環(huán)R+uR+vR+uvR上的斜常循環(huán)碼

劉 瑋，宋賢梅

(安徽師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽蕪湖241003)

眾所周知，循環(huán)碼是編碼中的一種重要碼，它能夠高效快速完成譯碼過程，從而在實踐中得到廣泛的運用。1994年，Hammons等證明了某些二元非線性碼可以看作是Z4上的循環(huán)碼Gray像[1]。自此之后，有限鏈環(huán)及一些特殊的有限鏈環(huán)上的循環(huán)碼及其相關(guān)的研究受到越來越多的關(guān)注。萬哲先等系統(tǒng)介紹了Galois環(huán)上的循環(huán)碼[2]；Wolfman等研究了Z4上的負循環(huán)碼與循環(huán)碼[3]；Dinh研究了Galois環(huán)上長為偶數(shù)的負循環(huán)碼[4]；錢建發(fā)研究F2+uF2上(1+u)-常循環(huán)碼和循環(huán)碼[5]；朱士信等研究了Fp+uFp上的常循環(huán)碼和Gray像[6]；Boucher等首次提出了Fp上的斜循環(huán)碼概念[7]，并說明斜循環(huán)碼的漢明距離大于已知最好的線性碼，其后又研究了Galois環(huán)上的斜常循環(huán)碼[8]；Jitman等研究了有限鏈環(huán)上的斜常循環(huán)碼及對偶碼[9]；宋賢梅等研究了非有限鏈Fq+vFq+v2Fq上的斜常循環(huán)碼及對偶碼的相關(guān)性質(zhì)[10]。隨著環(huán)的不斷推陳出新，環(huán)之間存在著一定的局限性和關(guān)聯(lián)性，從最開始普通的循環(huán)碼逐步研究到更深層次的斜循環(huán)碼，到目前的斜常循環(huán)碼并取得豐富的結(jié)論。因不同環(huán)上的斜常循環(huán)碼具有相似的結(jié)論，所以本文構(gòu)造全新的環(huán)來研究上述文獻中的結(jié)論和性質(zhì)。針對環(huán)?=R+uR+vR+uvR(u2=-u,v2=-v,uv=vu)上的斜常循環(huán)碼及對偶碼性質(zhì)，得到線性碼C是斜常循環(huán)碼的充要條件，并討論斜常循環(huán)碼C的生成多項式與對偶碼C⊥的生成多項式。

1 預(yù)備知識

記環(huán)?=R+uR+vR+uvR，其中u,v滿足u2=-u,v2=-v,uv=vu,R為有限鏈環(huán)。 r表示有限鏈環(huán)R的極大理想且rl=0,l為其冪零指數(shù)，則R r是域，記為K。記 ||K =q，則 ||R =ql。令e1=1+u+v+uv,e2=uv,e3=-u-uv,e4=-v-uv，令ei=∈ R,i=1,2,3,4，且當i≠ j,eiej=0,e1+e2+e3+e4=1，因此有直和分解

且?中元素r可唯一表示為

易知1+2u是環(huán)?的一個單位，且滿足(1+2u)e1=e1,(1+2u)e2,(1+2u)e3=-e3,(1+2u)=e4，?n={(a0,a1,…,an-1)|ai∈?,i=0,1,…,n-1 }是一個交換環(huán)。若C是?n的非空子集合，則稱C是?上長為n的碼。若C是?n的R-子模，稱C是R上長為n的線性碼。

