量綱分析法在物理建模與計(jì)算分析中的應(yīng)用研究

劉寶平

(朔州職業(yè)技術(shù)學(xué)院,山西 朔州 036000)

為了研究某物理問題或規(guī)律,從其所處的物理情境中找出描繪問題的參數(shù)，并利用參數(shù)間的相互關(guān)系進(jìn)行分析,依據(jù)所得數(shù)據(jù)建立相關(guān)模型的過程,稱之為物理建模[1]。量綱分析(Dimensional analysis)是物理和工程等專業(yè)常用的建模方法之一。自廣義相對論提出以后,利用半定量的量綱分析[2]方法來研究物理量間的關(guān)系受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注。它的理論基礎(chǔ)是量綱齊次原則[3],首先對研究問題所涉及的物理量列出方程,再進(jìn)行初等計(jì)算以確定物理量之間的關(guān)系,最后分析各物理量對研究對象的影響。人們利用量綱分析法可以推測某物理規(guī)律,定性地檢查物理計(jì)算結(jié)果的正確性,還可以為實(shí)驗(yàn)中的合理假設(shè)提供定性分析。經(jīng)量綱分析的結(jié)果中常含有待定的無量綱常數(shù)或函數(shù),這些量只能通過實(shí)驗(yàn)和理論的擬合進(jìn)一步確定,正是這些不完備的無量綱量為物理實(shí)驗(yàn)?zāi)M提供了豐富的實(shí)踐參考。傳統(tǒng)的物理建模方法側(cè)重于探尋物理量之間的內(nèi)在聯(lián)系,追求推導(dǎo)過程的邏輯縝密及條理清晰。這就要求研究者具備完整的知識結(jié)構(gòu)和較高的公式推理和演算能力,但在遇到未知規(guī)律或新問題時,往往會受定勢思維影響,首先想到用系統(tǒng)的理論公式展開詳盡的定量計(jì)算,缺乏使用量綱分析法的意識。實(shí)際上,有些問題若通過量綱分析做定性研究便可解決。鑒于此,本文將量綱分析法用于物理建模與計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證中,以玩具飛機(jī)的空氣動力學(xué)模型為例，說明了量綱分析在物理建模中的應(yīng)用。

1 量綱分析的基本理論及應(yīng)用

物理量的量綱分為基本量綱和導(dǎo)出量綱[4]。SI單位制下7個基本物理量包括力學(xué)范疇內(nèi)的“長度”、“質(zhì)量”和“時間”3個物理量;熱學(xué)部分的“熱力學(xué)溫度”和“物質(zhì)的量”;電磁學(xué)部分的“電流”;光學(xué)部分的“發(fā)光強(qiáng)度”, 這7個基本物理量的量綱構(gòu)成相互完全獨(dú)立的量綱稱之為基本量綱,分別為 L、M、T、Θ、N 、I和J。導(dǎo)出量綱是由7個基本量綱推導(dǎo)出來的量綱。對于任意物理量W的量綱可以表示成基本量綱的乘積的形式[W]=LaMbTcIdΘeJfNg, 冪次指數(shù)a、b、c、d、e、f、g為量綱指數(shù).表1列舉了SI單位制及電磁學(xué)(CGSE單位制)下常用物理量及其量綱。

表1 常用物理量及其量綱列舉Table 1 Common physical quantities and their dimension

1.1 利用量綱分析法進(jìn)行物理建模

1.1.1理論模型的建立

需要強(qiáng)調(diào)的是,在選取相關(guān)物理量時盡可能減少選取相同量綱的物理量,以減少無關(guān)方程對物理量有效性的影響。在確定量綱方程組后,可以從方程組的解的情況來檢驗(yàn)物理量的有效性:若方程組無解,表明所選取量之間的關(guān)系式不存在,或物理量中包含同量綱的物理量太多,應(yīng)重新選取;若方程組有唯一解或者說無窮解,表明選取量的關(guān)系可能存在;若方程組有不確定的解或者說無窮解,表明物理量可構(gòu)成若干無量綱量?？梢?利用量綱分析建模抓住了物理問題的關(guān)鍵因素,通過簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算簡化物理過程,從而精準(zhǔn)、高效地確定物理模型。下面通過示例1對量綱分析在物理建模中的應(yīng)用加以闡述。

示例1 確定如圖2所示的玩具泡沫飛機(jī)飛行時的空氣動力學(xué)模型。

建模過程:泡沫飛機(jī)能夠飛起來的必要條件是空氣對飛機(jī)的升力大于飛機(jī)自身的重力。若飛機(jī)所受升力為F,猜想它可能與泡沫飛機(jī)的機(jī)翼面積S、飛行速度v以及飛行高度h有關(guān)。另外從泡沫飛機(jī)的飛行環(huán)境分析,升力可能與空氣的密度ρ0有關(guān),由此確定F=F(S，v,h,ρ0),涉及物理量的量綱分別為:[F]=LMT-2，[S]=L2，[v]=LT-1，[ρ0]=L-3M，[h]=L.

