光電二極管的地球反照光校正及衛(wèi)星姿態(tài)估計(jì)

褚理想， 樊巧云

(北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院, 北京 100083)

姿態(tài)估計(jì)是衛(wèi)星上最重要的測(cè)量之一。目前常用的姿態(tài)傳感器有太陽敏感器、地磁、星敏感器、地球敏感器和GPS等，這些傳感器有其各自的優(yōu)點(diǎn)和使用限制。衛(wèi)星上常裝配多種敏感器，采用多種方案相互備份和補(bǔ)充，從而保證測(cè)量的可靠性和魯棒性。光電二極管[1]是一種成本低廉、體積更小的感光傳感器，根據(jù)其輸出電壓可以感測(cè)太陽矢量方向，可以作為低精度的太陽敏感器。

太陽敏感器與地球敏感器結(jié)合[2-3]，可以確定衛(wèi)星三軸姿態(tài)。然而基于光電二極管的太陽敏感器，其輸出的電壓是太陽光和地球反照光等雜光輻照的疊加，如果忽略地球反照光的影響，直接將測(cè)量電壓轉(zhuǎn)換為太陽矢量，會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)換結(jié)果存在較大誤差，進(jìn)而影響姿態(tài)估計(jì)的精度。為此需要考慮地球反照光，建立精確的光電二極管量測(cè)模型，才能實(shí)現(xiàn)高精度的衛(wèi)星姿態(tài)估計(jì)。

文獻(xiàn)[4]提出了地球反照光的數(shù)學(xué)模型及其計(jì)算方法，該方法需要實(shí)時(shí)的球面積分運(yùn)算，計(jì)算較為復(fù)雜。文獻(xiàn)[5-8]對(duì)其進(jìn)行了簡化。文獻(xiàn)[5]假設(shè)地球表面的反照率僅與地球緯度有關(guān)，與地球經(jīng)度無關(guān)，建立地球反照光的查找表并將其擬合成曲面，在已知衛(wèi)星姿態(tài)和衛(wèi)星軌道位置的情況下可以快速計(jì)算地球反照光影響。這種方法前期計(jì)算較為復(fù)雜且僅適用于單一軌道。文獻(xiàn)[6]采用隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的方法得到地球反照光統(tǒng)計(jì)特性，然后根據(jù)統(tǒng)計(jì)的均值和方差補(bǔ)償太陽矢量模型，這種方法對(duì)太陽矢量的動(dòng)態(tài)范圍有很大限制。文獻(xiàn)[7-8]假設(shè)地球反照光為與衛(wèi)星天底方向反向平行的單一矢量，簡化地球反照光的計(jì)算，但仍存在計(jì)算復(fù)雜和精度較低的問題。

本文結(jié)合地球反照光模型，提出光電二極管動(dòng)態(tài)偏置混合高斯噪聲的量測(cè)模型，并應(yīng)用滑窗估計(jì)和隨機(jī)權(quán)重策略動(dòng)態(tài)更新地球反照光偏置和噪聲方差。在權(quán)重更新過程中，引入Huber影響函數(shù)處理量測(cè)殘差的異常值，從而提高了算法魯棒性和參數(shù)估計(jì)精度。同時(shí)，針對(duì)每個(gè)光電二極管的地球反照光分布不一，采用多比例因子分別估計(jì)每個(gè)光電二極管的地球反照光影響。基于本文建立的地球反照光校正的光電二極管太陽敏感器量測(cè)模型，結(jié)合地球敏感器和陀螺等傳感器，采用無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter,UKF)算法[9]實(shí)現(xiàn)了衛(wèi)星的高精度姿態(tài)估計(jì)。

1 地球反照光校正的光電二極管量測(cè)模型

1.1 光電二極管工作原理

光電二極管的輸出電壓和太陽矢量與光電二極管敏感軸夾角的余弦成正比，根據(jù)電壓輸出，可以感測(cè)太陽方位。光電二極管常安裝于衛(wèi)星表面，易受周圍地球反照光等雜光的干擾。圖1為地球反照光幾何示意圖，照射在積分區(qū)域(太陽照射與衛(wèi)星可視方位區(qū)域交集)的太陽光，經(jīng)地球表面漫反射后，共同作用于衛(wèi)星方向。地球反照光的計(jì)算不僅與地球表面的反照率有關(guān)，還和太陽、衛(wèi)星、地球相對(duì)位置有關(guān)，此外，地球反照光還與衛(wèi)星本身的姿態(tài)有關(guān)。因此地球反照光的分布函數(shù)較為復(fù)雜，其計(jì)算較為繁瑣。

