基于雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則的剩余強度預(yù)測

賈琪

(成都飛機工業(yè)(集團)有限責(zé)任公司 技術(shù)中心，成都 610092)

0 引 言

薄壁結(jié)構(gòu)(例如金屬加筋壁板)為機身、機翼等航空結(jié)構(gòu)中的典型構(gòu)型。當(dāng)薄壁結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)裂紋時，必須對該結(jié)構(gòu)進行全面的剩余強度分析以保證飛機在服役期間的安全性。以應(yīng)力強度因子為代表的線彈性斷裂力學(xué)發(fā)展最為完善，國內(nèi)外先后匯編了典型結(jié)構(gòu)的應(yīng)力強度因子手冊[1-2]。若應(yīng)力強度因子能夠成功估算彈塑性結(jié)構(gòu)的斷裂強度，已有的應(yīng)力強度因子手冊將簡化結(jié)構(gòu)剩余強度的評估流程。通常，薄壁結(jié)構(gòu)的板厚較小，其裂紋尖端的塑性尺寸區(qū)較大，基于線彈性斷裂力學(xué)的評估方法不再適用[3]。

Jr J.C.Newman于20世紀(jì)70年代提出了雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則[4-5]。該準(zhǔn)則以Neuber公式[6]為基礎(chǔ)，并根據(jù)Inglis彈性無限大寬板的裂紋尖端應(yīng)力集中系數(shù)[1]獲得。在推導(dǎo)過程中，Jr J.C.Newman直接運用應(yīng)力強度因子代替了公式中應(yīng)力值。這一假設(shè)使得雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則只能成為一個經(jīng)驗公式。

近年來，Jr J.C.Newman及其團隊[7-9]發(fā)現(xiàn)：雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則可以非常精確地估算彈塑性結(jié)構(gòu)的剩余強度。他們先后應(yīng)用試驗數(shù)據(jù)、彈塑性有限元分析驗證了這一結(jié)果。即雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則可以看作是應(yīng)力強度因子在彈塑性斷裂力學(xué)中的推廣。

2017年，K.S.Ravi Chandran[10]給出了有限寬板應(yīng)力強度因子邊界修正系數(shù)的物理意義，發(fā)現(xiàn)邊界修正系數(shù)決定含裂紋試樣的凈截面應(yīng)力。這一發(fā)現(xiàn)與Jr J.C.Newman的雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則不謀而合，因為雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則的本質(zhì)就是建立試樣失效時的應(yīng)力強度因子與試樣凈截面應(yīng)力之間的聯(lián)系。

由于Jr J.C.Newman的推導(dǎo)含有一些假設(shè)，本文首先對雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則進行重新推導(dǎo)，并嚴(yán)格導(dǎo)出該準(zhǔn)則的公式；然后，對準(zhǔn)則進行簡化，并應(yīng)用M(T)及C(T)試樣對簡化的雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則進行驗證；最后，應(yīng)用該準(zhǔn)則估算三孔拉伸試樣的剩余強度，驗證雙參數(shù)準(zhǔn)則預(yù)測復(fù)雜結(jié)構(gòu)剩余強度的能力。

1 雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則推導(dǎo)

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，裂紋前沿的彈性理論應(yīng)力集中系數(shù)KT為

(1)

(2)

式中：Kσ和Kε分別為彈塑性真實應(yīng)力集中系數(shù)和彈塑性真實應(yīng)變集中系數(shù)；σ和ε分別為裂紋尖端應(yīng)力與應(yīng)變；σn和εn分別為凈截面應(yīng)力與應(yīng)變。當(dāng)凈截面應(yīng)力小于屈服強度時，σn=Eεn(E為楊氏模量)。

對于無限大寬板

(3)

式中：a為裂紋長度(中心裂紋長度為2a)；ρ為裂紋尖端曲率半徑。

將式(2)和式(3)代入式(1)，得

(4)

對于無限大寬板而言，中心裂紋對凈截面應(yīng)力沒有影響，即σn=σapp(σapp為遠(yuǎn)端施加載荷)。

因此，式(4)可以整理為

(5)

無限大寬板應(yīng)力強度因子為

(6)

(7)

式(7)可以用作斷裂準(zhǔn)則。

對于給定的材料、約束條件、加載條件，可以假設(shè)裂紋尖端失效時：①裂紋尖端的局部應(yīng)力等于失效強度σf；②裂紋尖端的局部應(yīng)變等于失效應(yīng)變εf；③裂紋尖端失效時的曲率半徑為材料常數(shù)ρf[1]。

因此，當(dāng)試樣或者結(jié)構(gòu)發(fā)生失效時，

(8)

式中：Kc為試樣失效時的應(yīng)力強度因子。

式(8)可以整理為

(9)

式中：σys為材料的屈服強度。

令

(10)

由上述假設(shè)及式(10)可知，Kf與m僅與材料參數(shù)、裂紋應(yīng)力約束水平、加載條件有關(guān)，因此可以看作材料的斷裂韌性參數(shù)。則雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則的公式為式(11)，要求σn≤σys。

(11)