設(shè)F=ksaυbρchd(k為無量綱因子)，則可得量綱方程：

[LMT-2]=[L2]a[LT-1]b[L-3M]c[L]d

(1)

根據(jù)量綱齊次原理得指數(shù)方程組：

(2)

解得a=1,b=2,c=1,d=0

所以F=kSυ2ρ0

(3)

由(3)式可知,玩具泡沫飛機(jī)受到的升力與飛機(jī)的機(jī)翼面積S、飛行速度的平方υ2以及空氣密度ρ0成正比,而與飛行高度h無關(guān)。

飛機(jī)的重力G=mg,飛機(jī)能起飛條件為F>G,即

(4)

設(shè)飛機(jī)的幾何尺度為l,則其質(zhì)量m∝l3,面積S∝l2,于是泡沫飛機(jī)起飛的臨界速度：

為泡沫的密度)

(5)

從(5)式可知,在飛行環(huán)境相同(ρ0一定)時,當(dāng)飛機(jī)的材質(zhì)密度ρ1越小,自身線度越小,能飛起來所需的臨界速度就越小。所以在制作飛機(jī)時,商家選取了泡沫而不是其他密度較大的材質(zhì)。據(jù)此,可以解釋一些生活中常見的現(xiàn)象進(jìn)行類比研究，如鴕鳥飛不起來的原因——其自身線度太大,因鴕鳥身體大約為燕子體積的36倍,設(shè)燕子的臨界起飛速度為25 km/h,則鴕鳥起飛的臨界速度必須達(dá)到燕子所需速度的6倍,即需要150 km/h,鴕鳥無法達(dá)到此速度,因此鴕鳥無法飛起來。

從以上示例可以看出,利用量綱分析法未經(jīng)過復(fù)雜計(jì)算就建立了泡沫飛機(jī)起飛的模型,理解了泡沫飛機(jī)的選材以及尺寸大小的設(shè)計(jì)原則。至于建模中涉及的無量綱量k可以通過設(shè)計(jì)相關(guān)實(shí)驗(yàn)得到數(shù)據(jù),利用圖像擬合得到。

1.1.2利用實(shí)驗(yàn)得出無量綱因子

物理學(xué)是一門以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的理論與實(shí)踐相結(jié)合的課程[6]。利用量綱分析理論建模后需對所建立的理論模型反復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)論證,通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與量綱齊次原理分析的結(jié)果比對,進(jìn)一步檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)是否合理。最后,利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)做出相關(guān)物理量的函數(shù)曲線,通過數(shù)據(jù)擬合來確定無量綱系數(shù)。

表2 模型飛機(jī)的臨界飛行速度與各量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 2 Critical flight speed of model aircraft and experimental data

在研究前述泡沫飛機(jī)的動力學(xué)模型時,可借助實(shí)驗(yàn)確定無量綱參數(shù)k的數(shù)值。這里選定實(shí)驗(yàn)樣品模型飛機(jī)的初始質(zhì)量m=0.06 kg,后每次增加配重10 g。設(shè)當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭=10 m/s2,若機(jī)翼面積s=4×10-3m2,空氣密度為ρ0=1.2 kg/m3(常溫),通過測定模型飛機(jī)的臨界飛行速度與各量的關(guān)系如表2所示,并繪制圖3得出k的數(shù)值。

從圖3的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以確定該實(shí)驗(yàn)樣品飛機(jī)模型中的無量綱因子k的值約為1.8。至此,通過量綱分析得出了模型中相關(guān)物理量之間的關(guān)系,最終通過實(shí)驗(yàn)方法確定出了無量綱系數(shù)的數(shù)值。將量綱分析法應(yīng)用到物理實(shí)驗(yàn)建模中,可以提升學(xué)生的思維能力、解決問題能力及科學(xué)探究能力。

1.2 利用量綱分析對計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證

傳統(tǒng)的物理計(jì)算中,在驗(yàn)證一個較復(fù)雜的計(jì)算結(jié)果時,一般通過公式進(jìn)行嚴(yán)格推導(dǎo)來完成,這樣的驗(yàn)證過程需要較強(qiáng)的推導(dǎo)計(jì)算能力。如果借助量綱分析法就可以簡化計(jì)算,從而起到事半功倍的效果。量綱分析必須遵從量綱法則的約束,圖4給出了量綱法則的具體闡述。下面通過示例2具體闡述如何利用量綱分析對計(jì)算結(jié)果的正確性加以驗(yàn)證。

示例2圖5所示為一個半徑為R的理想的均勻帶電圓環(huán),其單位長度帶電量為η,取環(huán)面中心O為原點(diǎn),以垂直于環(huán)面的軸線為y軸。在軸上任取一點(diǎn)M到O點(diǎn)的距離為y,以無窮遠(yuǎn)處為零電勢點(diǎn),M點(diǎn)電勢的大小為φ.下面給出φ的4個表達(dá)式，哪個是正確的(式中k為靜電力常量)？

圖5 均勻帶電圓環(huán)Fig.5 Charged ring

2 結(jié)論

綜上所述,將量綱分析應(yīng)用于物理建模,實(shí)質(zhì)是將半定性半定量的分析方法應(yīng)用于物理學(xué)的學(xué)習(xí)和研究過程。本文對量綱分析法在物理建模和計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證兩方面的應(yīng)用做了詳盡闡述,在建模前期首先給出一些假設(shè),建立相關(guān)物理量之間的關(guān)系,可以避開復(fù)雜的理論計(jì)算,對建模過程可以起到事半功倍的效果。同時,對于用理論推導(dǎo)方法得到的計(jì)算結(jié)果也可借助量綱分析經(jīng)簡單計(jì)算對其正確性進(jìn)行驗(yàn)證。由此可見,量綱分析方法在物理建模、計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證中是一種行之有效的方法,如何將其恰當(dāng)運(yùn)用是值得每一位物理相關(guān)領(lǐng)域研究者在實(shí)踐中不斷探索和深思的問題。