轉(zhuǎn)子偏心對(duì)高速電主軸電磁特性的影響*

邵啟鵬，劉保國，馮 偉，申會(huì)鵬，張 闖

(河南工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 河南省超硬磨料磨削裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，鄭州 450001)

0 引言

隨著國家制造業(yè)水平的不斷提高，加工高精密的磨削產(chǎn)品逐漸由傳統(tǒng)機(jī)床主軸更迭為“零傳動(dòng)”的高速電主軸技術(shù)。高速電主軸系統(tǒng)是高維數(shù)、多輸入—輸出和多物理過程的復(fù)雜精密設(shè)備，其定轉(zhuǎn)子間電磁場(chǎng)的相互作用對(duì)電主軸加工性能的優(yōu)劣起著至關(guān)重要的影響。經(jīng)典的麥克斯韋電磁場(chǎng)理論是電主軸將電能轉(zhuǎn)換成機(jī)械能并保證轉(zhuǎn)子高速穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)。但是，由于制造誤差、安裝誤差以及砂輪的不均衡受力和溫度影響，轉(zhuǎn)子的回轉(zhuǎn)中心會(huì)不可避免的相對(duì)于定子中心發(fā)生偏移。根據(jù)軸的旋轉(zhuǎn)中心與定子中心和轉(zhuǎn)子中心的關(guān)系，將偏心分為靜態(tài)偏心，動(dòng)態(tài)偏心和混合偏心。其定義如圖1所示，黑點(diǎn)代表轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)中心，定子中心和轉(zhuǎn)子中心分別其圓形的幾何中心。偏心會(huì)導(dǎo)致氣隙間隙不均勻的分布，當(dāng)繞組通入電流后，由電磁感應(yīng)原理會(huì)產(chǎn)生畸變的氣隙磁密。生成的不平衡磁拉力會(huì)進(jìn)一步激發(fā)電磁振動(dòng)[1]，對(duì)高速電主軸系統(tǒng)的回轉(zhuǎn)精度和高精密加工表面質(zhì)量以及噪聲控制產(chǎn)生消極影響。

(a) 理想狀態(tài) (b) 靜態(tài)偏心

(c) 動(dòng)態(tài)偏心 (d) 混合偏心 圖1 不同類型偏心示意圖

由于不平衡電磁力直接影響著主軸的振動(dòng)和回轉(zhuǎn)精度，很多國內(nèi)外學(xué)者對(duì)不均勻氣隙厚度和不平衡電磁力已進(jìn)行了相關(guān)的研究[2]。研究成果主要集中于靜偏心下不同理論建模的性能分析以及氣隙厚度對(duì)主軸工作的影響。朱海峰等[3]通過ANSYS結(jié)合MATLAB計(jì)算了電機(jī)靜偏心的力波幅值及其分布特征。Belmans[4]推導(dǎo)了電磁力的非線性解析表達(dá)式。A Macdonald等[5]提出了一個(gè)考慮磁飽和的等效電路新模型。王保民等[6]分析了溫升和離心力對(duì)定轉(zhuǎn)子氣隙厚度的影響。于慎波等[7]發(fā)現(xiàn)楔形氣隙相比于均勻氣隙能使電主軸產(chǎn)生更大的電磁轉(zhuǎn)矩、更小的徑向力以及對(duì)減小噪聲和振動(dòng)。Jawad Faiz[8]通過研究氣隙控制幾何條件和擴(kuò)展非均勻氣隙理論對(duì)異步電動(dòng)機(jī)進(jìn)行了精確的電磁建模及性能分析。

雖然學(xué)者們對(duì)電機(jī)理論建模和氣隙厚度進(jìn)行了廣泛研究，但對(duì)轉(zhuǎn)子不同偏心下電磁力的研究不夠深入，本文基于Ansoft軟件對(duì)電主軸電磁力特性以及相關(guān)規(guī)律進(jìn)行了論述，得出了氣隙網(wǎng)格控制的一般條件以及不同偏心下氣隙磁場(chǎng)的變化規(guī)律；研究了電磁力密度隨偏心位移的增長趨勢(shì)。研究結(jié)果對(duì)電磁振動(dòng)以及主軸回轉(zhuǎn)精度提供了理論支撐。