為了將上述準(zhǔn)則推廣至有限寬板，必須首先分析裂紋尖端應(yīng)力強度因子的基本意義。對于有限寬板，其應(yīng)力強度因子Kfin可表述為

(12)

K.S.Ravi Chandran[10]最近給出了有限寬板邊界修正系數(shù)的物理意義。他發(fā)現(xiàn)邊界修正系數(shù)與含裂紋試樣的凈截面應(yīng)力相關(guān)，即當(dāng)應(yīng)力強度因子的大小保持不變時，邊界修正系數(shù)的存在使得有限寬板的凈截面應(yīng)力等于無限寬板的凈截面應(yīng)力。根據(jù)上述論斷，式(7)可以直接轉(zhuǎn)化為

(13)

根據(jù)式(13)，雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則可以直接運用于有限寬度結(jié)構(gòu)?？紤]到裂紋尖端應(yīng)變硬化的存在，式(11)可以修正為

(14)

式中：σu為材料的拉伸強度。

上述推導(dǎo)過程適用于拉伸載荷作用下的試樣。而對于彎曲載荷及復(fù)合載荷作用下的試樣，Jr J.C.Newman[5]給出了如下修正：

(15)

式中：Su為塑性鉸應(yīng)力。當(dāng)試樣處于拉伸載荷作用下時，Su=σu；當(dāng)試樣處于純彎曲載荷作用下時，Su=1.5σu；當(dāng)試樣處于復(fù)合載荷作用下時(主要針對C(T)試樣)，Su=1.63σu。

2 簡單試樣算例

為了應(yīng)用雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則，必須首先得到Kf與m，然后運用這兩個參數(shù)估算相同厚度下結(jié)構(gòu)的剩余強度。為了得到這兩個參數(shù)，可以對一組試樣進行試驗，并畫出Kc-σn/Su曲線。Kc-σn/Su曲線是一條直線，根據(jù)該曲線的斜率及截距可以得到Kf與m。

本節(jié)主要關(guān)心兩個問題：

(1) 在相同厚度(或約束)及材料下，由一組試樣得到的Kf與m值是否可應(yīng)用到不同載荷條件下的試樣？

(2) 雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則需要被估結(jié)構(gòu)剩余強度值及對應(yīng)的臨界裂紋尺寸。因此是否可以將公式中的真實裂紋長度替換為結(jié)構(gòu)的初始裂紋長度？

本文選取一組M(T)與C(T)試樣[11]。試樣的厚度B為2.3 mm且材料為L-T方向的2024-T3鋁合金。該材料的性能如表1所示。

表1 鋁合金2024-T3的材料性能

試樣的幾何構(gòu)型如表2所示。寬度W指試樣全寬。初始裂紋比對于M(T)試樣為2a0/W、對于C(T)試樣為a0/W。Fc及Δac分別為試樣的最大載荷及所對應(yīng)的裂紋擴展量。為了使結(jié)果一致，F(xiàn)c的單位為千牛(kN)，對于M(T)試樣Fc=σc·WB。

表2 M(T)及C(T)幾何構(gòu)型

2.1 問題(1)

首先應(yīng)用寬度為304.8 mm的M(T)試樣的試驗數(shù)據(jù)估算Kc-σn/Su曲線并得到Kf與m。其次應(yīng)用上述得到的Kf、m估算寬度為152.4 mmC(T)試樣的剩余強度。

M(T)與C(T)的應(yīng)力強度因子均源于ASTM E561[12]，其中M(T)試樣的應(yīng)力強度因子為

(16)

C(T)試樣的應(yīng)力強度因子為

(17)

式中：f(x)=0.886+4.64x-13.32x2+14.72×x3-5.6x4。

M(T)試樣的凈截面應(yīng)力為[5]

(18)

C(T)試樣的凈截面應(yīng)力為[5]

(19)

根據(jù)式(15)～式(16)及式(18)，基于寬度為304.8 mmM(T)試驗數(shù)據(jù)的Kc-σn/Su曲線如圖1所示。

圖1 基于臨界裂紋長度的Kc-σn/Su曲線

圖2 寬152.4 mm C (T)試樣的估算結(jié)果

2.2 問題(2)

為了使雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則方便應(yīng)用，本文假設(shè)：Kc和σn中的裂紋長度取為試樣的初始裂紋長度a0。以M(T)試樣為例，當(dāng)試樣發(fā)生失效時，

(20)

(21)

在上述假設(shè)下，Kc-σn/Su曲線會發(fā)生改變，那么此時的Kc-σn/Su曲線能否用于估算結(jié)構(gòu)的剩余強度？

同理，應(yīng)用304.8 mmM(T)的試驗數(shù)據(jù)得到Kc-σn/Su曲線，并應(yīng)用Kf與m的值估算其余M(T)及C(T)試樣的剩余強度。基于初始裂紋長度Kc-σn/Su的曲線如圖3所示。

