零耦合度且部分解耦的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與運(yùn)動(dòng)分析

沈惠平 許正驍 許 可 鄧嘉鳴 楊廷力

(常州大學(xué)現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心， 常州 213016)

0 引言

具有空間三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)(3T1R)功能的并聯(lián)機(jī)器人操作手，其工作空間大、速度快、剛度高，在現(xiàn)代制造業(yè)中有著良好的應(yīng)用前景。但是，一般這類少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、耦合度高、運(yùn)動(dòng)輸入-輸出不解耦，且易出現(xiàn)奇異位置，因此，4自由度3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)新機(jī)型的設(shè)計(jì)和性能研究一直受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)[1-3]設(shè)計(jì)了H4、I4、Par4等系列的4自由度3T1R并聯(lián)操作手；趙鐵石等[4]提出了一種4-URU型3T1R并聯(lián)機(jī)器人；金瓊等[5]基于單開鏈(Single-open-chain，SOC)方法，提出了一類3T1R并聯(lián)機(jī)器人；KONG等[6]基于螺旋理論，通過構(gòu)建能產(chǎn)生3T1R運(yùn)動(dòng)的支鏈，綜合出一組具有相同支鏈的并聯(lián)機(jī)構(gòu)；RICHARD等[7]對一種部分解耦的4自由度3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析；CORBEL等[8]對3T1R并聯(lián)機(jī)械手的加速度特性進(jìn)行了研究；AMINE等[9]對具有相同支鏈的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異性條件進(jìn)行了研究；黃田等[10]在H4、I4、Par4等相似機(jī)器人主體構(gòu)造的基礎(chǔ)上，發(fā)明了一種3T1R的Cross-Ⅳ型高速搬運(yùn)機(jī)器人，并實(shí)現(xiàn)了產(chǎn)業(yè)化；劉辛軍等[11]研發(fā)了X4機(jī)器人；文獻(xiàn)[12-13]對含有4條相同支鏈的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了分析。但上述3T1R機(jī)構(gòu)大部分耦合度κ大(κ≥2)，且運(yùn)動(dòng)不解耦，給運(yùn)動(dòng)控制及軌跡規(guī)劃帶來了困難。文獻(xiàn)[14]提出了一種低耦合度且運(yùn)動(dòng)解耦的3T1R并聯(lián)操作手，但因其耦合度κ=1，位置正解仍無法求得其解析解，給誤差分析、實(shí)時(shí)控制等帶來了困難。

本文提出一種零耦合度且具有部分運(yùn)動(dòng)解耦性的3T1R并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)，并對此機(jī)構(gòu)的拓?fù)涮匦?POC集、自由度、耦合度、運(yùn)動(dòng)耦合性)以及運(yùn)動(dòng)學(xué)(位置正逆解求解、工作空間與轉(zhuǎn)動(dòng)能力、奇異位置，以及速度、加速度)特性進(jìn)行系統(tǒng)分析。

1 3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)及拓?fù)浞治?/h2>

1.1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

根據(jù)基于POC方程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論[15-16]、并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)降耦原理[17]，以及冗余支鏈消除奇異位置的原理[18-19]可知：需具有零耦合度(κ=0)，即要求有部分支鏈回路的約束度為零；需具有運(yùn)動(dòng)部分解耦性，即要求包含兩個(gè)以上至少各含一個(gè)驅(qū)動(dòng)副的基本運(yùn)動(dòng)鏈(BKC)；冗余支鏈消除奇異位置，即需要根據(jù)POC集和自由度，對支鏈在動(dòng)靜平臺(tái)之間作特殊布置。根據(jù)這些分析，本文提出一種含冗余支鏈的零耦合度且具有部分運(yùn)動(dòng)解耦的4-DOF 3T1R并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)，如圖1所示。

