部分線性變系數(shù)測量誤差模型的隨機約束估計

李 騰，蘇宇楠，魏傳華

（中央民族大學 理學院，北京 100081）

0 引言

考慮如下的部分線性變系數(shù)測量誤差模型：

其中,Y為因變量,Z、X和U為自變量，β=(β1，β2，…βp)T為未知待估參數(shù)，α(·)=(α1(·)，α2(·)，…αq(·))T為未知非參數(shù)函數(shù)系數(shù)。ε是均值為零的模型誤差，測量誤差ξ與(Y，X，Z，U)獨立，滿足Eξ=0，Cov(ξ)=Σξ.,其中 Σξ已知。

對于模型（1），參數(shù)分量β的估計和檢驗一直是研究的重點。You和Chen（2006）[1]提出了校正profile最小二乘估計，并給出了所提估計量的漸近性質(zhì)。實際數(shù)據(jù)分析中，除了樣本數(shù)據(jù)本身，有時還能從其他途徑得到額外信息，這些信息的加入能夠提高估計的效率。這些額外信息的常見表現(xiàn)形式有兩種：精確的線性約束條件和隨機約束條件。對于經(jīng)典線性回歸模型，在含有精確線性約束條件時，考慮了約束條件的約束最小二乘估計優(yōu)于沒有考慮約束條件的普通最小二乘估計。當模型系數(shù)含有隨機約束時，Durbin（1953）[2],Theil和 Goldberger（1961）[3]以及 Theil（1963）[4]將樣本數(shù)據(jù)信息和附加的隨機約束條件聯(lián)合起來，提出了混合估計方法。關(guān)于線性回歸模型約束估計的詳細討論可參考 Toutenburg（1982）[5]和 Rao等（2008）[6]。近年來，關(guān)于各類復(fù)雜模型的約束估計得到了關(guān)注。Shalabh 等（2010）[7]以及Li和Yang（2013）[8]討論了線性測量誤差模型的隨機約束問題。對于模型（1）,Wei（2012）[9]討論了當參數(shù)分量附加有精確的線性約束條件時的估計和檢驗問題。本文將研究模型（1）的隨機約束估計,考慮如下的隨機約束條件：

其中矩陣A為k×p行滿秩，η為均值為0，協(xié)方差矩陣為σ2Ω的隨機向量,其中 Ω為一已知正定矩陣,b是k×1的已知向量,針對模型（1）和模型（2），下文將重點研究未知參數(shù)分量β的估計問題。

1 參數(shù)分量的估計及其性質(zhì)

首先假設(shè)自變量X可以精確觀測，令為來自模型（1）的樣本數(shù)據(jù)，從而有：

假設(shè)β已知，則模型（3）可記為：

顯然,模型（4）是一個標準的變系數(shù)模型，下面采用局部線性方法對該模型進行估計。假設(shè){ }αj(·)，j=1，2，…q二階連續(xù)可導，對于u0附近的點u，由Taylor展開可得：

令：

其中Iq和0q分別為q維單位陣和元素全為零的矩陣。用α(Ui)代替模型（3）中α(Ui)，經(jīng)過簡單計算可得：

利用Theil和Goldberger(1961)[3]的方法,將樣本數(shù)據(jù)信息和隨機約束條件結(jié)合起來構(gòu)造如下關(guān)于未知參數(shù)β的函數(shù)：

