由覆杯實驗引申的壓強(qiáng)問題研究

莊 黨，張 帆，張立娜，胡君輝，杜 婧，全文文，陽 麗

(廣西師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

在初中物理實驗中，覆杯實驗因為取材方便、操作簡單、現(xiàn)象直觀一直被用作驗證大氣壓存在的演示實驗. 將玻璃杯裝滿水，在杯口蓋1張紙，然后倒置，可以發(fā)現(xiàn)水被紙片托住. 實驗時，一般認(rèn)為玻璃杯一定要裝滿水，不然實驗就會失敗[1]. 在實際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生在不裝滿水的情況下，同樣的方法倒置依然可以托住水. 為此，本文針對該問題展開了分析.

1 實驗?zāi)Ｐ?/h2>

圖1(a)是實際做實驗過程中，觀察到的實驗現(xiàn)象：液面上方會有凹層，而在液面和紙張接觸處會有1層水層. 根據(jù)圖1(a)，可以做如圖1(b)所示的實驗?zāi)Ｐ蛨D來討論.

(a)實物實驗 (b)模型 圖1 覆杯實驗

1.1 液面附加壓強(qiáng)

由圖1(b)模型可知，紙張和水杯之間形成附著層. 液面下降的原因不是因為附著層，若不考慮附著層，不妨設(shè)下降高度為Δh，此時液面上部形成凹層. 由于Δh非常小，且下降的水全部分散于附著層內(nèi)，因此可以認(rèn)為水的高度h不發(fā)生變化. 液面上方形成的凹面. 因為弧度非常小，可以認(rèn)為此凹面是半徑為X的球體的一部分，如圖2所示. 液塊受到3部分的力作用：1)通過液塊邊線作用在液面的張力；2)由底部作用于液面引起的附加壓強(qiáng)所導(dǎo)致的壓力；3)液塊受到的重力，與前兩部分力相比，小得很多，可忽略不計[2].

圖2 液體凹面受力示意圖

通過邊線每一微段dl作用在液體表面的張力dF0=αdl，可以分解成垂直于底面的分力和平行于底面的分力：

dF1=dF0sinφ=αdlsinφ,

(1)

dF2=dF0cosφ=αdlcosφ.

(2)

這兩部分力中，平行于底面方向的各個分力dF2由于方向都垂直于軸線OA，由對稱性可知，其合力為零；而垂直于底面方向的分力dF1，方向相同，合力大小為

(3)

根據(jù)平衡條件，液面下表面受到的力源于液面上下的壓強(qiáng)差[3]，即F1=Δpπr2，于是可以得到凹面的附加壓強(qiáng)[2]為

(4)

1.2 紙張和附著層的平衡條件

在此模型中，紙張能夠被吸附，是因為紙張和液塊分別滿足了平衡條件. 在紙張和杯子之間會形成液體的附著層，如圖3所示. 由于液塊自身的重力非常小，可忽略不計. 因此，液塊受到的力可以分成2部分：一部分是由于紙張的重力所引起的拉力F,另一部分是液體內(nèi)部給小液塊的力. 液體內(nèi)部的力又可以分為3個區(qū)域:附著層內(nèi)部Ⅰ、液體內(nèi)部Ⅱ和表面層內(nèi)部Ⅲ. 區(qū)域Ⅰ作用的力是沿著紙張表面的壓力N，區(qū)域Ⅲ作用的力是水的張力T, 區(qū)域Ⅱ作用的力的大小與T和N相比太小可以忽略不計. 因此附著層的小液塊受到的力分別為N,F和T.

圖3 附著層與紙張受力示意圖

由平衡條件可以得到，

Tcosθ=N,

(5)

Tsinθ=F.

(6)

由(5)～(6)式可知，決定平衡的條件為：液體的張力、接觸角θ以及紙張的重力[3]. 液體的張力T由液體本身的性質(zhì)決定，接觸角θ由液體和紙張的相對性質(zhì)決定，對于給定的液體和紙張，接觸角θ是確定值. 因此，要使實驗現(xiàn)象得以實現(xiàn)的前提，取決于覆蓋物的質(zhì)量m以及液體與覆蓋物的本身屬性.