1 電主軸氣隙磁場(chǎng)分析

1.1 電磁場(chǎng)理論

由電磁學(xué)經(jīng)典理論可知，電磁場(chǎng)是有內(nèi)在聯(lián)系的電場(chǎng)和磁場(chǎng)綜合作用的結(jié)果，一旦了解電磁感應(yīng)就可以計(jì)算預(yù)測(cè)定轉(zhuǎn)子間的互相作用力。在電主軸通電工作時(shí)，磁力線徑直地穿過環(huán)形氣隙，轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)不斷地切割磁力線，并將產(chǎn)生一個(gè)徑向電磁力以及提供扭矩旋轉(zhuǎn)的切向電磁力。定轉(zhuǎn)子間隙中充斥著復(fù)雜的基波、諧波磁場(chǎng)。當(dāng)轉(zhuǎn)子及其繞組不對(duì)中時(shí)，利用旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)法將磁通密度表示為磁導(dǎo)率與定子、轉(zhuǎn)子磁動(dòng)勢(shì)的乘積已獲得的諧波場(chǎng)之和[9]。復(fù)雜的磁電激發(fā)過程如圖2所示。假定在電主軸的定子接線端輸入三相正弦電流，首先，定子的通電繞組引起一個(gè)磁動(dòng)勢(shì)，它由基波磁勢(shì)和一系列諧波磁勢(shì)構(gòu)成，這主要是因?yàn)槔@組非正弦的空間分布作用。定子磁動(dòng)勢(shì)與氣隙磁導(dǎo)率綜合作用產(chǎn)生定子磁場(chǎng)部分，進(jìn)而產(chǎn)生定子磁通密度。并且轉(zhuǎn)子導(dǎo)條在這些定子磁通密度中生成電流，其進(jìn)一步形成了轉(zhuǎn)子磁動(dòng)勢(shì)。同理，該轉(zhuǎn)子磁動(dòng)勢(shì)與空隙磁導(dǎo)相互作用產(chǎn)生含有其他分量的轉(zhuǎn)子磁密。根據(jù)它們的極對(duì)數(shù)，新的轉(zhuǎn)子磁通密度波可以在定子繞組中引起相應(yīng)的電流分量，從而建立電流與磁場(chǎng)在氣隙空間中的相互聯(lián)系。

圖2 氣隙磁場(chǎng)建立示意圖

1.2 混合偏心下電磁力的表示

由電機(jī)學(xué)基本理論可知，高速電主軸各頻率、各次數(shù)的電磁力波都存在于定轉(zhuǎn)子之間的環(huán)形氣隙中。氣隙中不均衡磁拉力是一個(gè)關(guān)聯(lián)因素眾多、機(jī)理繁雜的產(chǎn)生過程。因此探究氣隙電磁力的特性必須進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化處理，我們可以將轉(zhuǎn)子假設(shè)為剛體。電主軸整體磁場(chǎng)大都分布于一個(gè)具有包絡(luò)面的立體空間內(nèi)，我們可以沿軸向?qū)㈦娭鬏S切割成多個(gè)橫截面，將復(fù)雜的空間實(shí)體問題分解為平面二維問題。

當(dāng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)中心相對(duì)于定子幾何中心發(fā)生偏移時(shí)，定轉(zhuǎn)子間隙厚度也會(huì)隨之發(fā)生改變，綜合氣隙厚度不同狀態(tài)的偏心下是隨時(shí)間和空間變化的函數(shù)。其函數(shù)表達(dá)式為：

δ(θ,t)=δ0[1-εscosθ-εdcos(θ-ωrt)]

(1)

其中，δ0表示定轉(zhuǎn)子不偏心理想狀態(tài)時(shí)氣隙厚度；θ為定子位置角；t是時(shí)間；ωr為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角頻率；εs表示靜偏心度，εd表示動(dòng)偏心度，它們分別為靜偏移量和動(dòng)偏移量相對(duì)于理想氣隙厚度的比值。

由式(1)可知，當(dāng)εd=0時(shí)，電主軸為靜偏心狀態(tài)。此時(shí)氣隙厚度是一個(gè)關(guān)于θ的函數(shù)，與t無關(guān)：

δ(θ)=δ0[1-εscosθ]

(2)

同理，當(dāng)εs=0時(shí)，電主軸為動(dòng)偏心狀態(tài)。此時(shí)氣隙厚度是關(guān)于θ和t一起變化的二元函數(shù)。

δ(θ,t)=δ0[1-εdcos(θ-ωrt)]

(3)

由現(xiàn)有理論研究可知，氣隙中磁感應(yīng)強(qiáng)度與氣隙長度成反比，所以混合偏心下氣隙磁導(dǎo)可近似表示為：

λ(θ,t)≈Λ0+Λ0εscosθ+Λ0εdcos(θ-ωrt)

(4)

