基于一般灰數(shù)的灰靶決策模型拓展與應(yīng)用

劉中俠,劉思峰，蔣詩泉

（1.南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，南京 210016；2.銅陵學(xué)院 財(cái)稅與公共管理學(xué)院，安徽 銅陵 244000）

0 引言

灰靶理論最早是由灰色系統(tǒng)理論創(chuàng)始人鄧聚龍教授提出，其基本思想是在決策模型中含有灰元或在一般決策模型與灰色模型相結(jié)合的情況下，從一組模式序列中，找出最靠近子命題目標(biāo)值的數(shù)據(jù),構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)模式，各模式與標(biāo)準(zhǔn)模式一起構(gòu)成灰靶，標(biāo)準(zhǔn)模式即是靶心。每個(gè)灰關(guān)聯(lián)差異信息空間中的模式與靶心的灰關(guān)聯(lián)度稱靶心接近度，簡稱靶心度，并提出灰靶變換。繼鄧聚龍之后，劉思峰在灰靶決策模型中利用靶心距的數(shù)值反映了局勢效果向量的優(yōu)劣[1]。在鄧聚龍和劉思峰已有的研究基礎(chǔ)上，陸續(xù)有相關(guān)學(xué)者對灰靶決策進(jìn)行深入研究和擴(kuò)展[2-6]。文獻(xiàn)[7,8]從決策者指標(biāo)滿意域和風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度對群體決策的影響視角，提出了基于前景理論的三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)群體灰靶決策模型，該方法充分考慮了專家關(guān)于各屬性的心理期望灰靶和決策風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度。文獻(xiàn)[9]針對指標(biāo)值為區(qū)間數(shù)的情形，把灰靶決策模型由實(shí)數(shù)序列推廣到區(qū)間數(shù)序列，建立了基于區(qū)間數(shù)的灰靶決策模型。文獻(xiàn)[10]通過比較指標(biāo)集中各指標(biāo)值與靶心連線所圍成圖形的面積大小來對決策方案的優(yōu)劣進(jìn)行評價(jià)，從而在一定程度上弱化了建模對象中極端指標(biāo)值對靶心距計(jì)算結(jié)果的影響,建立了蛛網(wǎng)灰靶決策模型。文獻(xiàn)[11,12]提出了沖突利益主體不完全確定權(quán)重信息情景下的群決策方法和基于區(qū)間數(shù)的多時(shí)點(diǎn)多屬性灰靶決策模型，針對多屬性決策的不確定性和多時(shí)點(diǎn)性，利用隸屬度對案例進(jìn)行排序，旨在對決策方案的排序進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[13]結(jié)合層次分析法和離差最大法確定指標(biāo)權(quán)重，提出了多指標(biāo)灰靶決策的靶心貼近度法，該方法是對加權(quán)灰靶決策的一種改進(jìn)。本文在已有的研究成果基礎(chǔ)上，將灰靶決策理論從實(shí)數(shù)和區(qū)間灰數(shù)推廣到一般灰數(shù)，針對一般灰數(shù)灰靶決策方法的不足，給出一般灰數(shù)的概念及其距離計(jì)算公式。運(yùn)用多目標(biāo)線性規(guī)劃的理論給出確定指標(biāo)權(quán)重的優(yōu)化方法，依據(jù)灰靶決策思想，對目標(biāo)屬性值和方案值均是一般灰數(shù)的決策方案，構(gòu)建了基于一般灰數(shù)的灰靶決策模型，在一定程度上拓展了灰靶決策理論。

1 一般灰數(shù)的基本概念

在現(xiàn)實(shí)問題中，由于多種原因會(huì)使得決策信息表現(xiàn)為復(fù)雜性和不確定性，為了準(zhǔn)確地表示復(fù)雜不確定信息。在灰理論的思想的指導(dǎo)下，將區(qū)間灰數(shù)的概念和距離測度進(jìn)行了拓展，這些研究將為灰關(guān)聯(lián)與灰靶等決策模型提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

定義1[1]：設(shè)則稱g±為一般灰數(shù)。其中任一區(qū)間灰數(shù)，滿足且分別稱為g±的下界和上界。

2 基于一般灰數(shù)的灰靶決策模型構(gòu)建

基于一般灰數(shù)處理方法和灰靶決策模型的構(gòu)建機(jī)理的角度，下面分別依次論述模型構(gòu)建算法和步驟。

2.1 決策矩陣規(guī)范化處理

設(shè)skj為方案k的第j個(gè)指標(biāo)值，該值為一個(gè)一般灰數(shù)，即，其中k=1，2，…，l；j=1，2，…，m。

（1）若skj為效益型指標(biāo)，則規(guī)范化算子為，其中

（2）若skj為成本型指標(biāo)，則規(guī)范化算子為，其中

2.2 靶心和靶心距的確定

2.3 計(jì)算投影一致性系數(shù)

定義5：稱PrjA-A+(A-Ai)表示方案Ai與負(fù)靶心連線在正負(fù)靶心連線上的投影值；PrjAi+A(A-A+)表示正負(fù)靶心連線在方案Ai與正靶心連線上的投影值，其計(jì)算公式分別為

定理1：PrjA-A+(A-Ai)越大，方案Ai越靠近正靶心A+；越小，方案越遠(yuǎn)離正靶心越大，則方案Ai越靠近負(fù)靶心A-，PrjA+Ai(A-A+)越小，方案Ai越遠(yuǎn)離負(fù)靶心A-。

證明：（略）。

定理2：設(shè)PrjA-A+(A-Ai)與PrjAi+A(A-A+)如定義6所示，設(shè)，其中γi為一致性系數(shù)，則，且一致性系數(shù)γi越大說明第i方案越好。