(1)該機(jī)構(gòu)包括含平行四邊形的一條混合支鏈(Hybrid single-open-chain，HSOC1)，包含4個(gè)分支鏈A、B、C、D，其中，由4個(gè)球副組成的平行四邊形(◇S1S2S3S4)，其一短邊桿3與驅(qū)動(dòng)桿2固接后，再用轉(zhuǎn)動(dòng)副R11與靜平臺(tái)0連接，為支鏈A，記作RPa(4S)；另一短邊桿5的右側(cè)延伸端，與三平行軸線轉(zhuǎn)動(dòng)副組(R21‖R22‖R23)(記支鏈B)并聯(lián)連接；短邊桿5的左側(cè)延伸端，與另一三平行軸線轉(zhuǎn)動(dòng)副組(R51‖R52‖R53)(記支鏈C)，也并聯(lián)連接，這樣，支鏈A與B(或A與C)構(gòu)成一個(gè)子并聯(lián)機(jī)構(gòu)，記作：RPa(4S)3R(3R表示支鏈B或C的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副)；同時(shí)，短邊桿5的上側(cè)通過與其固接的桿8，與桿9兩平行軸線轉(zhuǎn)動(dòng)副組(R12‖R13)(記支鏈D)串聯(lián)連接，但R12⊥R23。

1.2節(jié)將說明：該混合支鏈中的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)(RPa(4S)3R)的子平臺(tái)輸出桿5將產(chǎn)生兩平移的輸出；而整個(gè)混合支鏈的末端(即動(dòng)平臺(tái)1的一部分)將產(chǎn)生三平移一轉(zhuǎn)動(dòng)(繞R13)的輸出。

(2)另外，無約束支鏈SOC2{R31-S32-S33}鉸接于SOC3{R41-S42-S43}的球副S43處，從而構(gòu)成第2條HSOC2，因此，機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)1只有兩個(gè)聯(lián)接點(diǎn)，即R13和S33。

靜平臺(tái)0上的各轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線的布置關(guān)系為：R11⊥R21，R21‖R51；而R21與R31，R41與R51軸線分別重合。1.2節(jié)將證明輸出桿5兩側(cè)的任一支鏈B、C為冗余支鏈，設(shè)支鏈C為冗余支鏈。因此，可取轉(zhuǎn)動(dòng)副R51為冗余驅(qū)動(dòng)副：機(jī)構(gòu)正常工作時(shí)，該冗余支鏈處于被動(dòng)、隨動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)機(jī)構(gòu)出現(xiàn)奇異時(shí)，該冗余驅(qū)動(dòng)副R51產(chǎn)生動(dòng)作，以消除機(jī)構(gòu)奇異位置。

1.2 機(jī)構(gòu)的拓?fù)浞治?/h3>

1.2.1機(jī)構(gòu)的方位特征(POC)

由文獻(xiàn)[15-16]可知，串聯(lián)、并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC集方程分別為

(1)

(2)

式中m——運(yùn)動(dòng)副數(shù)v——獨(dú)立回路數(shù)

MJi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的POC集

Mbj——第j條支鏈末端的POC集

MPa——機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的POC集

選動(dòng)平臺(tái)1上任意一點(diǎn)O′為基點(diǎn)，由1.1節(jié)可知，HSOC1包含A、B、C、D 4個(gè)支鏈，其構(gòu)成分別為RPa(4S)(支鏈A)、R21‖R22‖R23(支鏈B)、R51‖R52‖R53(支鏈C)，以及R12‖R13(支鏈D)。因此，由式(1)、(2)可得

MHSOC1=(MA∩MB∩MC)∪MD

由式(1)可得

由式(2)可得

(3)

由式(3)可知，因支鏈A、B構(gòu)成一子并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其輸出桿5已得到兩平移零轉(zhuǎn)動(dòng)(2T0R)的輸出，且支鏈C與支鏈B的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和POC集完全相同，支鏈C對支鏈A、B構(gòu)成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC集沒有影響，因此，它已屬于冗余支鏈。

由式(1)可得

Mb1=MHSOC1=M(A-B)∪MD=

HSOC2末端的POC集為

由式(2)可得機(jī)構(gòu)的POC集為

因此，當(dāng)靜平臺(tái)0上的4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R11、R21和R31、R41為主動(dòng)副時(shí)，動(dòng)平臺(tái)1即產(chǎn)生3個(gè)移動(dòng)和1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)(繞轉(zhuǎn)動(dòng)副R13的軸線)的輸出運(yùn)動(dòng)。