圖3 基于初始裂紋長度的Kc-σn/Su曲線

圖4 M(T)試樣估算結(jié)果

圖5 C(T)試樣估算結(jié)果

從圖4～圖5可以看出：寬度為609.6 mm M(T)試樣的估算誤差為5.2%，寬度為152.4 mm C(T)試樣的估算誤差為6.9%，其中5.2%和6.9%為相對誤差。相較于原準(zhǔn)則，簡化準(zhǔn)則的誤差較大，但均在工程接受范圍之內(nèi)。結(jié)果表明：在運用雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則估算結(jié)構(gòu)的剩余強度時，可以應(yīng)用初始裂紋長度代替斷裂時的裂紋長度。這大大簡化了雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則的應(yīng)用，因為被估結(jié)構(gòu)的臨界裂紋長度通常未知，而結(jié)構(gòu)的初始裂紋長度總是已知的。

為了進一步驗證以上結(jié)果，本文選取厚度為7.6 mm的M(T)、C(T)試樣[13]，試樣材料均為L-T方向的2324-T39。其中M(T)試樣的寬度分別102 mm、305 mm，C(T)試樣的寬度分別為102 mm、152 mm；M(T)試樣的初始裂紋長度比均為1/3，C(T)試樣的初始裂紋長度比均為0.4。材料的基本屬性如表3所示，試樣的試驗數(shù)據(jù)及估算結(jié)果如表4所示，其中Kf、m是根據(jù)M(T)試樣的試驗數(shù)據(jù)計算得到的，計算過程運用了基于初始裂紋長度的Kc-σn/Su曲線。

表3 鋁合金2324-T39的材料性能

表4 試驗數(shù)據(jù)及估算結(jié)果

由于Kf、m是根據(jù)M(T)試樣的試驗數(shù)據(jù)計算得到的，表4沒有給出M(T)試樣的估算結(jié)果。從表4可以看出：大寬度試樣的估算誤差要大于小寬度試樣的估算誤差。其原因為大寬度試樣的裂紋穩(wěn)態(tài)擴展量要大于小寬度試樣的裂紋擴展量，運用初始裂紋長度會導(dǎo)致更大的誤差，但估算誤差均在工程接受范圍內(nèi)。

3 復(fù)雜試樣算例

為了驗證簡化雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則估算復(fù)雜結(jié)構(gòu)剩余強度的能力，本節(jié)運用簡化雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則估算三孔拉伸試樣(如圖6所示)的剩余強度。

圖6 三孔拉伸試樣

該試樣具有類似于加筋壁板的應(yīng)力強度因子，Jr J.C.Newman[14]及P.W.Tan等[15]得到了該試樣的應(yīng)力強度因子公式。

(22)

式中：g(x)=1.879-2.89x-25.56x2+96.55×x3-76.56x4。

本文選取三組厚度為12.7 mm三孔拉伸試樣[14]，它們的材料分別為2024-T351、7075-T651及304鋼。三種材料的基本屬性如表5所示。

表5 三孔拉伸試樣材料性能

Jr.J.C.Newman也對相應(yīng)的M(T)及C(T)進行了拉伸試驗。根據(jù)這些試驗數(shù)據(jù)可得到材料的Kc-σn/Su曲線。M(T)及C(T)的試驗數(shù)據(jù)如表6～表8所示。相應(yīng)的Kc-σn/Su曲線如圖7～圖9所示。

表6 2024-T351試驗數(shù)據(jù)

表7 7075-T651試驗數(shù)據(jù)

表8 304不銹鋼試驗數(shù)據(jù)

圖7 12.7 mm 2024-T351 Kc-σn/Su曲線

圖8 12.7 mm 7075-T651 Kc-σn/Su曲線

圖9 12.7 mm 304不銹鋼Kc-σn/Su曲線

估算結(jié)果與試驗結(jié)果的對比如圖10～圖12所示，其中B=12.7 mm。

圖10 2024-T351試樣的預(yù)測結(jié)果

圖11 7075-T651試樣的預(yù)測結(jié)果

圖12 304不銹鋼試樣的預(yù)測結(jié)果

從圖10～圖12可以看出：2024-T351、7075-T651、304鋼的估算誤差均在5%以內(nèi)。由于三孔拉伸試樣的應(yīng)力強度因子類似于加筋壁板的應(yīng)力強度因子，簡化的雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則也適用于加筋壁板結(jié)構(gòu)。雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則是一種半經(jīng)驗半解析的方法，該方法不需要對結(jié)構(gòu)進行有限元分析。

4 結(jié) 論

(1) 本文運用初始裂紋長度代替結(jié)構(gòu)斷裂時的裂紋尺寸對雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則進行了簡化，并分別運用原斷裂準(zhǔn)則及簡化準(zhǔn)則估算了M(T)及C(T)試樣的剩余強度。原準(zhǔn)則的估算誤差在2%，簡化準(zhǔn)則的誤差在6.9%。盡管簡化準(zhǔn)則的誤差大于原準(zhǔn)則，該誤差仍然在工程接受的范圍內(nèi)。

(2) 應(yīng)用簡化的雙參數(shù)準(zhǔn)則估算了三孔拉伸試樣的剩余強度。估算結(jié)果的誤差在5%以內(nèi)，這一結(jié)果說明雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則可以用于加筋壁板剩余強度的預(yù)測。