設(shè)X=(x1,x2,…,xn),Y=(y1,y2,…,yn)∈?n，定義X,Y的歐幾里得內(nèi)積為

設(shè)C是長為n的碼，C⊥={ }x∈?n|x,c=0,?c∈C 稱為C的歐幾里得對偶碼。

設(shè)θ是有限鏈環(huán)R的一個自同構(gòu)，定義?上的自同構(gòu)θˉ滿足：

?到R4的Gray映射?定義為對任意r=a+ub+vc+duv∈?有

擴展到?n上，則對任意r=a+ub+vc+duv∈?，其中ci=e1xi+e2yi+e3zi+e4ti(i=0,1,2,…,n-1)有

設(shè)C是?長為n的線性碼，對c∈C，c的Gray重量為WG(c)=WH(x,y,z,t)，易知?是?n到?4n的雙射且是一個保距映射。

下面給出碼的直和與卡氏積定義，設(shè)B1、B2、B3、B4是?上長為n的線性碼，

假設(shè)C為環(huán)?上長為n的線性碼，定義集合：

易知：

(1)Ci(i=1,2,3,4)是R上長為n的線性碼；

(2)線性碼C可以唯一表示為e1x⊕e2y⊕e3z⊕e4t；

(3)C= |C1|?| C2|?|C3|?|C4|。

通過線性碼C的直和分解可以得到C的對偶碼C⊥及?(C⊥)與?(C)⊥的相關(guān)性質(zhì)，從而得到如下命題。

命題1設(shè)C=e1C1⊕e2C2⊕e3C3⊕e4C4是?上長為n的線性碼，則下面結(jié)論成立：

（1）C⊥=e1C1⊥⊕e2⊕e3⊕e4，

（2）?(C)=C1?C2?C3?C4且 | ?(C)|= |C1|?| C2|?|C3|?| C4|，

（3）?(C⊥)=C1⊥? C2⊥? C3⊥? C4⊥。

證明(1)定義集合={x∈ Rn|?y,z,t∈ Rn,e1x+e2y+e3z+e4t∈ C⊥}，同理定義,易知 C⊥=e1⊕e2⊕e3⊕e4。下面僅需證明=(i=1,2,3,4)，不妨證=，對任意x ∈，有e1x+e2y+e3z+e4t=c′∈ C⊥，因此對任意x′∈ C1,有e1x′+e2y′+e3z′+e4t′=c∈ C且＜ c,c′＞=e1xx′=0，從而xx′=0，則?。另一方面，若x∈，則c′=e1x′+e2y′+e3z′+e4t′∈ C⊥，有＜ e1x,c′＞=e1xx′=0，于是x∈ ?⊥1，故=。同理可證=,=,=,所以 C⊥=e1+e2+e3+e4。

(2)由線性碼C的直和表示及?的定義，易知?(C)?C1?C2?C3?C4。對任意c=(x,y,z,t)∈C1?C2?C3?C4，令 r=e1x+e2y+e3z+e4t，則 r∈C 且 ?(r)=c=(x,y,z,t)，故C1?C2?C3?C4??(C)。因此?(C)=C1?C2?C3?C4，注意到?是雙射，所以

(3)由(1)(2)以及?的定義易知?(C⊥)??(C)⊥且注意到?是雙射，于是

所以? (C⊥)= ? (C)⊥，類似(1)的證明有? (C)⊥=???。

2 環(huán)?上的斜常循環(huán)碼

定義1設(shè)是?上的自同構(gòu)，λ是?的單位，ρθˉ,λ是?n的自同態(tài)，若對任意c=(c0,c1,…,cn-1)∈ C有ρθˉ,λ(r0,r1,…,rn-1)=(ˉ(λ)ˉ(rn-1),ˉ(r0),…,ˉ(rn-2))∈ C，則稱碼C是斜常循環(huán)碼或- λ-常循環(huán)碼。 特別地，當λ=1時，稱C為斜循環(huán)碼；當λ=-1時，稱C為斜負循環(huán)碼。

引理1設(shè)n為正整數(shù)是?的一個自同構(gòu)，xn-(1+2u)∈?[x;，則下列說法等價：

（1）〈xn-(1+2u)〉是? [x;的雙邊理想；

（3）xn-(1+2u)是? [x;的中心。

證明(3)?(1)顯然。

(1)?(2)對任意的 ax∈?，由條件(1)知 ax(xn-(1+2u))=(xn-(1+2u))ax，即 a(1)xn+1-1+2u)x=(a)xn+1-(1+2u)ax，比較系數(shù)得(a)=a，即|＜＞ ||n且(1+2u)=1+2u。

所以xn-(1+2u)是? [x;的中心。

注下面討論的內(nèi)容，均是在〈xn-(1+2u)〉是雙邊理想的前提下，因此需要條件θˉ的階整除n,θ(1+2u)=1+2u。

定理1設(shè)C=e1C1⊕e2C2⊕e3C3⊕e4C4是?上長為n的線性碼，則C是θˉ-(1+2u)-常循環(huán)碼當且僅當C1、C4是?上長為n的斜循環(huán)碼，C2、C3是?上長為n的斜負循環(huán)碼。

證明設(shè)r=(r0,r1,…,rn-1)∈C，其中ri={e1ai+e2bi+e3di+e4di∣ai,bi,ci,di∈R(i=0,1,2,…,n-1)}，令a=(a0,a1,…,an-1),b=(b0,b1,…,bn-1),c=(c0,c2,…,cn-1),d=(d0,d1,…,dn-1)，可知

