170SD30陶瓷電主軸動力學建模及振動響應分析*

石懷濤, 趙紀宗, 張 宇

(沈陽建筑大學 a.機械工程學院；b.高檔石材數(shù)控加工裝備與技術國家地方聯(lián)合工程實驗室，沈陽 110168)

0 引言

高速電主軸作為數(shù)控機床加工的核心部件，是先進制造技術的載體，其各項工作性能的好壞將直接影響著數(shù)控機床甚至整個制造業(yè)的發(fā)展。隨著高速電主軸向高轉速、高精度、高效率方向的發(fā)展，對電主軸本身和電主軸的動力學特性也提出了更高的要求[1-3]。電主軸在高轉速情況下運行時會不同程度的產(chǎn)生離心力、慣性力和各種不平衡響應，當外界激振力的頻率和電主軸的固有頻率相接近或者相等時，主軸系統(tǒng)就會發(fā)生共振，這將會嚴重影響加工零件的加工精度和質量。高性能結構陶瓷作為高速主軸軸承及主軸材料，可以充分發(fā)揮陶瓷材料密度小、耐高溫、耐磨損、高強度等優(yōu)良性能，最大程度的降低電主軸在高速旋轉時產(chǎn)生的離心力、慣性力以及各種不平衡響應，大大的提高電主軸的運轉精度[4-5]。因此，“高轉速、高精度、高效率及小振動”成為陶瓷電主軸應用的巨大優(yōu)勢。

目前常用的研究高速電主軸動力學特性的方法主要有以下三種方法：集中參數(shù)法、傳遞矩陣法和有限元法[6-9]。集中參數(shù)法將系統(tǒng)簡化為互相影響，互相作用的多剛體系統(tǒng)，將質量分散生成包含系統(tǒng)動力耦合特性的集中參數(shù)模型；傳遞矩陣法是把復雜的線性系統(tǒng)分割為若干個元素，用矩陣來描述各個元素之間的特性，用這些矩陣的乘積即可表示整個系統(tǒng)的特性，在利用兩端的邊界條件，就可以求得系統(tǒng)的動態(tài)特性；有限元法首先是將彈性系統(tǒng)分割為若干個元素，把系統(tǒng)離散化之后建立起各個單元之間的運動方程，再以單元的節(jié)點位移函數(shù)來表示單元內的位移特性，從而導出質量矩陣、剛度矩陣和整個系統(tǒng)的運動方程式，求得系統(tǒng)的動態(tài)特性。其中集中參數(shù)法在實際中運用的比較少，而有限元法隨著計算機技術的發(fā)展能夠快速準確的求出轉子的臨界轉速，但是使用有限元法對計算機硬件要求極高且占用內存大[10-11]；傳統(tǒng)傳遞矩陣法以程序簡單、耗時少和所需內存小的優(yōu)點，被廣泛的應用，但是隨著計算頻率的提高，運算的精度降低[12]。

近年來，電主軸動力學特性在主軸工作中的重要影響引起了國內外專家的研究熱潮，并取得了比較突出的成果。殷國富等[13]、陳小安[14]、王建平等[15]以及Jorgensen B R等[16]分別使用有限元仿真和影響系數(shù)法對電主軸的動靜態(tài)性能進行了分析，且綜合考慮各個耦合系統(tǒng)之間的關系提出了新型電主軸的耦合動力學模型，但在計算時不同程度的對軸承載荷和變形關系進行線性簡化，且是集中在動態(tài)模型的建立及分析產(chǎn)生振動的機理。

本文采用采用Riccati法建立電主軸動力學理論模型，使用Matlab編程Riccati法和Prohl法計算電主軸固有頻率與臨界轉速，將仿真結果與錘擊法試驗結果對比，驗證了Riccati法建立的170SD30電主軸理論模型的準確性，并分析相同轉速不同節(jié)點和不同轉速下不同節(jié)點上軸系的不平衡響應；同時運用有限元ANSYS對電主軸進行諧響應分析，研究不同的預緊力對主軸振動性能的影響。

1 高速電主軸動力學建模

傳遞矩陣法首先將高速電主軸簡化為集中參數(shù)力學模型，在簡化過程中，按照質心不變的原則，在盡量保持高速電主軸所有動力學特性的前提下，將高速電主軸系的轉子系統(tǒng)簡化成為由集中質量和若干軸段組成的模型[17]。