1.2.2自由度

并聯(lián)機(jī)構(gòu)全周DOF一般公式[12]為

(4)

(5)

式中F——機(jī)構(gòu)自由度

fi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度

ξLj——第j個(gè)獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)

dim.——方位特征集的維數(shù)

Mb(j+1)——第j+1條支鏈末端構(gòu)件的POC集

由支鏈A、B組成的第1個(gè)回路，即RPa(4S)3R由式(5)知其獨(dú)立位移方程數(shù)為

由第1回路組成的第1個(gè)子并聯(lián)機(jī)構(gòu)Sub-PM的DOF和POC集，由式(4)可得

F(A-B)=∑f-ξL1=(5+3)-6=2

由式(3)可得

如圖2所示，因球副S32和S42間的距離是變化的，故在球副S32和S42間設(shè)想存在一個(gè)虛擬的移動(dòng)副P(此時(shí)，可把球副S32、S42、S43的組成體，視為一個(gè)整體三角形構(gòu)件)。這樣，由{R31-S32-P-S42-R41}構(gòu)成第2個(gè)回路，其中，繞球副S32和S42連線的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，對第2回路的運(yùn)動(dòng)位置沒有影響，但對第3回路的運(yùn)動(dòng)位置有影響，故應(yīng)將其放入第3回路中考慮。由式(5)易知，第2回路的獨(dú)立位移方程數(shù)為

圖2 第2、3回路的構(gòu)成Fig.2 Composition of the second and third loops

由式(4)可得第2回路組成的第2個(gè)子并聯(lián)機(jī)構(gòu)Sub-PM的DOF為

FL2=∑f-ξL2=(9-1)-6=2

因球副S32、S42、S43組成的整體三角形構(gòu)件繞球副S32和S42連線的轉(zhuǎn)動(dòng)，等效為一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R′，所以第3回路的組成為{R12-R13-S33-R′}，由式(5)可得

由式(4)可得整個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的DOF為

1.2.3機(jī)構(gòu)耦合度

由基于單開鏈(SOC)單元的機(jī)構(gòu)組成原理[15-16]可知，任一機(jī)構(gòu)可分解為一系列單開鏈，第j個(gè)單開鏈(SOCj)的約束度為

(6)

式中mj——第j個(gè)SOCj的運(yùn)動(dòng)副數(shù)

Ij——第j個(gè)SOCj的驅(qū)動(dòng)副數(shù)

一組有序的v個(gè)SOC可構(gòu)成一個(gè)獨(dú)立回路數(shù)為v的基本運(yùn)動(dòng)鏈(Basic kinematics chain，BKC)，對一個(gè)BKC則有

因此，耦合度為

κ揭示了機(jī)構(gòu)基本回路變量之間的關(guān)聯(lián)、依賴程度；κ值越大，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)分析越復(fù)雜。

前文已計(jì)算了上述3個(gè)回路的獨(dú)立位移方程數(shù)分別為ξL1=ξL2=ξL3=6，因此，3個(gè)回路的約束度均可由式(6)求得：Δ1=8-2-6=0，Δ2=(9-1)-2-6=0，Δ3=6-0-6=0。

上述3個(gè)回路均獨(dú)立構(gòu)成一個(gè)BKC，因此，該機(jī)構(gòu)包含3個(gè)BKC，即BKC1、BKC2、BKC3，它們的耦合度分別為κ1=κ2=κ3=0；整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)位置正解，可依次通過BKC1、BKC2、BKC3直接求出其解析解。

2 位置分析

2.1 基于序單開鏈的機(jī)構(gòu)位置正解求解原理

由文獻(xiàn)[16,20]知，因任一機(jī)構(gòu)可分解為若干個(gè)BKC，而每個(gè)BKC又可分解出約束度為正值、零、負(fù)值3種形式的單開鏈，因此，機(jī)構(gòu)位置正解的求解，可轉(zhuǎn)換為3種單開鏈的位置求解，而這3種單開鏈的約束特性及其建模方法為：

