基于自然邊界元的一類擬線性問題的數值算法*

高志宇，姚雪春

(南京財經大學應用數學學院，南京 仙林 210046)

在物理學、工程技術學等諸多領域中，大部分的計算問題可以歸結為區(qū)域上的偏微分方程數值問題，邊界元法和有限元法等數值方法被廣泛應用.但自然邊界元法在單獨處理非線性問題上困難重重，而有限元法能適應較任意的區(qū)域及更廣泛的問題；因此，針對某些特殊的非線性問題，就產生了自然邊界元與有限元耦合法[1-3].

1 非重疊型區(qū)域分解算法

根據邊界的具體特點，筆者以橢圓弧作為人工邊界，利用非重疊型區(qū)域分解算法(即Dirichlet-Neumann(D-N)交替算法)研究長條形區(qū)域上的擬線性方程[4-6].設Ω為R2上具有長條形內邊界的簡單有界連通區(qū)域，且有足夠光滑的邊Γ，則

(1)

在靜磁學領域，a表示磁導率，u表示標量磁勢;在流體力學領域，a表示密度，u表示標量速度勢.

圖1 橢圓人工邊界Fig. 1 Elliptic Artificial Boundary

對于問題(1)，選取橢圓人工邊界(圖1)，即以原點為中心，作橢圓弧Γ1={(μ,φ)|μ=μ1,0≤φ≤2π}，滿足dist(Γ,Γ1)>0.這樣，Γ1將區(qū)域Ω分成Ω1和Ω22個子區(qū)域，其中Ω1是Γ1,Γ圍成的有界區(qū)域，Ω2是Γ1以外的無界區(qū)域.

由文獻[5,7]可知，a(x,u)和Γ1滿足：

(1)函數f的緊支集suppf?Ω1；

(2)對于?u∈R，存在常數C0,C1∈R，使得

0

(2)

(3)對于?u,v∈R和幾乎所有的x∈Ω，存在常數CL>0，使得

|a(x,u)-a(x,v)|≤CL|u-v|.

D-N交替算法的步驟如下：

(ⅱ)在Ω2上求解邊值問題

(3)

(ⅲ)在Ω1上求解混合邊值問題

(4)

(ⅴ)令k=k+1，轉(ⅱ).

在上述步驟中，松弛因子δk可取適當的實數，問題(3)可用自然邊界元法求解，問題(4)可用有限元法求解.此外，因為只需求問題(3)的解在Γ1上的法向導數值，所以無須直接求解問題(3).基于Kirchhoff變換，利用自然邊界元法可得問題(3)的自然積分方程.

對于區(qū)域Ω2上的邊值問題，由Kirchhoff變換[8]可得

(5)

由自然邊界歸化原理，得到Possion積分公式

(6)

相應的自然積分方程為

(7)

(6)和(7)式的傅里葉形式分別為

(8)

由(5)式可得

(9)

由(8)和(9)式可得Γ1上的精確的邊界條件

2 等價變分問題

對于問題(4)，引入標準Sobolev空間Wm,p，‖·‖和|·|分別參照范數和半范數的定義，給出新定義：

Hm(Ω)=Wm,2(Ω)，|·|m,Ω=|·|m,2,Ω，‖·‖m,Ω=‖·‖m,2,Ω.

其解空間V={v∈H1(Ω1)|v|Γ=0}，相應范數為

邊值問題(6)等價于如下變分問題：求u∈V，使得

a(u;u,v)+b(u;u,v)=F(v) ?v∈V.

(10)

其中：

3 有限元逼近

Vh={vh∈V|v|K是一個線性多項式，?K∈ζh}，

則近似問題(10)可以轉化為：求uh∈V，使得

a(uh;uh,vh)+b(uh;uh,vh)=F(vh) ?vh∈Vh.

(11)

其中：

引理1存在常數C2>0，使得

|a(u;u,v)+b(u;u,v)|≤C2‖u‖1,Ω1·‖v‖1,Ω1,

根據離散化問題(11)，與線性問題的研究結果類似，可得如下形式的線性方程組：

(12)

方程組(12)可以轉化為

于是有迭代算法

(13)

Λk+1=δkUk+(1-δk)Λkk=0,1,2….

(14)

定理 2當0

4 數值實例

現給出一個數值實例，以說明D-N交替算法的可行性.對于擬線性問題

圖2 8×32三角形網格剖分Fig. 2 Mesh of Triangle Subdivision is 8×32

圖3 網格參數h與收斂速度qh的關系Fig. 3 Relationship Between Mesh Parameters h and Convergence Rate qh

網格收斂速度k012345he(k)0.151 6580.118 2690.098 6660.086 5760.078 8070.073 604eh(k)0.033 3890.019 6030.012 0900.007 7690.005 203qh(k)1.703 1981.621 5141.556 1061.493 124

表1(續(xù))Table 1 (continued)

由以上結果可以看出，D-N交替算法是收斂的，且隨著迭代次數的增加，收斂速度與網格參數h無關.

5 結語

利用D-N交替算法和自然邊界元與有限元耦合法研究了長條形區(qū)域上的擬線性問題.根據區(qū)域形狀特點，引入橢圓弧人工邊界，用D-N交替算法解決了一類特殊的非線性算子擬線性問題，并給出迭代的收斂性分析.數值實例的結果表明，D-N交替算法對擬線性問題是可行且有效的.