反 比 例 函 數(shù)應(yīng)用舉粹

吳曉剛

中考對(duì)反比例函數(shù)的應(yīng)用這塊內(nèi)容的要求是：結(jié)合具體情境體會(huì)反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式，能用反比例函數(shù)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。下面是生活中的反比例函數(shù)原型，希望這些試題能對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

例1 （2017·浙江麗水）麗水某公司將“麗水山耕”農(nóng)副產(chǎn)品運(yùn)往杭州市場(chǎng)進(jìn)行銷售，記汽車行駛時(shí)間為t小時(shí)，平均速度為v千米/小時(shí)（汽車行駛速度不超過(guò)100千米/小時(shí)）。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，v、t的一組對(duì)應(yīng)值如下表：

_v（千米/小時(shí)____）___t__________（小時(shí)）75___4.00__80___3.75__85___3.53__90___3.33__95_3.16_

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出平均速度v（千米/小時(shí)）關(guān)于行駛時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)表達(dá)式。（2）汽車上午7：30從麗水出發(fā)，能否在上午10：00之前到達(dá)杭州市場(chǎng)？請(qǐng)說(shuō)明理由。（3）若汽車到達(dá)杭州市場(chǎng)的行駛時(shí)間t滿足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范圍。

【解析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單推理可判斷v是t的反比例函數(shù)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，再驗(yàn)證其余幾種特殊情況。有了函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)行駛速度v即可求出行駛時(shí)間t，反之，根據(jù)行駛時(shí)間t即可求出行駛速度v，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即能解決問(wèn)題。

解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可畫出v關(guān)于t的函數(shù)圖像（如圖1所示），根據(jù)圖像形狀，選擇反比例函數(shù)模型進(jìn)行嘗試。設(shè)v與t的函數(shù)表達(dá)式為，∵當(dāng)v=75時(shí)，t=4，∴k=75×4=300，∴。將點(diǎn)（3.75，80），（3.53，85），（3.33，90），（3.16，95）的坐標(biāo)代入驗(yàn)證即可。（2）∵汽車行駛速度不超過(guò)100千米/小時(shí)，當(dāng) v=100時(shí)，=3，則 t≥3。7.5+3=10.5＞10，∴汽車上午7：30從麗水出發(fā)，不能在上午10：00之前到達(dá)杭州市場(chǎng)。（3）由反比例函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)3.5≤t≤4時(shí)

圖1

【點(diǎn)評(píng)】若函數(shù)中有兩個(gè)變量，這兩個(gè)量符合的函數(shù)表達(dá)式是其最本質(zhì)的關(guān)系。

例2 （2018·四川樂(lè)山）某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時(shí)，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜。如圖2是試驗(yàn)階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度y（℃）與時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段AB、BC表示恒溫系統(tǒng)開啟階段，雙曲線的一部分CD表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段。請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問(wèn)題：（1）求這天的溫度y與時(shí)間x（0≤x≤24）的函數(shù)關(guān)系式。（2）求恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度。（3）若大棚內(nèi)的溫度低于10℃，蔬菜會(huì)受到傷害。問(wèn)這天內(nèi)，恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多少小時(shí)，才能使蔬菜避免受到傷害？

圖2

【解析】根據(jù)3段函數(shù)圖像的特點(diǎn)，可知分別對(duì)應(yīng)一次函數(shù)、常數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)，要求后兩段函數(shù)圖像的解析式，得先求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)。要使蔬菜避免受到傷害，大棚內(nèi)的溫度不能低于10℃，找到反比例函數(shù)圖像上y=10對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其與關(guān)閉時(shí)刻的差就是最多可以關(guān)閉的時(shí)間。

解：（1）設(shè)線段AB解析式為y=k1x+b（k1≠0），將點(diǎn)（0，10）、（2，14）代入，解得AB解析式為：y=2x+10（0≤x≤5）。∵B在線段AB上，當(dāng)x=5時(shí)，y=20，∴B坐標(biāo)為（5，20），∴線段BC的解析式為：y=20（5≤x≤10）。設(shè)雙曲線CD解析式為：y=（k≠0），∵C（10，20），∴2k2=200。∴雙曲線CD解析式為（10≤x≤24）；（2）由（1）得，恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒溫為20℃；（3）把y=10代入中，解得x=20，20-10=10，∴恒溫系統(tǒng)最多關(guān)閉10小時(shí)。

【點(diǎn)評(píng)】分段函數(shù)實(shí)際上是對(duì)這個(gè)函數(shù)分類討論時(shí)的不同結(jié)論。本題綜合考查了3類函數(shù)的圖像與性質(zhì)，抓住函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn)、臨界點(diǎn)是解題的關(guān)鍵。

例3 （2018·河北）圖3是輪滑場(chǎng)地的截面示意圖，平臺(tái)AB距x軸（水平）18米，與y軸交于點(diǎn)B，與滑道y=x≥1）交于點(diǎn)A，且AB=1米。運(yùn)動(dòng)員（看成點(diǎn)）在BA方向獲得速度v米/秒后，從A處向右下飛向滑道，點(diǎn)M是下落路線的某位置。忽略空氣阻力，實(shí)驗(yàn)表明：M、A的豎直距離h（米）與飛出時(shí)間（t秒）的平方成正比，且t=1時(shí)h=5，M、A的水平距離是vt米。（1）求k，并用t表示h；（2）設(shè)v=5，用t表示點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y，并求y與x的關(guān)系式（不寫x的取值范圍），及y=13時(shí)運(yùn)動(dòng)員與正下方滑道的豎直距離；（3）若運(yùn)動(dòng)員甲、乙同時(shí)從A處飛出，速度分別是5米/秒、v乙米/秒，當(dāng)甲距x軸1.8米，且乙位于甲右側(cè)超過(guò)4.5米的位置時(shí)，直接寫出t的值及v乙的范圍。

圖3

【解析】本題是反比例函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了兩類函數(shù)的圖像及其性質(zhì)。根據(jù)題意，結(jié)合圖像可分別得到x、y與t的函數(shù)關(guān)系式，借助“橋梁”t可求得y與x的關(guān)系式。最后根據(jù)條件分別列出方程、不等式即可。

【點(diǎn)評(píng)】本題以滑道（反比例函數(shù)圖像）為載體，研究運(yùn)動(dòng)員滑行路線（二次函數(shù)圖像）上的特殊點(diǎn)。3個(gè)變量的轉(zhuǎn)化是難點(diǎn)，需要同學(xué)們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，抓住幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，建立數(shù)學(xué)模型。