2.2 參數(shù)標(biāo)注

建立圖1機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)模型，如圖3a所示，因冗余支鏈正常情況下處于隨動(dòng)狀態(tài)，對機(jī)構(gòu)正常工作不起作用，因此，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí)，可不考慮圖3a中的冗余支鏈(即A5-B5-C5支鏈)；同時(shí)，為了計(jì)算方便，將圖1 中的β定為180°，即點(diǎn)B3、C4、C3在一條直線上。

圖3 3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)建模Fig.3 Kinematic modeling of 3T1R parallel mechanism

設(shè)該機(jī)構(gòu)靜平臺(tái)0為矩形，A1、A2、A3、A4分別表示位于靜平臺(tái)0上的轉(zhuǎn)動(dòng)副R11、R21、R31和R41的位置。

在靜平臺(tái)上建立Oxyz坐標(biāo)系，坐標(biāo)系原點(diǎn)O位于A3和A4連線的中點(diǎn)，x軸過A1點(diǎn)，y軸與A3A4重合，z軸由右手法則確定；在動(dòng)平臺(tái)1上建立puvw坐標(biāo)系，原點(diǎn)p位于F點(diǎn)(即動(dòng)平臺(tái)1與轉(zhuǎn)動(dòng)副R13的相連處)，u軸平行于FC3連線，w軸與z軸平行，v軸由右手法則確定。

設(shè)θ1、θ2、θ3、θ4分別為轉(zhuǎn)動(dòng)副R11、R21、R31、R41的輸入角(θ1為x軸正向與桿2的夾角，θ2、θ3、θ4分別為y軸正向與桿6、10、12的夾角)，如圖3a所示；動(dòng)平臺(tái)1的姿態(tài)角α為u軸正向與x軸正向之間的夾角，如圖3b所示。

該機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)為：動(dòng)平臺(tái)長為FC3=l3，主動(dòng)桿A1B1=A2B2=A3B3=A4B4=l4(

2.3 位置正解求解

已知主動(dòng)輸入角θ1、θ2、θ3、θ4,求動(dòng)平臺(tái)1上p點(diǎn)的位置(x，y，z)及姿態(tài)角α。

2.3.1BKC1的位置求解

求得點(diǎn)B1、B2的坐標(biāo)分別為：(2l1+l4cosθ1，0，l4sinθ1)、(l1，l2+l4cosθ2，l4sinθ2)。因BKC1的κ1=0，因此，輸出桿5上C1點(diǎn)的位置計(jì)算如下：

由式(3)可知，輸出桿5的輸出運(yùn)動(dòng)為兩平移(2T)且始終平行于yOz平面，因此，xC1=l1，即C2的坐標(biāo)為(l1,yC1+2l6,zC1)。

由桿長B1C1=B2C2=l5可得約束方程

(7)

并整理得

HyC1+MzC1=N

其中

H=2(yB2-2l6)M=2(zB2-zB1)

若H=M=0，則N=-(xB1-l1)2=0，但由于l4l1，因此，H、M不能同時(shí)為零。

(1)當(dāng)H=0時(shí)

(2)當(dāng)H≠0時(shí)

其中

2.3.2BKC2的位置求解

在BKC2中，球副S32和S42連線上的任意一點(diǎn)均可作為整個(gè)回路的末端點(diǎn)，故只需這兩個(gè)球副的坐標(biāo)即可求解連線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)。

根據(jù)主動(dòng)臂的桿長和輸入角θ3、θ4即可求出點(diǎn)B3、B4的坐標(biāo)分別為(0，l2+l4cosθ3，l4sinθ3)、(0，-l2+l4cosθ4，l4sinθ4)。

2.3.3BKC3的位置求解

在三角形B4C4B3中，由桿長約束B3C4=B4C4=l9可得

(8)

解方程組可得

由于B3、C4、C3在同一桿上，可根據(jù)桿長比例求得C3點(diǎn)的坐標(biāo)為

在E-F-C3中，由桿長約束FC3=l3和EF=l7可得

(9)