地球反照光的影響較大，可達(dá)到直射太陽光總量的20%～30%，不能簡單地忽略其影響?？紤]地球反照光的影響，單個(gè)光電二極管的輸出電壓V可以表示為[10]

V=Vd+Va+vV

(1)

(2)

圖1 地球反照光幾何示意圖Fig.1 Geometric sketch of the earth’s albedo

Va=

(3)

式中：Vd為太陽照射分量；Va為地球反照光分量；vV為模型誤差的零均值高斯白噪聲；n=[cosφcosθcosφsinθsinφ]T為光電二極管敏感軸的單位矢量方向，可由安裝高度角φ和方位角θ表示；sb是太陽矢量在本體坐標(biāo)系下的表示，可由在慣性坐標(biāo)下太陽矢量經(jīng)姿態(tài)矩陣變換得到；ψ為光電二極管半視場(chǎng)角；A為地球表面衛(wèi)星可視區(qū)域和太陽照射的交集區(qū)域；α為地球表面dA的反照率；nA為地球表面面元dA的法向單位矢量；s⊕為地球到太陽的矢量方向；rAB為地球表面面元dA到衛(wèi)星的矢量方向；B表示衛(wèi)星當(dāng)前軌道位置；S表示在地球陰影區(qū)的軌道。

1.2 地球反照光校正

式(3)中地球反照光分量Va計(jì)算需要球面積分，運(yùn)算復(fù)雜，難以在實(shí)際中得到應(yīng)用。本文將地球反照光設(shè)成一動(dòng)態(tài)偏置項(xiàng)，補(bǔ)償在光電二極管的量測(cè)模型中，同時(shí)將動(dòng)態(tài)偏置估計(jì)的誤差和光電二極管本身量測(cè)的誤差統(tǒng)一為混合高斯模型，建立光電二極管的動(dòng)態(tài)偏置混合高斯量測(cè)模型：

Vk=Vd,k+rk+vk

(4)

式中：下標(biāo)k表示采樣時(shí)間序列；rk為地球反照光動(dòng)態(tài)偏置；vk為非高斯噪聲，可用式(5)表示:

p(vk)=(1-ε)pN(vk)+εqN(vk)

(5)

其中：pN(vk)為已知的均值為0、方差為R1,k的高斯噪聲概率密度函數(shù)；qN(vk)為未知的均值為0、方差為R2,k的污染噪聲概率密度函數(shù)；參數(shù)ε∈(0,1)為污染系數(shù)，用來控制污染噪聲的強(qiáng)弱，本文取ε=0.05；p(vk)為整體量測(cè)噪聲vk的概率密度函數(shù)，其方差為Rk，滿足Rk=(1-ε)R1,k+εR2,k。

單個(gè)光電二極管僅能測(cè)量一個(gè)太陽矢量分量，至少需要有3個(gè)有效的光電二極管量測(cè)值才能求取完整的太陽矢量。對(duì)于多個(gè)光電二極管的量測(cè)模型，可以表示為

(6)

矢量表示形式為

Vk=Vd,k+rk+vk=Hsb,k+rk+vk

(7)

2 模型參數(shù)的在線估計(jì)和更新方法

式(7)中地球反照光校正的光電二極管量測(cè)模型的地球反照光偏置項(xiàng)rk和噪聲方差Rk是未知的，需要在衛(wèi)星姿態(tài)估計(jì)過程中在線估計(jì)并動(dòng)態(tài)更新。本文采用滑窗估計(jì)和隨機(jī)權(quán)重策略動(dòng)態(tài)更新模型參數(shù)，如圖2所示，假設(shè)模型參數(shù)在窗口采樣時(shí)間序列k-1,k-2,…,k-N范圍內(nèi)不變，對(duì)于歷史數(shù)據(jù)計(jì)算的模型參數(shù)賦予不同的權(quán)重，獲取當(dāng)前時(shí)刻模型估計(jì)的參數(shù)。由式(7)，結(jié)合滑窗估計(jì)和隨機(jī)權(quán)重算法，此時(shí)可以得到動(dòng)態(tài)偏置和噪聲方差的估計(jì)公式分別為

(8)

(9)

隨著量測(cè)噪聲的統(tǒng)計(jì)變化，量測(cè)殘差向量ek-j將存在偏置，它的幅值將會(huì)增加[11]，可以選用量測(cè)殘差的模值作為權(quán)重，如式(10)和式(11)所示：

wj∝|ek-j|j=1,2,…,N

(10)