將F(β)關(guān)于β求偏導,并令其等于零，得：

從而，由式（11）和式（12），可寫為如下形式：

其中為式（8）中β的校正profile最小二乘估計。

下面給出所提估計量的漸近性質(zhì)。定義表示AAT,

以及

定理1：若假設(shè)A1—A6成立，

首先，給出證明定理所需要的一些假設(shè)，這些條件You和Chen（2006）[1]也采用過。

（A1）隨機變量U具有有界支撐Π,其密度函數(shù)f(·)在其支撐上滿足Lipschitz連續(xù),且不為0。

從界面設(shè)計的角度上來說，信息傳播是建立在人與人之間的一種社會活動，作為信息發(fā)布者和傳播媒介的參與者，就需要融入群體中，了解歷史文化景區(qū)形象傳播活動的目的性和創(chuàng)造性，其中，目的性是指人類意識受信息傳播控制的一種行為，具有較為明確的目標和對象作為規(guī)劃的主題，在信息傳播的全過程中具備一定的動機和方向。比如通過媒介廣告對旅游景區(qū)藝術(shù)形象進行傳播，經(jīng)過策劃獲取宣傳效果。在信息化視域下的旅游景區(qū)需要利用科學技術(shù)的傳播方式，用最簡單的語言和文字進行傳播，在彼此的影響和相互作用下完成整個形象的信息傳遞[3]。

（A2）對于任一U∈Ω,矩陣E(zzT|U)為非奇異,E(zzT|U)，E(zzT|U)-1和E(zxT|U)都是Lipschitz連續(xù)的。

（A3）存在s＞2 使得E‖x‖2s＜∞ 和E‖z‖2s＜∞,對于ε＜2-s-1使得n2ε-1h→∞

（A4）{αj(·)，j=1，…，q} 二階連續(xù)可導。

（A5）函數(shù)K(·)為對稱密度函數(shù)，具有緊支撐。

（A6）nh8→0和

由 You和Chen（2006）[1]中的引理 A3 和 A4，可得：

再由式（19）和式（20），利用Slutsky定理，可得：

該結(jié)論表明校正profile混合估計的漸近性質(zhì)與profile最小二乘估計的相同，這個結(jié)論在Shalabh等（2010）[7]以及Li和Yang（2013）[8]關(guān)于線性測量誤差模型的討論中也得到過。值得注意的是，雖然二者的漸近性質(zhì)相同，但校正profile混合估計利用了附加的隨機約束條件，二者在有限樣本情況下的表現(xiàn)應(yīng)該有所不同，下文將通過數(shù)值模擬來考察。

2 數(shù)值模擬

下面通過數(shù)值模擬來考察所提估計方法的有效性。假設(shè)數(shù)據(jù)來自于如下部分線性變系數(shù)測量誤差模型：

其 中x1i～N(0，1)，x2i～N(1，2)，x3i～U(-2，2)，x4i～U(-1，1)，zi～N(1，1)，ui～U(0，1)，α(ui)=sin(2πui)， 測 量誤 差

為了考察誤差分布對估計結(jié)果的影響，將誤差設(shè)定為如下三種分布形式，都滿足均值為零，方差為1，(1)εi～N。核函數(shù)為K(x)為了計算方便，窗寬設(shè)定為h=n-1/5。參數(shù)分量 (β1，β2，β3，β4)=(2，1，3，3),樣本量n=80,120,150,隨機約束設(shè)定為β1+β2=3+η1和β3-β4=η2,其中Eη1=Eη2， 從 而有：

對于上述每次設(shè)定，重復(fù)500次，每次求出β的校正profile最小二乘估計和校正profile混合估計。這兩類估計將基于估計的均方誤差(estimated mean squared error,EMSE)這一指標來進行比較。EMSE定義如下：

表1 兩類估計的EMSE值比較

從模擬結(jié)果不難看出，隨著樣本量的增加，兩類估計的EMSE都在變小。對于每種設(shè)定,βm的EMSE都要小于β的對應(yīng)值，即在 EMSE 標準下,βm要優(yōu)于β。

3 結(jié)束語

近年來，部分線性變系數(shù)模型的估計問題已經(jīng)得到了廣泛的研究，本文主要研究了該模型在線性部分自變量不能精確觀測且參數(shù)分量附加有隨機約束條件時的估計問題。給出了所提估計的漸近性質(zhì)，并且通過數(shù)值模擬驗證了所提方法的有效性。