解方程組可得

(10)

其中

至此，動(dòng)平臺(tái)末端點(diǎn)p的坐標(biāo)已求得，而轉(zhuǎn)角α可由動(dòng)平臺(tái)上p與C3兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得，計(jì)算公式為

(11)

由式(10)、(11)可知，x=φ(θ1,θ2,θ3,θ4)、y=f(θ1,θ2,θ3,θ4)、z=φ(θ1,θ2)、α=η(θ1,θ2,θ3,θ4)，因此，該機(jī)構(gòu)具有輸入-輸出(I-O)部分運(yùn)動(dòng)解耦性。

2.4 位置逆解求解

已知?jiǎng)悠脚_(tái)p的坐標(biāo)(x，y，z)和姿態(tài)角α，求輸入角θ1、θ2、θ3、θ4。

而C2、C4的坐標(biāo)分別根據(jù)C1、C3的坐標(biāo)可得

C2=(l1,yC1+2l6,zC1)

由桿長約束B1C1=B2C2=B3C3=l5,B4C4=l9有

(12)

由此可得

(13)

綜上，C1點(diǎn)坐標(biāo)有兩組解，且輸入角θ1、θ2、θ3、θ4均有兩組解，故該機(jī)構(gòu)位置逆解共有32組解。

2.5 位置正逆解的實(shí)例驗(yàn)算

2.5.1正解算例

設(shè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)為l1=300 mm,l2=300 mm,l3=150 mm,l4=250 mm,l5=800 mm,l6=100 mm,l7=200 mm,l8=25 mm,l9=700 mm。

設(shè)4個(gè)輸入角分別為：θ1=51.45°、θ2=31.81°、θ3=76.61°、θ4=124.57°。

根據(jù)位置正解式(10)、(11)求得4組實(shí)數(shù)正解，如表1所示。

表1 位置正解數(shù)值Tab.1 Numerical values of direct kinematics

2.5.2逆解算例

3 工作空間和轉(zhuǎn)動(dòng)能力

3.1 工作空間

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間，是指在考慮運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角范圍(球副轉(zhuǎn)角為±30°)、無奇異及桿長不干涉等約束條件下，末端執(zhí)行器的工作區(qū)域。本文采用極限邊界搜索法對該并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間進(jìn)行分析，首先，根據(jù)桿長設(shè)定工作空間的搜索范圍，然后，基于位置逆解式(12)求得該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間。

圖4 工作空間三維圖Fig.4 Three dimensional diagram of workspace

確定空間三維搜索范圍：600 mm≤z≤1 000 mm，-π≤θ≤π，0≤ρ≤800 mm(略大于桿件的活動(dòng)范圍即可)。通過Matlab軟件編程，得到該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維工作空間如圖4所示；取不同z值時(shí)的x-y截面圖，如圖5所示。

圖5 工作空間的x-y截面圖Fig.5 x-y sections of workspace

由圖4、5可得，在z∈[600 mm,950 mm]范圍內(nèi)，工作空間截面連續(xù)，且隨著z增加，截面面積逐漸縮小。由于桿5的運(yùn)動(dòng)始終垂直于x軸且位于支鏈B、C所組成的平面內(nèi)，故動(dòng)平臺(tái)上的p點(diǎn)在x方向上的極限位置，只與桿8的桿長l7有關(guān)，故工作空間僅在x∈[100 mm,300 mm]上存在。

圖6 z=600 mm時(shí)x-y截面各點(diǎn)動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)角的分布Fig.6 Distributions of rotation angles of PM at z=600 mm

3.2 轉(zhuǎn)動(dòng)能力

轉(zhuǎn)動(dòng)能力是指動(dòng)平臺(tái)(末端執(zhí)行器)在工作區(qū)域內(nèi)的轉(zhuǎn)角范圍，是衡量并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出轉(zhuǎn)動(dòng)靈活性的重要指標(biāo)。本文采用與求解工作空間一樣的極限邊界搜索法，基于逆解式(12)分析某一固定z值處平面內(nèi)各點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)能力。現(xiàn)取z=600 mm，通過Matlab，求得該高度z上x-y截面內(nèi)的轉(zhuǎn)角α的范圍，如圖6所示。