(11)

然而光電二極管噪聲分布較為復(fù)雜，當(dāng)出現(xiàn) 殘差較大的異常值時(shí)，直接采用殘差向量作為模值會(huì)引起權(quán)重分配不合理，進(jìn)而導(dǎo)致偏差和方差估計(jì)產(chǎn)生較大誤差?；贖uber影響函數(shù)的魯棒技術(shù)可以有效地處理非高斯噪聲的情況，其更改了后驗(yàn)噪聲方差矩陣，降低了對(duì)異常值的靈敏度。因此，本文引入Huber影響函數(shù)處理量測(cè)殘差的異常值，其表達(dá)式如下：

圖2 滑窗估計(jì)和隨機(jī)權(quán)重算法示意圖Fig.2 Schematic diagram of sliding window estimation and random weighting algorithm

(12)

(13)

式中：引入Tk使ηk滿足關(guān)于概率密度對(duì)稱和邊緣概率密度條件[12]。ψ(·)是Huber函數(shù)，其表達(dá)式為

(14)

其中:sgn(·)是符號(hào)函數(shù)；kε的取值和污染系數(shù)ε有關(guān)。

另外，考慮到每個(gè)光電二極管的地球反照光的分布情況不同，當(dāng)所有的光電二極管都采用統(tǒng)一的權(quán)重系數(shù)會(huì)降低對(duì)地球反照光的跟蹤特性，因此本文采用多重比例因子分別估計(jì)地球反照光對(duì)每個(gè)光電二極管的影響，此時(shí)可得

(15)

(16)

式中：diag(·)表示將一個(gè)向量轉(zhuǎn)換為對(duì)角矩陣。

3 基于UKF的衛(wèi)星姿態(tài)估計(jì)

3.1 姿態(tài)估計(jì)狀態(tài)方程

衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)[13]可以用四元數(shù)表示為

(17)

(18)

(19)

陀螺常用的數(shù)學(xué)模型為[15]

(20)

(21)

其中：δ(t-τ)為Dirac delta函數(shù)。

此時(shí)可以建立衛(wèi)星姿態(tài)估計(jì)的連續(xù)狀態(tài)方程為

(22)

δp=f[δqv/(a+δq4)]

(23)

式中：a為0到1區(qū)間的參數(shù)；f為放大因子。a=0 和f=1表示的是Gibbs向量，a=1和f=1表示的修正羅德里格斯向量。從δp到δq的逆變換為

(24)

δqv=f-1(a+δq4)δp

(25)

3.2 姿態(tài)估計(jì)量測(cè)方程

本文采用光電二極管和地球敏感器兩種姿態(tài)傳感器，需要將其測(cè)量值融入到量測(cè)方程中。光電二極管的量測(cè)方程另一種表達(dá)形式為

Vk=Hsb+rk+vk=HA(q)sref+rk+vk

(26)

式中：sref為太陽矢量在慣性下的表示，可以查找星歷表獲得。

地球敏感器測(cè)量天底方向，其量測(cè)模型可以表示為

bk=A(q)rearth+εk

(27)

結(jié)合2個(gè)傳感器測(cè)量模型可得量測(cè)方程：

(28)

3.3 UKF算法實(shí)現(xiàn)

當(dāng)已知狀態(tài)更新的狀態(tài)方程模型，且建立了狀態(tài)和量測(cè)方程的噪聲和誤差統(tǒng)計(jì)模型，卡爾曼濾波方法采用遞推的方式，從量測(cè)信息中實(shí)時(shí)提取出被估計(jì)量信息并存儲(chǔ)在估計(jì)值中[17]。UKF是對(duì)線性卡爾曼濾波的改進(jìn)，其不需要對(duì)狀態(tài)方程和量測(cè)方程線性化，常用于姿態(tài)估計(jì)等非線性濾波算法中。UKF通過sigma點(diǎn)捕獲系統(tǒng)真實(shí)的均值和方差，其精度可以達(dá)到泰勒展開式三階近似。

定義離散系統(tǒng)的非線性狀態(tài)方程和量測(cè)方程為

(29)

(30)

(31)

4 仿真校驗(yàn)