1.1 模型簡化

電主軸是新一代機、電、液一體化的加工中心用高速精密主軸，主要由殼體、主軸、軸承、定子和轉子等零件組成[18]。圖1給出了170SD30 型電主軸的結構示意圖，其前后軸承均采用角接觸球軸承，主軸前端軸承型號為7015C，后端型號為7012C。

圖1 170SD30電主軸結構圖

主軸的支撐一般采用角接觸球軸承，由于存在初始預緊力，會使其所承受的工作載荷能力和主軸剛度有所提高。因此，在簡化電主軸模型時需要考慮軸承的剛度。軸承的剛度可以分為徑向剛度、軸向剛度和角剛度，在實際工況下，隨著轉速的提高軸向剛度和角剛度都會達到一個較為穩(wěn)定的值，對電主軸的動力學特性影響很小[19]。所以在簡化高速電主軸模型時軸承可以簡化為4個徑向均布的彈簧，只考慮其徑向剛度，簡化后如圖2所示。在添加軸向預緊力的情況下，徑向剛度的計算公式為[20]：

(1)

其中，δ為角接觸陶瓷球軸承修正系數(shù)；Db為滾動體直徑(8mm)；Z為軸承滾動體數(shù)目(18個)；α為接觸角(150)；Fa0為軸向預緊力，本文研究的電主軸是輕載取δ=1.8，前后預緊力都是400N。代入上式得Kr=2245.42N·mm-1。

圖2 電主軸實體簡化模型

1.2 節(jié)點劃分

在使用傳遞矩陣法對高速電主軸進行模型簡化時，需要對電主軸進行節(jié)點劃分，而節(jié)點的數(shù)目將會嚴重影響電主軸臨界轉速的計算結果，其中節(jié)點數(shù)太少計算結果不精確；節(jié)點數(shù)太多會導致計算過程復雜，耗費時間長，誤差增大。根據(jù)等截面梁的計算結果，如果要求計算的高速電主軸的臨界轉速誤差小于1%，那么節(jié)點總數(shù)N應滿足如下關系[21]：

N≥1+5.34r

(2)

式(2)中，r為要求計算的主軸固有頻率(或臨界轉速)的最高階數(shù)，根據(jù)轉子模型，電主軸被劃分為25個節(jié)點，則r=4。建立的電主軸的簡化力學模型如下圖3所示。

圖3 電主軸的簡化力學模型

2 Riccati傳遞矩陣法對電主軸的分析計算

2.1 傳遞矩陣法基本原理與計算方法

Riccati傳遞矩陣法建立的新型高速電主軸模型計算主軸的臨界轉速時，在編程時考慮了剪切效應和截面系數(shù)等影響因素，計算結果更精確，計算速度更快[22]。

在構建電主軸的傳遞矩陣時，為考慮剪切效應的影響，要在矩陣中加入剪切影響系數(shù) ：

(3)

式中，E為彈性模量，I為截面對中性軸的慣性矩，kt為截面系數(shù)，G為材料剪切模量，A為截面積，l為軸段的長度。

由材料力學，截面系數(shù)：

(4)

式中，x為不均勻分布系數(shù)，是一個無量綱系數(shù)。計算公式如下：

(5)

(6)

通過式(5)和式(6)計算可以得到，不均勻分布系數(shù)x與電主軸的截面形狀有相關。其中圓形截面，x由內外徑的比值確定，具體關系如表1所示。在本文中，170SD30 型電主軸為實心即是內外徑比值為d/D=0.5，因此x取值1.69。

表1 內外徑的比值與不均勻分布系數(shù)的關系

Riccati傳遞矩陣法的計算原理是：首先把軸劃分為若干等質量的軸段，然后根據(jù)軸段兩端的邊界條件，從軸的一端逐步遞推到另一端，從而確定起始端的狀態(tài)向量，在反過求各個截面的狀態(tài)向量；在轉速由小變大的過程中，響應最大的點即為臨界轉速[23]。

Ti=

Riccati傳遞矩陣法把每個節(jié)點Z的狀態(tài)矢量的r個元素分成f和e兩組，即：

(7)

(8)

式中，

將式(8)展開，得：

(9)

引入如下Riccati變換：

fi=Siei

(10)

式中，Si稱為Riccati矩陣，它是一個r/2×r/2的方陣，將上式代入(8)得：

(11)

(12)

對比式(10)和式(12)，可知：

(13)

