運(yùn)行過程中是不斷變化的，因此預(yù)緊力需根據(jù)不同階段測(cè)量所得的摩擦力矩來計(jì)算。計(jì)算所得的預(yù)緊力可用于求出工作螺母內(nèi)滾珠所受法向力及滾珠—絲杠和滾珠—螺母兩接觸點(diǎn)的接觸面積。最后，結(jié)合之前的速度計(jì)算、滾珠受力分析以及接觸特性分析，可進(jìn)一步求得滾珠與滾道接觸點(diǎn)的磨損體積及軸向磨損量。

2 精度損失試驗(yàn)與分析

2.1 試驗(yàn)方法

為了驗(yàn)證精度損失計(jì)算方法的可行性，進(jìn)行滾珠絲杠副精度損失試驗(yàn)。試驗(yàn)臺(tái)結(jié)構(gòu)如圖4所示。該試驗(yàn)臺(tái)安裝有圓光柵和直線光柵，圓光柵的反饋?zhàn)鳛槟繕?biāo)位置，記錄絲杠轉(zhuǎn)過的角度；直線光柵的反饋為實(shí)際位置，記錄螺母的軸向位移。利用高速計(jì)數(shù)卡對(duì)這兩路脈沖信號(hào)進(jìn)行計(jì)數(shù)，可以計(jì)算與絲杠精度相關(guān)的指標(biāo)。本文使用的精度指標(biāo)為總有效行程內(nèi)行程誤差Vu。

圖4 精度損失試驗(yàn)臺(tái)

用于試驗(yàn)的絲杠參數(shù)如表1所示。試驗(yàn)開始時(shí)，先將絲杠安裝在試驗(yàn)臺(tái)上，設(shè)定轉(zhuǎn)速，由電機(jī)驅(qū)動(dòng)絲杠旋轉(zhuǎn)并記錄絲杠旋轉(zhuǎn)的累積轉(zhuǎn)數(shù)。試驗(yàn)開始前，應(yīng)先測(cè)量被測(cè)絲杠的摩擦力矩和行程誤差Vu，之后絲杠的摩擦力矩和行程誤差每500,000轉(zhuǎn)測(cè)量一次。如果Vu值大于極限值，絲杠將被判定為精度失效；如果Vu值小于或等于極限值且摩擦力矩大于初始值的40%，試驗(yàn)繼續(xù)；如果Vu值小于或等于極限值，但摩擦力矩小于或等于初始值的40% ，應(yīng)先調(diào)整摩擦力矩值至初始水平再繼續(xù)試驗(yàn)。

表1 被測(cè)絲杠參數(shù)

計(jì)算流程如圖5所示。

圖5 計(jì)算流程

首先確定絲杠的幾何參數(shù)(絲杠直徑，螺旋升角等)和工作參數(shù)，計(jì)算所需的角速度和滑動(dòng)速度，為后續(xù)計(jì)算做好準(zhǔn)備。圖中t表示摩擦力矩的測(cè)量間隔。Mfo表示摩擦力矩的初始值。此次試驗(yàn)中摩擦力矩每500000轉(zhuǎn)測(cè)量一次，絲杠轉(zhuǎn)速為500rpm，因此t取值約為16.7h。當(dāng)摩擦力矩值被測(cè)得后，每個(gè)時(shí)間段的軸向磨損量和累積磨損量就可以計(jì)算出來。該流程中有兩次判斷，首先判斷測(cè)得的摩擦力矩是否小于或等于初始值的40%，若小于或等于，應(yīng)調(diào)整預(yù)緊結(jié)構(gòu)。其次判斷計(jì)算所得的累積磨損量有沒有超過極限值。若小于或等于極限值，試驗(yàn)繼續(xù)；若累積磨損量大于極限值，試驗(yàn)絲杠被判定為精度失效。

2.2 結(jié)果分析

圖6所示為各個(gè)試驗(yàn)階段(500000轉(zhuǎn))的摩擦力矩測(cè)量值和軸向磨損量的計(jì)算值。柱狀圖為磨損量，折線圖為摩擦力矩。如圖，在40000000轉(zhuǎn)時(shí)測(cè)得的摩擦力矩小于初始值的40%且計(jì)算所得累積磨損量沒有達(dá)到極限值，因此在此處調(diào)整預(yù)緊結(jié)構(gòu)并繼續(xù)試驗(yàn)。摩擦力矩的測(cè)量值可明顯分為調(diào)整前和調(diào)整后兩段，在此稱調(diào)整前為第一段，調(diào)整后為第二段。第一段中，隨著絲杠累積轉(zhuǎn)數(shù)的增加，摩擦力矩逐漸減小，前兩個(gè)試驗(yàn)階段摩擦力矩下降速度較快，經(jīng)過兩個(gè)試驗(yàn)階段后，降低速度有所減慢。第二段中，摩擦力矩依然隨著累積轉(zhuǎn)數(shù)的增加而減少，并且在后半段降低速度有所減慢。無論是比較前半段還是比較后半段，第二段中的降低速度均大于第一段。另外，可看出各個(gè)階段的磨損量并不相同，磨損量與摩擦力矩值相關(guān)。