4.1 仿真條件

n1=[cos(10°)cos(72°) cos(10°)sin(72°)

sin(10°)]T

n2=[cos(10°)cos(107°) cos(10°)sin(107°)

sin(10°)]T

n3=[cos(-20°)cos(90°) cos(-20°)sin(90°)

sin(-20°)]T

圖3為3個(gè)光電二極管的理想電壓和量測(cè)電壓的對(duì)比圖，地球反照光影響為量測(cè)電壓與理想電壓的差值。由圖中可以看出，對(duì)于同一個(gè)光電二極管，在軌道的不同時(shí)段,地球反照光與太陽直射光的比值不同,比值大約為0～25%。對(duì)于不同光電二極管，每個(gè)光電二極管的地球反照光分布情況不同。此外，在衛(wèi)星剛出背光面和剛?cè)氡彻饷鏁r(shí)，理想光電二極管和實(shí)際光電二極管的電壓相差不大，地球反照光較弱，可以選擇衛(wèi)星剛出背光面時(shí)刻作為太陽矢量估計(jì)或者姿態(tài)估計(jì)的初始時(shí)刻。

4.2 仿真結(jié)果

為了量化仿真結(jié)果，選取三軸歐拉角的模值作為評(píng)判指標(biāo)：

(32)

式中：θk、φk和ψk分別為橫滾角、俯仰角和偏航角。為了保證結(jié)果的可靠性，參數(shù)使用蒙特卡羅仿真50次?；诒疚慕⒌牡厍蚍凑展庑Ｕ墓怆姸O管太陽敏感器量測(cè)模型，結(jié)合地球敏感器和陀螺等傳感器，采用UKF算法進(jìn)行衛(wèi)星姿態(tài)估計(jì)。

圖4對(duì)比了固定權(quán)重(如均值)、量測(cè)殘差模值、量測(cè)殘差經(jīng)Huber影響函數(shù)處理后的模值、本文方法等4種權(quán)重選取策略的效果。從整體來看，在初始三軸衛(wèi)星姿態(tài)1.5°左右時(shí)，采用本文 建立的地球反照光校正模型和UKF算法，三軸姿態(tài)精度可以很快的收斂到0.5°甚至更高精度，驗(yàn)證了本文簡化地球反照光模型具有一定的可行性。比較不同權(quán)重選擇策略，可以看出采用本文方法精度較高，三軸姿態(tài)精度可以達(dá)到0.2°～0.3°。

圖3 光電二極管1、2和3的理想電壓與量測(cè)電壓對(duì)比Fig.3 Comparison of ideal voltage and measured voltage for photodiode 1，2 and 3

圖4 衛(wèi)星三軸姿態(tài)估計(jì)誤差對(duì)比Fig.4 Comparison of satellite three-axis attitude estimation error

此外，還可以以地球反照光建模的動(dòng)態(tài)偏置電壓估計(jì)精度作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，地球反照光估計(jì)精度越高，光電二極管測(cè)量的太陽矢量精度就越高，進(jìn)而姿態(tài)的估計(jì)精度越高。單個(gè)光電二極管的偏置估計(jì)誤差可以通過多次蒙特卡羅方法求均值獲得。表1為光電二極管偏置估計(jì)誤差均方根(RMS)結(jié)果，可以看出，本文權(quán)重選取策略可以有效提高偏置估計(jì)精度。圖5為3個(gè)光電二極管的偏置估計(jì)誤差。從圖5(b)可以明顯看出,偏置估計(jì)的誤差隨時(shí)間推移而明顯減小，偏置估計(jì)的精度越來越高。

表1 光電二極管偏置估計(jì)誤差RMSTable 1 RMS of photodiode bias estimation error mV

圖5 光電二極管1、2和3的偏置估計(jì)誤差Fig.5 Bias estimation errors of photodiode 1,2 and 3

5 結(jié) 論

針對(duì)地球反照光的影響，本文建立了光電二極管動(dòng)態(tài)偏置混合高斯量測(cè)模型，簡單有效，通過對(duì)地球反照光的準(zhǔn)確估計(jì)，提高了光電二極管對(duì)太陽矢量的測(cè)量精度。實(shí)驗(yàn)表明：

1) 應(yīng)用地球反照光校正的光電二極管和地球敏感器組合定姿，可以消弱地球地球反照光的干擾，快速提高三軸姿態(tài)精度，精度可以達(dá)到0.2°～0.3°。

2) 在應(yīng)用滑窗估計(jì)和隨機(jī)權(quán)重估計(jì)量測(cè)模型參數(shù)過程中，采用多比例因子和Huber影響函數(shù)的權(quán)重處理方法，可以有效提高地球反照光動(dòng)態(tài)偏置電壓的估計(jì)精度。

本文提出的地球反照光校正方法，可以推廣應(yīng)用于光電二極管與其他姿態(tài)傳感器(如地磁)的組合定姿。