其中，Λ0為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)中心不偏移下的氣隙磁導(dǎo)。

當(dāng)電主軸通上三相交流電，在電主軸定轉(zhuǎn)子間隙將會(huì)產(chǎn)生隨時(shí)間和空間變化的基波磁動(dòng)勢(shì)和定轉(zhuǎn)子諧波磁動(dòng)勢(shì)[10]。其綜合表達(dá)式為：

f(θ,t)=f0(θ,t)+∑fv(θ,t)+∑fμ(θ,t)

(5)

其中，基波磁動(dòng)勢(shì)f0(θ,t)、定子v次諧波磁動(dòng)勢(shì)fv(θ,t)、轉(zhuǎn)子μ次諧波磁動(dòng)勢(shì)fμ(θ,t)為：

(6)

(7)

其中，p為極對(duì)數(shù)；ω1為基波旋轉(zhuǎn)角速度；ωμ為轉(zhuǎn)子相對(duì)定子μ次諧波角速度；Kdpi為基波/諧波繞組因數(shù)；D2v為阻尼系數(shù)。

由電機(jī)工程手冊(cè)可知，氣隙磁通密度的瞬時(shí)求解可用式(8)來完成：

b(θ,t)=f(θ,t)λ(θ,t)

(8)

其中，λ(θ,t)為氣隙磁導(dǎo)；f(θ,t)為氣隙磁動(dòng)勢(shì)。

所以可以推出電主軸在混合偏心狀況下通入三相正弦電流的氣隙磁場(chǎng)函數(shù)式：

b(θ,t)=f(θ,t)λ(θ,t)=

[f0(θ,t)+∑fv(θ,t)+∑fμ(θ,t)][Λ0+

Λ0εscosθ+Λ0εdcos(θ-ωrt)]=

[F0cos(pθ-ω1t-φ0)+∑Fvcos(νθ-ω1t-φ1)+

∑Fμcos(μθ-ωμt-φ2)][Λ0+

Λ0εscosθ+Λ0εdcos(θ-ωrt)]=

Bf+Bsh+Bdh

(9)

Bf=B0cos(pθ-ω1t-φ0)+∑Bvcos(νθ-ω1t-φ1)+

∑Bμcos(μθ-ωμt-φ2)

(10)

(11)

(12)

由該公式得出，電主軸氣隙磁場(chǎng)是定轉(zhuǎn)子基波磁場(chǎng)和諧波磁場(chǎng)綜合作用的結(jié)果。Bf是基波磁場(chǎng)磁通密度；Bsh是轉(zhuǎn)子靜偏心時(shí)諧波磁通密度；Bdh是轉(zhuǎn)子動(dòng)偏心時(shí)諧波磁通密度。

徑向氣隙磁密比切向氣隙磁密大的多，在進(jìn)行計(jì)算時(shí)可丟掉切向氣隙磁密的影響。依照麥克斯韋電磁場(chǎng)定律，作用于轉(zhuǎn)子上的電磁力正比于氣隙磁密的平方，其瞬時(shí)求解方程為:

(13)

其中，μ0為空氣磁導(dǎo)率，其數(shù)值為4π×10-7H/m。

2 建模與仿真

2.1 電主軸的結(jié)構(gòu)參數(shù)

文章以磨削高速電主軸為科研依托進(jìn)行模型分析與數(shù)值計(jì)算，表1為電主軸的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)。

表1 電主軸基本參數(shù)

2.2 有限元模型的建立

Ansoft Maxwell是電磁場(chǎng)仿真分析常用的科學(xué)軟件，它基于經(jīng)典電磁場(chǎng)理論，采用離散元思維，借助計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大運(yùn)算能力用模擬仿真替代復(fù)雜的模型試驗(yàn)，使實(shí)際中繁雜深?yuàn)W的電磁場(chǎng)問題得以解決[11]。

在電機(jī)學(xué)中，求解電磁力通常有兩種途徑，一是麥克斯韋爾應(yīng)力法，其二是虛功位移法。在具體的應(yīng)用中，虛功位移法求解較為精確，但只能計(jì)算物體總的受力。麥克斯韋爾應(yīng)力法不僅可以求解物體總的受力還可以求解力的分布，所以本文選取麥克斯韋爾應(yīng)力法應(yīng)用在二維有限元電磁場(chǎng)的計(jì)算仿真中。使用這種方法，需要在定轉(zhuǎn)子的氣隙中畫一個(gè)首尾相連的圓弧，求解這一曲線上的磁通密度，進(jìn)而得出電磁力密度，再對(duì)曲線路徑進(jìn)行積分乘上模型軸向長度就可以得出電磁力的大小。其計(jì)算公式為：

(14)