由圖6可知，動(dòng)平臺(tái)在z=600 mm時(shí)，轉(zhuǎn)角α的范圍很大，能達(dá)到[-180°,180°]的區(qū)域面積為0.23 m2,約占總區(qū)域面積(0.33 m2)的70%，表明在該平面內(nèi)，動(dòng)平臺(tái)具有較大的轉(zhuǎn)動(dòng)能力；在z=700、800 mm的截面內(nèi)，其對應(yīng)的數(shù)值分別為66%和54%，因此，當(dāng)動(dòng)、靜平臺(tái)的距離變大時(shí)，動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)能力會(huì)逐漸削弱。

4 奇異位置分析

當(dāng)機(jī)構(gòu)處于奇異位置時(shí)，運(yùn)動(dòng)會(huì)出現(xiàn)分岔現(xiàn)象，此時(shí)，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)不具有確定性。因此，在并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，有必要對其可能存在的奇異位置進(jìn)行分析。本文通過對位置逆解公式的求導(dǎo)，得出并分析雅可比矩陣，進(jìn)一步得到該并聯(lián)機(jī)構(gòu)可能存在的奇異位置。

4.1 雅可比矩陣求解

JpV=Jqω

(14)

其中

圖7 輸入奇異位置Fig.7 Input singularity position

4.2 奇異位置求解

當(dāng)雅可比矩陣Jp和Jq中，只要有一個(gè)矩陣的行列式為零，該機(jī)構(gòu)就會(huì)出現(xiàn)奇異位置。據(jù)此，可將并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位置分為兩類：輸入奇異、輸出奇異。

4.2.1輸入奇異

當(dāng)det(Jq)=0時(shí)，機(jī)構(gòu)發(fā)生輸入奇異，此時(shí)機(jī)構(gòu)的執(zhí)行構(gòu)件將失去某個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)能力。一般此時(shí)的位形情況是一個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈達(dá)到了工作空間的邊界。

由det(Jq)=0得Jq矩陣的行列式解的集合為

W={W1∪W2∪W3∪W4}

當(dāng)W1=(zB1-zC1)l4cosθ1-(xB1-xC1)l4sinθ1=0，即桿2和平行四邊形短邊中點(diǎn)連線在Oxz面上的投影共線，如圖7a所示。

當(dāng)W2=(zB2-zC2)l4cosθ2-(yB2-yC2)l4sinθ2=0，即桿6和桿7在Oyz面上的投影共線，在當(dāng)前的桿長條件下不會(huì)出現(xiàn)這種情況。

當(dāng)W3=(zB3-zC3)l4cosθ3-(yB3-yC3)l4sinθ3=0，即桿10和桿9在Oyz面上的投影共線，如圖7b所示。

當(dāng)W4=(zB4-zC4)l4cosθ4-(yB4-yC4)l4sinθ4=0，即桿12和桿11在Oyz面上的投影共線，如圖7c所示。

4.2.2輸出奇異

當(dāng)det(Jp)=0，機(jī)構(gòu)發(fā)生輸出奇異，此時(shí)當(dāng)所有的主動(dòng)件鎖住時(shí)，執(zhí)行構(gòu)件依舊可以產(chǎn)生局部運(yùn)動(dòng)，從而使輸出產(chǎn)生不確定性。

將矩陣Jp看作4個(gè)列向量，即

為使det(Jp)=0，有以下3種情況：

(1)兩個(gè)向量線性相關(guān)

設(shè)ke1=e3(即e1、e3線性相關(guān))，此情形可導(dǎo)出3種奇異條件，由式(10)可得:

平行四邊形短邊中點(diǎn)連線和桿9在Oyz平面上的投影平行，如圖8a所示。

當(dāng)kf11=f31，即

桿9和桿8在Oxy平面上的投影平行，如圖8b所示。

當(dāng)kf14=f34，即

桿9和FC3連線在Oxy平面上的投影平行，如圖8b所示。

圖8 輸出奇異位置(1)Fig.8 Output singularity (1)