這就是Riccati傳遞矩陣的遞推公式。

由起始截面的邊界條件知f1=0,e1≠0,故有初值S1=0。在已知u11、u12、u21、u22的條件下，反復利用式(13)，就可以順次遞推得到S1、S2......、Sn。

對于右端截面N+1的節(jié)點則有：

fN+1=SN+1eN+1

(14)

由右端的邊界條件fN+1=0及eN+1≠0,故式(14)有非零解的條件為：

(15)

這就是系統(tǒng)的頻率方程式。滿足式(15)的根ω即為所求的臨界轉速的角速度。

2.2 主軸系統(tǒng)的不平衡響應分析

質量不平衡響應是主軸系統(tǒng)振動響應分析中非常重要的一個環(huán)節(jié)，在實際情況下，由于轉子材質不均、加工誤差及安裝偏差等原因，軸系總是存在質量不平衡，因此分析主軸系統(tǒng)的不平衡響應是非常重要且有意義的。

初始輸入電主軸的結構參數(shù)如下：定子外徑D1=130mm，定子內徑D2=80mm，軸端長度l=11mm，支撐剛度Kr=2245.42N·mm-1，單元質量m=6.0×10-9t/mm3。其中軸段材料參數(shù)入下：彈性模量E=20600N·mm-2，泊松比μ=0.3，密度ρ=7.85g·cm-3。輸入轉子系統(tǒng)結構參數(shù)和材料參數(shù)后，調用函數(shù)計算單元的5個特征值：質量m、極轉動慣量Ip、直徑轉動慣量Id、彈性模量與截面對中性軸的慣性矩的乘積EI以及剪切影響系數(shù)。

運用Matlab編寫Prohl法、 Riccati法的程序，可以求得轉子各階固有頻率和臨階轉速具體算法流程圖如圖4所示，求解得前4階固有頻率對比結果如表2所示。

圖4 算法流程圖

階數(shù)Riccati法Prohl法固有頻率/Hz誤差/%11667.91661.56.022058.12032.58.232956.52890.29.344193.23866.17.8

從表2中可以得到Riccati法比Prohl法計算的固有頻率值更大，且兩者最大誤差為9.3%，后面將計算仿真結果于實驗結果進行對比。

根據(jù)Riccati傳遞矩陣法的基本原理，假設主軸系統(tǒng)軸系上存在著偏心質量0.1kg，偏心距0.005m，工作轉速為3000r/min。運用Matlab編制程序計算偏心質量處于不同節(jié)點時的不平衡響應，不平衡量加在節(jié)點3，10，14，15，20，24上，仿真結果如圖5所示。

(a) 節(jié)點3 (b) 節(jié)點10

(c) 節(jié)點14 (d) 節(jié)點15

(e) 節(jié)點20 (f) 節(jié)點24 圖5 不同節(jié)點上相同轉速下軸系的不平衡響應

可以看出，軸系兩端彈性支撐附近(節(jié)點3和節(jié)點24)對不平衡量很敏感，即是如果發(fā)生不平衡，響應的振幅最大。

針對不平衡量加在節(jié)點3，10，14，15，20，24以上幾種不平衡分布情況，采用Riccati傳遞矩陣法計算不同轉速下的響應結果 ，如圖6所示。由圖可以看到主軸轉速從0r/min逐漸增大的過程中，整個軸系的不平衡響應，其中頻率在接近1600Hz和3100Hz處各點的振幅突然增大，說明軸系發(fā)生了共振。

(a) 節(jié)點3 (b) 節(jié)點10

(c) 節(jié)點14 (d) 節(jié)點15

(e) 節(jié)點20 (f) 節(jié)點24 圖6 不同節(jié)點上不同相同轉速下軸系的不平衡響應

3 實驗分析與結果討論

為了驗證Riccati傳遞矩陣法仿真結果的正確性，搭建了高速電主軸動態(tài)性能測試系統(tǒng)。本實驗采用錘擊法對170SD30 型高速電主軸進行敲擊，并對輸入輸出信號進行激振和采集。實驗設備包括力錘、電荷放大器、加速度傳感器、力傳感器、信號采集儀等。實驗測試流程圖及實驗平臺如圖7和圖8所示。

圖7 電主軸動態(tài)性能測試流程圖

圖8 電主軸動態(tài)性能測試系統(tǒng)

在電主軸上所安裝的傳感器是加速度振動傳感器，是采集振動信號的主要設備，通常由質量塊、阻尼器、彈性元件、敏感元件和適調電路等部分組成。本套實驗設備的傳感器主要參數(shù)如表3所示。