其中，Br為徑向磁通密度，Bt為切向磁通密度，Ld為轉(zhuǎn)子軸向長度。

為了研究偏心狀態(tài)下電主軸的電磁特性，我們首先繪制了各部件的幾何模型，設(shè)置了相應(yīng)部件的材料屬性和繞組激勵(lì)，最終生成所求電主軸二維電磁場(chǎng)模型。在二維電磁場(chǎng)模型中，我們認(rèn)為定轉(zhuǎn)子鐵芯沖片材質(zhì)均勻且都具有各向同性，其磁化曲線單值。邊界條件是在電磁場(chǎng)的求解中也很重要，在這里選擇氣球邊界條件，它在模型磁飽和以及漏磁處理方面具有優(yōu)勢(shì)。最終，建立的電主軸電磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)模型如圖3所示。

圖3 電主軸電磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)模型

2.3 氣隙網(wǎng)格處理

Maxwell中自帶的自適應(yīng)網(wǎng)格剖分方便實(shí)用效率高，除此之外軟件對(duì)精度要求高的操作還提供手動(dòng)剖分的方式。一般來說，氣隙由于運(yùn)動(dòng)域Band的存在，即使自適應(yīng)剖分方式也足以將氣隙分為兩層。這種方式對(duì)分析一般電磁場(chǎng)問題已經(jīng)足夠，但對(duì)于電磁力以及電磁轉(zhuǎn)矩等還有一定的缺陷。由于轉(zhuǎn)子受力對(duì)于氣隙網(wǎng)格的敏感性，所以在計(jì)算分析最小氣隙處至少需要4層網(wǎng)格，本文劃分8層網(wǎng)格，如圖4所示。

圖4 氣隙網(wǎng)格剖分圖

經(jīng)過數(shù)學(xué)運(yùn)算，單元網(wǎng)格的剖分長度最大值D=lmax/h取值范圍的表達(dá)式為：

其中，d為氣隙的厚度，N為要?jiǎng)澐志W(wǎng)格的層數(shù)，一般N=2,4,8,16......。

在網(wǎng)格層數(shù)與邊長的關(guān)系條件中，對(duì)氣隙層數(shù)的控制作用效果良好，相鄰的層數(shù)剖分并不重疊，相反有一定的緩沖空間。也就是說，在緩沖范圍內(nèi)還會(huì)有混合網(wǎng)格的存在。

3 仿真結(jié)果的對(duì)比

3.1 靜態(tài)偏心、動(dòng)態(tài)偏心、正常氣隙的磁力線圖

磁力線云圖如圖5所示。從圖5a中，我們可以觀察到均勻氣隙的磁力線走勢(shì)圖，它們呈現(xiàn)四極閉合。閉合方式在靜偏心、動(dòng)偏心中同樣成立，這是電主軸極對(duì)數(shù)作用的結(jié)果。磁力線主要密布在定轉(zhuǎn)子實(shí)體沖片及繞組之間，繞組中間幾乎沒有磁感線穿過，沖片外緣有少量的漏磁。另外，磁感線疏密不均的排布代表著電磁感應(yīng)強(qiáng)度的強(qiáng)弱，同規(guī)格的面積內(nèi)，磁力線越密集表示磁通量密度越大。在圖5b中可以發(fā)現(xiàn)，靜偏心的磁力線在轉(zhuǎn)子偏向側(cè)比較密集，在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，磁力線不斷地根據(jù)繞組的移動(dòng)重建，但密集區(qū)域不變。在圖5c中，動(dòng)偏心的磁力線也是在轉(zhuǎn)子偏向側(cè)較密集，但在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)磁力線不斷重建的過程中，密集區(qū)域也隨之發(fā)生轉(zhuǎn)變。

(a) 均勻氣隙磁力線云圖

(b) 靜偏心磁力線云圖

(c) 動(dòng)偏心磁力線云圖 圖5 磁力線云圖

3.2 電磁力密度場(chǎng)圖

從圖6中我們可以得出徑向電磁力在圓周360°的分布趨勢(shì)。這些曲線可以發(fā)現(xiàn)磁力波性圖的局部呈現(xiàn)鋸齒狀波動(dòng)，這主要是因?yàn)槎ㄞD(zhuǎn)子沖片的槽口和齒作用的影響。磁力波在槽口處量值較小幾乎為零，在齒部量值較大。電磁力的幅值在一個(gè)磁極內(nèi)呈現(xiàn)類似正弦曲線的規(guī)律變化，磁極邊緣幅值最小，幾乎為零，然后急劇變化，到磁極中心幅值最大。