兩向量線性相關(guān)的其他組合分析與此類似，不再一一贅述。

(2)3個(gè)向量線性相關(guān)

設(shè)e3=k1e1+k2e2(k1k2≠0)，則有：

平行四邊形短邊中點(diǎn)連線、桿7和桿9在Oyz平面上的投影不平行，如圖9a所示。

當(dāng)k1f11+k2f21=f31，即

桿9和桿8在Oxy平面上的投影平行，如圖9b所示。

當(dāng)k1f14+k2f24=f34，即

桿9和FC3連線在Oxy平面上的投影平行，如圖9b所示。

圖9 輸出奇異位置(2)Fig.9 Output singularity (2)

其余情況分析過程類似，不再一一贅述。

(3)4個(gè)向量線性相關(guān)

設(shè)e2=k1e1+k2e3+k3e4(k1k2k3≠0)，結(jié)合前面兩種情況的分析，此時(shí)，k1、k2、k3的值無法解出，此種情況不存在。

5 速度與加速度

5.1 速度公式

由式(12)的4個(gè)方程，可表示成唯一形式f(x，y，z，α)=0，全微分后可得

(15)

對式(15)兩邊同時(shí)除以dt得

(16)

當(dāng)機(jī)構(gòu)不存在奇異位置時(shí)，Jp可逆，則

(17)

式(17)即為動(dòng)平臺(tái)原點(diǎn)p的速度正解公式。

5.2 加速度公式

取式(15)對時(shí)間t求導(dǎo)，可得

(18)

當(dāng)機(jī)構(gòu)不存在奇異位置時(shí)，Jp可逆，則

(19)

式(19)即為動(dòng)平臺(tái)原點(diǎn)p的加速度求解公式。

5.3 算例與仿真

通過Matlab編程計(jì)算，得到動(dòng)平臺(tái)1的速度與加速度，分別如表2、3所示。

表2 動(dòng)平臺(tái)速度Tab.2 Velocity of moving platform

表3 動(dòng)平臺(tái)加速度Tab.3 Acceleration of moving platform

同時(shí)，將該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維模型，通過Solid-Works導(dǎo)入到ADAMS軟件中進(jìn)行仿真，得到動(dòng)平臺(tái)的速度與加速度曲線，分別如圖10、11所示。

通過對比表2和圖10及表3和圖11可以得到，運(yùn)用Matlab對式(15)～(19)進(jìn)行編程計(jì)算得到的數(shù)值，與運(yùn)用ADAMS仿真得到的曲線圖基本一致，其相對誤差僅為0.1%，例：表2中t=2 s時(shí)的數(shù)據(jù)與圖10中對應(yīng)的4個(gè)數(shù)值(-15.800，-31.890，-66.215，-24.608)基本一致，從而驗(yàn)證了所推導(dǎo)的速度與加速度公式的正確性。該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的速度、加速度曲線,變化連續(xù)平穩(wěn)、無突變峰值，具有較好的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。

圖10 動(dòng)平臺(tái)的速度曲線Fig.10 Velocity curves of moving platform

圖11 動(dòng)平臺(tái)的加速度曲線Fig.11 Acceleration curves of moving platform

6 結(jié)論

(1)揭示了該機(jī)構(gòu)的POC、自由度、耦合度、運(yùn)動(dòng)耦合性等重要拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征，為簡化其運(yùn)動(dòng)學(xué)分析奠定了基礎(chǔ)。

(2)根據(jù)提出的基于序單開鏈的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模原理，建立了該機(jī)構(gòu)位置正解的求解模型，求解出了位置正解的解析解。

(3)基于導(dǎo)出的位置逆解公式，對該機(jī)構(gòu)的工作空間和轉(zhuǎn)動(dòng)能力進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)其工作空間連續(xù)且轉(zhuǎn)動(dòng)能力良好。

(4)分析了該機(jī)構(gòu)可能存在的奇異位置及其出現(xiàn)的幾何條件，并通過雅可比矩陣推導(dǎo)出該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的速度、加速度變化規(guī)律。