2 杯內(nèi)水柱平衡條件

由圖3可知，在杯子沒有被倒置之前. 杯內(nèi)的空氣體積為V，當(dāng)杯子被倒置時，液面會形成凹面. 此時杯內(nèi)的空氣體積將會變大，而增加的體積是以X為半徑高為Δh的球冠，其大小為

(7)

倒置之后，杯內(nèi)空氣體積為V1=V+V0. 根據(jù)氣體的物態(tài)方程[4]

pV=nRT=K,

(8)

式中，p為氣體壓強(qiáng)，V為氣體體積，n為氣體分子數(shù)，R為普適氣體常量.

2.1 支撐水柱的壓強(qiáng)分析

根據(jù)實驗過程可知，在倒置前后，溫度的變化可忽略，分子數(shù)并未發(fā)生改變[5]，因此K為常量. 此時，杯內(nèi)空氣的氣壓值為

(9)

外界大氣壓值為

(10)

(11)

A點與B點的高度差為h. 此時，B點的壓強(qiáng)為

(12)

根據(jù)流體靜力學(xué)的基本原理，流體靜止時等高的兩點的壓強(qiáng)相等. 忽略紙張厚度，即pC=pB=p0，于是有

(13)

由(9)式～(10)式和(12)式～(13)式可以知道水柱高度與壓強(qiáng)的關(guān)系

(14)

由(14)式可知，支撐起水杯中水柱的原因為：彎曲液面內(nèi)外的壓強(qiáng)差及由于杯內(nèi)空氣與外界大氣的壓強(qiáng)差[6].

2.2 水柱平衡的實際數(shù)據(jù)分析

(14)式中后面部分，由(8)式可得

(15)

對于(15)式中，由于球冠的體積邊緣較小，可以近似認(rèn)為它的體積是以半徑為r、高為Δh的圓柱的體積[6]，即

(16)

由此(15)式可以化解為

(17)

實際實驗中，l的高度約5 cm，假設(shè)Δh的高度為1 mm，綜合(14)式和(17)式可以得到，杯內(nèi)空氣與外界大氣的壓強(qiáng)差能夠支撐起的水柱高度為20.2 cm. 可見，這是撐起水柱的主要原因. 1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓可以支撐起10 m左右的水柱，而該實驗的水杯高度不會超過0.1 m. 由(17)式只要增加的凹面的體積不超過原有體積1%，形成的壓強(qiáng)差就可以支撐起水柱[7].

3 實驗驗證

3.1 實驗材料與實驗方法

實驗材料：普通玻璃杯1個(高13.5 cm)，不透水卡片1張，自來水. 為了清楚地看到玻璃杯內(nèi)的空氣柱長度，在玻璃杯壁上標(biāo)刻度.

為了演示玻璃杯中空氣柱的高度不會影響“覆杯實驗”的成功，分別進(jìn)行了9組實驗，分別控制水柱的高度為玻璃杯的1/16，1/8，2/8，…,直到整杯水[8].

3.2 實驗現(xiàn)象

分別拍攝1/16,1/8,2/8,3/8,4/8,5/8,6/8,7/8以及滿杯水9種情況下覆杯實驗的演示現(xiàn)象,如圖4所示. 以上該實驗均獲得成功，由式(14)和(17)也可知杯內(nèi)空氣與外界大氣的壓強(qiáng)差能夠支撐起的水柱高度為20.2 cm，在此實驗中即使?jié)M杯水也未超過20.2 cm. 同時，1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓可以支撐起10 m左右的水柱，在實驗中遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有達(dá)到10 m高度，且每次增加1/8的水量帶來的凹面體積的增加并未超過原有體積的1%. 因此，在實驗中液面高度的變化并不影響覆被實驗的成功.

(a)裝滿水 (b)7/8杯水 (c)6/8杯水

(d)5/8杯水 (e)4/8杯水 (f)3/8杯水

(g)2/8杯水 (h)1/8杯水 (i)1/16杯水圖4 不同水位的覆杯實驗

4 結(jié) 論

探究了未裝滿水的水杯能托起水柱的原因. 實驗結(jié)果表明：液體的張力、接觸角以及覆蓋物的重力決定了紙張和附著層的平衡條件，滿足平衡條件是此實驗實現(xiàn)的前提，能支撐起水杯中水柱的原因是彎曲液面內(nèi)外的壓強(qiáng)差和杯內(nèi)空氣與外界大氣的壓強(qiáng)差，而杯內(nèi)空氣與外界大氣的壓強(qiáng)差是托起水柱的主要原因.