表3 傳感器主要參數(shù)

為了降低實驗誤差，得到更準確的實驗數(shù)據(jù)，本實驗主要選取3個錘擊點，分別是主軸前段，主軸中部和主軸后端。實驗方法為單點響應，多點施振，具體步驟如下，首先，啟動主軸，從某一低速開始運行，然后，用力錘對每個測點敲擊6次，力錘加在主軸前端的沖擊力為100 N，其次，按一定的步長逐步提高轉速，同時對每種轉速下電主軸的振動響應值進行測量并記錄，最后，獲得電主軸振動響應值曲線，如圖9所示。

圖9 電主軸振動響應曲線

由圖9得到1767.6Hz、2214.0 Hz、3186.6Hz分別為主軸的前3階頻率，其余的波峰為電磁噪聲的干擾振動頻率。Riccati傳遞矩陣法得到的電主軸前三階固有頻率分別是1667.9 Hz、2058.1Hz、2956.5Hz，最大誤差不超過7.2%，比傳統(tǒng)傳遞矩陣法精度提高了2.1%。由此證明了Riccati傳遞矩陣法分析電主軸的準確性和可行性。

4 預緊力對軸系振動的影響

軸承預緊力對主軸系統(tǒng)的固有頻率、振動、剛度、軸承溫升等具有重要影響。如果能對主軸系統(tǒng)施加合適的預緊力，它能夠有效提高軸系的固有頻率、軸系剛度，降低軸系振動，對于提高主軸系統(tǒng)的運行性能具有重大意義。

在ANSYS中有三種諧響應分析方法：完全法、縮減法和模態(tài)疊加法。其中綜合考慮計算效率、方法特點及主軸系統(tǒng)的具體情況，本文采用模態(tài)疊加法進行諧響應分析計算[24]。

在激振力的作用下，當激振力的固有頻率和電主軸的固有頻率相等時，在電主軸的固有頻率處會發(fā)生共振并產(chǎn)生響應位移。本文主要對不同預緊力下軸系一階頻率的響應位移進行了計算分析，選取初始激振力F=50N，加載在主軸前段。具體分析步驟如下：

⑴在對模擬軸承的彈簧處施加阻尼。對前軸承的模擬彈簧施加阻尼為1.17N·s/mm，對后軸承的模擬彈簧施加阻尼為 0.765N·s/mm。

⑵計算初始預緊力為50N時電主軸的固有頻率。根據(jù)軸承徑向剛度計算公式(1)，對前后軸承的軸向彈簧施加剛度為Kr=2245.42N·mm-1。通過有限元軟件首先計算出軸系相應的固有頻率，之后再計算出在此固有頻率下的軸系諧響應，并分別記錄軸系前端、中間和后端的諧響應位移。

⑶重復步驟⑵分別求當對軸承施加預緊力為100N、150N、200N、250N、300N、350N、400N時，主軸前端、中間和后端的諧響應位移。

根據(jù)以上步驟可以得到當主軸在不同預緊力下作用時，主軸前端、主軸后端和主軸中間的徑向響應位移，如圖10～圖12所示。

圖10 主軸前端徑向響應

圖11 主軸后端徑向響應位移

圖12 主軸中間徑向響應位移

從圖10～圖12中可以得到，主軸前端和后端的徑向響應位移隨著預緊力的增大而減小，主軸中間的徑向響應位移隨著預緊力的增大而增大。由此可以得到對軸承施加合適預緊力能夠降低主軸前端和后端的振動，且在主軸軸承等彈性支撐附近施加的預緊力要比在非彈性支撐處施加的預緊力大，有助于降低振動位移，這對指導研發(fā)高性能電主軸具有重要意義。

5 結論

(1)Riccati傳遞矩陣法求得的電主軸的固有頻率和臨界轉速與實驗結果最大誤差為7.2%，比傳統(tǒng)矩陣法精度提高了2.1%，證明了Riccati傳遞矩陣法的準確行與可行性，解決了傳統(tǒng)傳遞矩陣法運算精度降低的問題。

(2)電主軸在運轉過程中，在軸系的彈性支撐附近對不平衡量比較敏感，響應的振幅較大，易發(fā)生共振。

(3)適當增加預緊力能夠降低主軸前端和主軸后端的振動，可以有效的避免由于振動帶來的影響。