因此 ρθˉ,(1+2u)(r)∈ C 的充分必要條件是 ρθˉ,1(a)∈ C1,ρθˉ,-1(b)∈ C2,ρθˉ,-1(c)∈ C3,ρθˉ,1(d)∈C4，即 C 是 ? 上長為n的斜常循環(huán)碼的充分必要條件是C1、C4是?上長為n的斜循環(huán)碼，C2、C3是?上長為n的斜負循環(huán)碼。

命題2設(shè)C=e1C1⊕e2C2⊕e3C3⊕e4C4是?上長為n的(1+2u)-線性碼，gi(x)是Ci的生成多項式，且i=1,4時，gi(x)右整除xn-1；當i=2,3時，gi(x)右整除xn+1，則存在唯一的g(x)=e1g1(x)+e2g2(x)+e3g3(x)+e4g4(x)∈ ? [x;，使得C=＜ g(x)＞，g(x)右整除xn-(1+2u)且|C|=

證明令g(x ) =e1g1( x ) +e2g2( x ) +e3g3( x ) +e4g4( x )，下證C=＜g(x)＞。 一方面，易知C?〈e1g1(x),e2g2(x),e3g3(x),e4g4(x)〉，而eigi( x ) =eig( x )(i =1,2,3,4)，可得C?〈g(x)〉。另一方面注意到g(x)∈C，故C=〈g(x)〉。

現(xiàn)證g(x)右整除xn-(1+2u)。由條件可得存在fi(x)∈ ?[x;(i=1,2,3,4),使得

由于(1+2u)e1=e1,(1+2u)e2=-e2,(1+2u)e3=-e3,(1+2u)e4=e4，于是

故g(x)是xn-(1+2u)的右因子。

最后，由于|C|=|C1|?|C2|?|C3|?|C4|,gi(x)是Ci的生成多項式，因此

3 斜常循環(huán)碼的對偶碼

下面討論環(huán)?上長為n的斜常循環(huán)碼的對偶碼與其之間的聯(lián)系，并給出斜常循環(huán)碼的生成多項式。

定理2設(shè)θˉ的階是2且n為偶數(shù)，C是?上長為n的線性碼，則C是θˉ-(1+2u)-常循環(huán)碼當且僅當C⊥是θˉ-(1+2u)-1-常循環(huán)碼。

證明假設(shè)C是θˉ-(1+2u)-常循環(huán)碼，對任意u=(u0,u1,…,un-1)∈C有如下等式成立因此對任意v∈C⊥有0=〈(u),v〉，

從而

即〈(1+2u)-1θˉ(vn-1),θˉ(v0),…,θˉ(vn-2),(u0,u1,…,un-1)〉 =0，所以(1+2u)-1θˉ(vn-1),θˉ(v0),…,θˉ(vn-2))∈ C⊥，即 C⊥為θˉ-(1+2u)-1-常循環(huán)碼。

反之設(shè)C⊥為 θˉ-(1+2u)-1-常循環(huán)碼，利用前面類似的結(jié)論及(1+2u)-2=1 易知 C=(C⊥)⊥是θˉ-(1+2u)-常循環(huán)碼。

引理2設(shè)a(x)=a0+a1x+a2x2+ …+an-1xn-1,b(x)=b0+b1x+ …+bn-1xn-1∈?[x;θˉ]，則下面三條性質(zhì)等價：

(1)當i∈{0,1,2,…,n-1}時，a(x)的系數(shù)向量與xi(xn-1φ(b(x)))的系數(shù)向量歐幾里得正交。

(2)(a1,a2,…,an-1)與(bn-1,θˉ(bn-2),…,θˉn-1(b0))以及它的θˉ-(1+2u)-常循環(huán)移位正交。

(3) 在? [x;θˉ]/(xn-(1+2u))中，a(x)b(x)=0。

定理3設(shè)|＜θˉ＞|=2，且n為偶數(shù)，C是?上長為n的θˉ-(1+2u)-常循環(huán)碼，g(x)是其首一的生成

(1)斜多項式xdeg(h(x))φ(h(x))是xn-(1+2u)的右因子。

(2)C⊥是由xdeg(h(x))φ (h(x))生成的θˉ-(1+2u)-1-常循環(huán)碼。

證明(1)由條件有|＜ θˉ＞ |∣n，且θˉ(-(1+2u))=-(1+2u)，于是

從而xdeg(h(x))φ (h(x))是xn-(1+2u)的右因子。

所以＜ xdeg(h(x))φ(h(x))〉=C⊥。