吳曉剛
中考對反比例函數(shù)的應(yīng)用這塊內(nèi)容的要求是:結(jié)合具體情境體會反比例函數(shù)的意義,能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達式,能用反比例函數(shù)解決簡單實際問題。下面是生活中的反比例函數(shù)原型,希望這些試題能對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。
例1 (2017·浙江麗水)麗水某公司將“麗水山耕”農(nóng)副產(chǎn)品運往杭州市場進行銷售,記汽車行駛時間為t小時,平均速度為v千米/小時(汽車行駛速度不超過100千米/小時)。根據(jù)經(jīng)驗,v、t的一組對應(yīng)值如下表:
[v(千米/小時) 75 80 85 90 95 t(小時) 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 ]
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),求出平均速度v(千米/小時)關(guān)于行駛時間t(小時)的函數(shù)表達式。(2)汽車上午7:30從麗水出發(fā),能否在上午10:00之前到達杭州市場?請說明理由。(3)若汽車到達杭州市場的行駛時間t滿足3.5≤t≤4,求平均速度v的取值范圍。
【解析】根據(jù)表中數(shù)據(jù),經(jīng)過簡單推理可判斷v是t的反比例函數(shù),運用待定系數(shù)法求出相應(yīng)的函數(shù)表達式,再驗證其余幾種特殊情況。有了函數(shù)表達式,根據(jù)行駛速度v即可求出行駛時間t,反之,根據(jù)行駛時間t即可求出行駛速度v,再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即能解決問題。
解:(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),可畫出v關(guān)于t的函數(shù)圖像(如圖1所示),根據(jù)圖像形狀,選擇反比例函數(shù)模型進行嘗試。設(shè)v與t的函數(shù)表達式為v=[kt],∵當(dāng)v=75時,t=4,∴k=75×4=300,∴v=[300t]。將點(3.75,80),(3.53,85),(3.33,90),(3.16,95)的坐標(biāo)代入v=[300t]驗證即可。(2)∵汽車行駛速度不超過100千米/小時,當(dāng)v=100時,t=[300v]=3,則t≥3。7.5+3=10.5>10,∴汽車上午7:30從麗水出發(fā),不能在上午10:00之前到達杭州市場。(3)由反比例函數(shù)性質(zhì)得,當(dāng)3.5≤t≤4時,75≤v≤[6007]。
【點評】若函數(shù)中有兩個變量,這兩個量符合的函數(shù)表達式是其最本質(zhì)的關(guān)系。
例2 (2018·四川樂山)某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時,用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜。如圖2是試驗階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后,大棚內(nèi)的溫度y(℃)與時間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系,其中線段AB、BC表示恒溫系統(tǒng)開啟階段,雙曲線的一部分CD表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段。請根據(jù)圖中信息解答下列問題:(1)求這天的溫度y與時間x(0≤x≤24)的函數(shù)關(guān)系式。(2)求恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度。(3)若大棚內(nèi)的溫度低于10℃,蔬菜會受到傷害。問這天內(nèi),恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多少小時,才能使蔬菜避免受到傷害?
【解析】根據(jù)3段函數(shù)圖像的特點,可知分別對應(yīng)一次函數(shù)、常數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù),要求后兩段函數(shù)圖像的解析式,得先求B、C兩點的坐標(biāo)。要使蔬菜避免受到傷害,大棚內(nèi)的溫度不能低于10℃,找到反比例函數(shù)圖像上y=10對應(yīng)的點的橫坐標(biāo),其與關(guān)閉時刻的差就是最多可以關(guān)閉的時間。
解:(1)設(shè)線段AB解析式為y=k1x+b(k1≠0),將點(0,10)、(2,14)代入,解得[k1=2,b=10,]∴AB解析式為:y=2x+10(0≤x≤5)?!連在線段AB上,當(dāng)x=5時,y=20,∴B坐標(biāo)為(5,20),∴線段BC的解析式為:y=20(5≤x≤10)。設(shè)雙曲線CD解析式為:y=[k2x](k2≠0),∵C(10,20),∴k2=200。∴雙曲線CD解析式為:y=[200x](10≤x≤24);(2)由(1)得,恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒溫為20℃;(3)把y=10代入y=[200x]中,解得x=20,20-10=10,∴恒溫系統(tǒng)最多關(guān)閉10小時。
【點評】分段函數(shù)實際上是對這個函數(shù)分類討論時的不同結(jié)論。本題綜合考查了3類函數(shù)的圖像與性質(zhì),抓住函數(shù)圖像上的特殊點、臨界點是解題的關(guān)鍵。
例3 (2018·河北)圖3是輪滑場地的截面示意圖,平臺AB距x軸(水平)18米,與y軸交于點B,與滑道y=[kx](x≥1)交于點A,且AB=1米。運動員(看成點)在BA方向獲得速度v米/秒后,從A處向右下飛向滑道,點M是下落路線的某位置。忽略空氣阻力,實驗表明:M、A的豎直距離h(米)與飛出時間t(秒)的平方成正比,且t=1時h=5,M、A的水平距離是vt米。(1)求k,并用t表示h;(2)設(shè)v=5,用t表示點M的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y,并求y與x的關(guān)系式(不寫x的取值范圍),及y=13時運動員與正下方滑道的豎直距離;(3)若運動員甲、乙同時從A處飛出,速度分別是5米/秒、v乙米/秒,當(dāng)甲距x軸1.8米,且乙位于甲右側(cè)超過4.5米的位置時,直接寫出t的值及v乙的范圍。
【解析】本題是反比例函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,考查了兩類函數(shù)的圖像及其性質(zhì)。根據(jù)題意,結(jié)合圖像可分別得到x、y與t的函數(shù)關(guān)系式,借助“橋梁”t可求得y與x的關(guān)系式。最后根據(jù)條件分別列出方程、不等式即可。
解:(1)將點A(1,18)代入y=[kx]得:k=18,設(shè)h=at2,將t=1,h=5代入,得a=5,∴h=5t2。(2)∵v=5,AB=1,∴x=5t+1?!遠(yuǎn)=5t2,OB=18,∴y=
-5t2+18。由x=5t+1,得t=[15](x-1),∴y=[-15](x-1)2+18。當(dāng)y=13時,x=6或-4(舍)。把x=6代入y=[18x],得y=3。∴運動員與正下方滑道的豎直距離是13-3=10(米);(3)把y=1.8代入y=
-5t2+18,得t=±1.8(負(fù)值舍去),x=5×1.8+1=10?!嗉诪椋?0,1.8)恰好落在滑道y=[18x]上。此時,乙的坐標(biāo)為(1+1.8v乙,1.8)。由題意得1+1.8v乙-10>4.5,∴v乙>7.5。
【點評】本題以滑道(反比例函數(shù)圖像)為載體,研究運動員滑行路線(二次函數(shù)圖像)上的特殊點。3個變量的轉(zhuǎn)化是難點,需要同學(xué)們運用數(shù)形結(jié)合,抓住幾個關(guān)鍵點,建立數(shù)學(xué)模型。
(作者單位:江蘇省南菁高級中學(xué)實驗學(xué)校)