(a) 均勻氣隙徑向電磁力密度場(chǎng)圖

(b) 靜偏心徑向電磁力密度場(chǎng)圖

(c) 動(dòng)偏心徑向電磁力密度場(chǎng)圖 圖6 徑向電磁力密度場(chǎng)圖

圖6a中當(dāng)轉(zhuǎn)子處于不偏心的正常氣隙時(shí)，電磁力變化趨勢(shì)基本相同，幅值規(guī)律的波動(dòng)，對(duì)應(yīng)位置基本相等。圖6b靜偏心時(shí)，電磁力波幅值在磁極與偏移的綜合作用下變化明顯，偏向側(cè)數(shù)值增大，偏離側(cè)則相反。圖6c動(dòng)偏心時(shí)，電磁力波幅值呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)變化，幅值大小交替改變，幅值差距明顯。不同的氣隙偏心中，電磁力波形圖在兩磁極過渡部分幾乎不隨變化發(fā)生改變，這種現(xiàn)象是因?yàn)榇颂幣c轉(zhuǎn)子偏移相垂直，間隔隨偏心位移的變化較小，磁通量密度變化不大造成的。

3.3 不同偏心下最大徑向電磁力密度

從圖7可以看出，轉(zhuǎn)子動(dòng)、靜偏心最大徑向電磁力密度在隨偏離位移增大的變化趨勢(shì)。在不同的偏離量下，不同的氣隙偏心下徑向電磁力隨著轉(zhuǎn)子偏離量遞增。在相同的偏離量下，靜偏心的不均衡磁拉力變化程度相比動(dòng)偏心的變化更大， 并且當(dāng)偏心率較小時(shí)，靜偏心的不平衡電磁力密度增長更快；動(dòng)偏心下不平衡電磁力密度在偏心位移不大時(shí)緩慢增加，當(dāng)偏心率較大時(shí)，增速較快。

圖7 不同偏心下動(dòng)、靜偏心最大徑向電磁力密度對(duì)比

3.4 動(dòng)偏心電磁力諧波分析

當(dāng)相對(duì)偏心距較小時(shí)以及磁極數(shù)大于等于4的情況下，轉(zhuǎn)子的軌跡基本是一個(gè)類似圓，與動(dòng)態(tài)偏心的情況一致，所以研究動(dòng)態(tài)偏心非常有意義[12]。磁密是電磁力的直接影響因素，可以通過磁密諧波分析來反映電磁力的諧波占比。

從圖8快速傅里葉變換圖中，我們可以發(fā)現(xiàn)諧波幅值隨諧波次數(shù)的大致變化規(guī)律。氣隙磁密的高次諧波幅值比較小，對(duì)定轉(zhuǎn)子的作用力很小，因此，在必要條件下可以忽略。由圖8a和圖8b標(biāo)記點(diǎn)數(shù)值可知，奇數(shù)次的諧波占比多余偶數(shù)次的諧波，幅值更大。對(duì)電主軸電磁力特性起主要作用的是奇數(shù)、低次諧波。并且從圖中可知，切向磁密的幅值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于徑向磁密的幅值，這是因?yàn)闅庀吨写帕€基本都徑向穿過環(huán)形氣隙的。

(a) 徑向磁通密度FFT分解

(b) 切向磁通密度FFT分解 圖8 磁通密度傅里葉分析圖

4 結(jié)論

本文將理論推導(dǎo)和Maxwell應(yīng)力張量法應(yīng)用到電主軸二維電磁場(chǎng)仿真模型中，研究了不同偏心下氣隙磁場(chǎng)和偏心磁拉力的變化規(guī)律，得到了以下結(jié)論：

(1)基于網(wǎng)格三角形的數(shù)值計(jì)算，給出了在Maxwell中控制氣隙層數(shù)的條件，得出了氣隙厚度和層數(shù)的函數(shù)關(guān)系，使網(wǎng)格剖分操作更加的簡(jiǎn)潔并便于控制。

(2)通過對(duì)比不同偏心下磁力線和電磁力密度的分布，分析了靜偏心和動(dòng)偏心下電磁分布力的變化規(guī)律。不平衡電磁力方向與偏心位移方向相反，電磁力大小在偏向側(cè)顯著增大，偏離側(cè)顯著減小，且動(dòng)偏心的增大趨勢(shì)更加明顯。

(3)研究了徑向電磁力密度隨偏心位移的變化規(guī)律。結(jié)果表明，隨偏心位移的增加，靜偏心最大徑向電磁力密度變化在偏心率小時(shí)增速快，而后增速減慢；動(dòng)偏心變化規(guī)律則相反?？傮w不平衡電磁力隨偏心的增大而增大，力的方向指向圓心。并且在磁通密度的FFT變換中通過具體的數(shù)值結(jié)果表明了對(duì)電磁力起主要作用的是徑向、奇數(shù)、低次諧波。