圖6 各階段摩擦力矩與磨損量

圖7所示為累積磨損量的計(jì)算值。累積磨損量即為各個(gè)階段磨損量的總和。磨損量可分為兩個(gè)部分，滾珠-絲杠接觸處的磨損量和滾珠-螺母接觸處的磨損量，這兩部分的磨損量也在圖中被分別表示。隨著累積轉(zhuǎn)數(shù)的增加，累積磨損量也逐漸增長(zhǎng)。在40000000轉(zhuǎn)時(shí)，磨損量的增長(zhǎng)速度有一個(gè)明顯增大的趨勢(shì)，這是因?yàn)樵诖颂幷{(diào)整了預(yù)緊結(jié)構(gòu)使摩擦力矩恢復(fù)到初始水平，該階段的磨損量隨著增大了的摩擦力矩有所增大。

圖7 累積磨損量

圖8所示為Vu的測(cè)量值和計(jì)算值。由于磨損深度的存在，絲杠與螺母之間的相對(duì)位置會(huì)發(fā)生改變，而Vu的變化趨勢(shì)可以反應(yīng)這種精度損失。使用累積轉(zhuǎn)數(shù)為500000轉(zhuǎn)時(shí)的Vu測(cè)量值為初始精度值。Vu的計(jì)算值可由將計(jì)算所得的各個(gè)階段的軸向磨損量加在初始精度值上得到。在500000轉(zhuǎn)～2000000轉(zhuǎn)的范圍內(nèi)，Vu的測(cè)量值先輕微下降然后上升，即絲杠的行程誤差在開始時(shí)有短暫輕微變好的跡象。在2000000轉(zhuǎn)～6000000轉(zhuǎn)的范圍內(nèi)，Vu的測(cè)量值逐漸上升。Vu的計(jì)算值在500000轉(zhuǎn)6000000轉(zhuǎn)的范圍內(nèi)持續(xù)上升：試驗(yàn)初期，計(jì)算值略大于測(cè)量值；之后測(cè)量值在計(jì)算值附近波動(dòng)，計(jì)算值的折線貫穿測(cè)量值。6000000轉(zhuǎn)時(shí)，Vu的測(cè)量值已達(dá)到了可判定為精度失效的極限值。在6000000轉(zhuǎn)～7000000轉(zhuǎn)的范圍內(nèi)，Vu的測(cè)量值迅速上升，計(jì)算值與測(cè)量值之間的差距迅速加大。這是因?yàn)樵诮z杠被判定為精度失效后，粘著磨損不再是精度損失的主要原因。而該計(jì)算方法是在粘著磨損的基礎(chǔ)上建立的，該方法不能用于計(jì)算精度失效后絲杠的精度變化；因此在絲杠被判定為精度失效后，計(jì)算值與測(cè)量值之間會(huì)出現(xiàn)很大的差距。綜上，雖然測(cè)量值不能表示出初期行程誤差輕微好轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，但在絲杠精度損失達(dá)到極限值前，計(jì)算值與測(cè)量值趨勢(shì)基本吻合，即該計(jì)算方法可以用來估算絲杠的精度損失量。絲杠精度失效后，該方法將不再適用。

圖8 Vu測(cè)量值與計(jì)算值

3 結(jié)論

(1)本文提出了一種滾珠絲杠副精度損失的計(jì)算方法，該方法基于改進(jìn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并結(jié)合彈性變形、滾珠與滾道之間的滑移和接觸區(qū)域的摩擦。考慮到絲杠運(yùn)行過程中預(yù)緊力會(huì)發(fā)生變化的情況，計(jì)算方法中使用摩擦力矩的測(cè)量值計(jì)算預(yù)緊力。

(2)本文針對(duì)滾珠絲杠副的精度損失進(jìn)行了試驗(yàn)、計(jì)算與分析。由試驗(yàn)結(jié)果，精度變化的測(cè)量值和計(jì)算值基本吻合，因此該計(jì)算方法可以用來計(jì)算滾珠絲杠副的精度損失。

(3)滾珠絲杠副被判定為精度失效后，粘著磨損不再是精度損失的主要原因，計(jì)算值與測(cè)量值差距迅速加大，該計(jì)算方法將不再適用。