證明：（略）。

定義6：稱ψi=Ri--Ri+為靶心距得分函數(shù)。其中，Ri+表示第i個(gè)方案到正靶心的正靶心距，Ri-表示第i個(gè)方案到負(fù)靶心的負(fù)靶心距。其中，ψi值越大表明方案越優(yōu)，值越小表明方案越劣。

定義7[14]：TODIM方案排序法，方案Ai相對每個(gè)方案Aj相對優(yōu)勢度，其中：

在上述優(yōu)勢度的計(jì)算公式中，Φc(Ai，Aj)表示方案Ai相對方案Aj在屬性C下的優(yōu)勢度，參數(shù)θ是衰退系數(shù)，其值越小，表示決策者損失規(guī)避程度越高。最后計(jì)算方案Ai的全局優(yōu)勢度根據(jù)ξi的大小對方案進(jìn)行排序，ξi越大，方案方案越好。

2.4 指標(biāo)權(quán)重的確定

設(shè)指標(biāo)權(quán)向量為w=(w1，w2，…，wm)T，根據(jù)灰靶決策模型的效果向量測度準(zhǔn)則，建立以下權(quán)重確定的多目標(biāo)最優(yōu)化模型：

3 基于一般灰數(shù)的灰靶模型決策步驟

步驟1：決策信息規(guī)范化處理；

步驟2：正負(fù)靶心確定；

步驟3：依2.4確定權(quán)重，計(jì)算靶心距和靶心距得分函數(shù)；

步驟4：計(jì)算投影值；

步驟5：計(jì)算灰靶決策一致性系數(shù)γi；

步驟6：TODIM法計(jì)算方案全局優(yōu)勢度；

步驟7：方案排序。

4 案例分析

某投資銀行準(zhǔn)備對一個(gè)企業(yè)進(jìn)行投資，通過第一輪篩選后，還剩最后三家企業(yè)，現(xiàn)要在這三家企業(yè)A1、A2、A3中選擇一家，其評價(jià)指標(biāo)分別為：S1表示企業(yè)年產(chǎn)值（千萬元）；S2表示企業(yè)社會(huì)效益（千萬元）；S3表示對環(huán)境污染程度，指標(biāo)權(quán)重為W=(w1，w2，w3)經(jīng)專家評價(jià)三個(gè)指標(biāo)的權(quán)重范圍為w1∈[0.1，0.2]，w2∈[0.2，0.3]，w3∈[0.3， 0.5]，具體指標(biāo)數(shù)據(jù)見表1。試確定銀行的最佳投資方案。

表1 決策矩陣

步驟1:信息規(guī)范化處理（見表2）。

表2 規(guī)范化決策矩陣

步驟2:確定正負(fù)靶心。

步驟3：根據(jù)2.3確定權(quán)重，計(jì)算靶心距和靶心距得分函數(shù)值。

（1）計(jì)算指標(biāo)權(quán)重

求解最優(yōu)化問題：

解得：W=(0.2,0.3,0.5)。

（2）計(jì)算靶心距

根據(jù)定義4，分別計(jì)算正負(fù)靶心距。

（3）計(jì)算靶心距得分函數(shù)值

根據(jù)定義6，計(jì)算靶心距得分函數(shù)值。

步驟4：計(jì)算投影值。

步驟5：計(jì)算灰靶決策一致性系數(shù)γi。

步驟6：基于TODIM方法計(jì)算方案全局優(yōu)勢度。

步驟7：三種方法的方案排序。

表3 不同方法結(jié)果比較

為了說明該模型的優(yōu)越性，將本文排序法同靶心距得分函數(shù)方法進(jìn)行比較，本文方法排序是A2＞A1＞A3而靶心距得分函數(shù)排序也為A2＞A1＞A3這兩種方法排序完全一致。充分說明本文方法排序的合理性。將本文方法同TODIM法比較，TODIM法方案排序A1＞A2＞A3，排序結(jié)果是不盡相同，因?yàn)椴捎玫腡ODIM法排序默認(rèn)衰退系數(shù)θ=1，而TODIM法衰退系數(shù)取值的不同會(huì)影響方案的排序結(jié)果。而本文方法則不受其他主觀因素干擾，所以排序的可信度更高，綜上可以看出，與TODIM法比較而言本文方法的排序結(jié)果更值得信賴。

同時(shí)，由于決策環(huán)境信息的復(fù)雜不確定性，所以決策者只能以一般灰數(shù)的形式給出決策信息，此時(shí)很難根據(jù)現(xiàn)有的灰靶決策方法進(jìn)行決策。而基于一般灰數(shù)的灰靶決策模型就能很好地解決這一問題，該模型是考慮方案與正、負(fù)靶心之間的距離關(guān)系，通過在改變投影方向并結(jié)合相對貼近度的思想，并利用多目標(biāo)優(yōu)化模型給出一種確定指標(biāo)權(quán)重的方法，構(gòu)建了基于一般灰數(shù)的灰靶決策模型。本文給出的案例充分說明該法對排序更加科學(xué)合理。

5 結(jié)束語

本文針對信息為一般灰數(shù)的決策問題進(jìn)行了系統(tǒng)研究。首先，利用一般灰數(shù)來表征復(fù)雜不確定信息。其次，給出了一般灰數(shù)的距離定義。再次，利用灰靶決策的思想和相對貼近度的思想，提出了基于一般灰數(shù)的灰靶決策拓展模型，該模型有效地解決了復(fù)雜不確定信息的決策問題，其最大優(yōu)點(diǎn)是有效解決策信息為復(fù)雜不確定性的一般灰數(shù)時(shí)，難以精確排序問題。最后，通過實(shí)際案例充分說明該模型的科學(xué)合理性，為復(fù)雜不確定信息下決策問題的研究提供了一個(gè)新的研究視角。