同軸環(huán)縫氣流作用下錐形液膜線性穩(wěn)定性分析*

康忠濤，李清廉，成 鵬

(1. 中國空氣動力研究與發(fā)展中心 超高速空氣動力研究所 高超聲速沖壓發(fā)動機(jī)技術(shù)重點(diǎn)實驗室， 四川 綿陽 621000； 2. 國防科技大學(xué) 高超聲速沖壓發(fā)動機(jī)技術(shù)重點(diǎn)實驗室， 湖南 長沙 410073；3. 國防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院， 湖南 長沙 410073)

由于具有良好的霧化性能和工況適應(yīng)性，氣液同軸離心式噴嘴在RL10-A、RD-57、YF-73、YF-75等發(fā)動機(jī)中得到了廣泛應(yīng)用。這種噴嘴由一個液體離心式噴嘴和同軸氣體環(huán)縫組成。離心式噴嘴產(chǎn)生的錐形液膜在同軸環(huán)縫氣體的作用下會迅速破碎成細(xì)小液滴。眾所周知，液膜的破碎是由氣液界面上表面波的不斷增長引起的[1]，因而液膜表面波產(chǎn)生機(jī)理及發(fā)展過程是液膜破碎霧化機(jī)理研究的重點(diǎn)。

對液膜表面波產(chǎn)生機(jī)理及發(fā)展過程的研究普遍采用線性穩(wěn)定性分析方法。為了分析氣液同軸離心式噴嘴的霧化機(jī)理，國內(nèi)外眾多學(xué)者對同軸氣體作用下的環(huán)形液膜進(jìn)行了線性穩(wěn)定性分析。在同軸氣體作用下，環(huán)形液膜呈現(xiàn)出與平面液膜和圓柱射流顯著不同的特征。首先，氣體的可壓縮性具有促進(jìn)液膜不穩(wěn)定的作用[2]；其次，氣體流動也可以促進(jìn)液膜的不穩(wěn)定，減小破碎長度和液滴粒徑[3]、增加表面波增長率和波數(shù)[4-5]；再次，內(nèi)側(cè)氣體對液膜不穩(wěn)定的促進(jìn)作用更明顯[6-8]。

對于錐形液膜，其色散方程需要考慮噴霧錐角和液膜向下游逐漸變薄的特征[9-10]。富慶飛等[1, 11]推導(dǎo)了錐形液膜的色散方程并進(jìn)行了數(shù)值求解，結(jié)果表明：主導(dǎo)表面波增長率和波數(shù)隨噴注壓降的增加而增加，并且錐形液膜主要由正弦模式的表面波主導(dǎo)，實際表面波中正弦模式的比例越大則液膜破碎時間越短。在同軸氣體作用下，Hosseinalipour等[12]推導(dǎo)了錐形液膜的色散方程，但僅考慮了噴霧錐角，沒有考慮液膜逐漸變薄的過程。

綜上所述，目前對同軸氣體作用下錐形液膜的線性穩(wěn)定性分析還很少，沒有充分考慮錐形液膜在向下游運(yùn)動過程中逐漸變薄的特點(diǎn)，而噴霧錐角和液膜變薄是錐形液膜最為重要的兩個特征。本文推導(dǎo)了同軸氣體作用下錐形液膜的色散方程，通過建立離心式噴嘴出口參數(shù)預(yù)測模型對色散方程進(jìn)行了數(shù)值求解。對同軸氣體作用下變薄錐形液膜進(jìn)行了時間穩(wěn)定性分析，以深入認(rèn)識氣液同軸離心式噴嘴的霧化機(jī)理。

1 色散方程

色散方程是在富慶飛[11]推導(dǎo)得到的變薄錐形液膜色散方程基礎(chǔ)上考慮同軸氣體的作用而推導(dǎo)得到的。

1.1 模型與假設(shè)

同軸氣體作用下錐形液膜向下游逐漸變薄的同時曲率半徑逐漸增加，液膜內(nèi)側(cè)沒有氣體噴注使得內(nèi)側(cè)氣體速度遠(yuǎn)低于外側(cè)氣體速度。為了簡化分析，忽略液膜的離心力、重力，不考慮氣體的可壓縮性和黏性，霧化模型如圖1所示。h0為噴嘴出口液膜厚度，a0為噴嘴出口液膜內(nèi)徑，液膜半錐角為β。在下游x位置處，液膜厚度為h、內(nèi)徑為a。液體密度為ρl，運(yùn)動速度為V0。內(nèi)側(cè)氣體密度為ρg1，運(yùn)動速度為V1。外側(cè)氣體密度為ρg2，運(yùn)動速度為V2。離心式噴嘴旋流室半徑為Rs，切向孔半徑為Rt，切向孔個數(shù)為n，噴嘴出口等直段半徑為R0。

1.2 色散方程推導(dǎo)

在錐形液膜的表面，存在正弦模式和曲張模式兩種表面波形式，如圖2所示。這兩種形式的區(qū)別在于液膜兩側(cè)表面波的相位是否相同，同相的是正弦模式，相差180°的是曲張模式。

圖1 同軸氣體作用下錐形液膜示意圖Fig.1 Schematic of conical liquid film with coaxial gas flow

(a) 正弦模式(a) Sinuous mode (b) 曲張模式(b) Varicose mode圖2 錐形液膜表面波模式Fig.2 Model of surface wave on conical liquid film

設(shè)錐形液膜內(nèi)、外表面的表面波具有如式(1)所示的形式。

(1)

其中：η為表面波振幅，下標(biāo)1、2分別代表液膜的內(nèi)、外表面，下標(biāo)0表示初始狀態(tài)；k=2π/λ代表表面波波數(shù)，λ為表面波波長；ω=ωr+iωi，實部ωr表示表面波頻率，虛部ωi表示表面波隨時間的增長率，當(dāng)ωi最大時認(rèn)為表面波最不穩(wěn)定。

無旋、不可壓流動可以由Laplace方程定義：

2φi=0

(2)

式中，φi為擾動速度勢函數(shù)，i=0，1，2分別表示液膜、液膜內(nèi)側(cè)氣體和外側(cè)氣體。在柱坐標(biāo)下，擾動速度勢函數(shù)可以定義為：

φi=Gi(r)ei(kx-ωt),i=0,1,2

(3)

將式(3)代入式(2)可以得到：

(4)

該方程為零階Bessel方程，其通解為：

Gi(r)=AiI0(kr)+BiK0(kr),i=0,1,2

(5)

式中，I0和K0是零階Bessel函數(shù)。

由對稱性可知，噴嘴中心軸線徑向擾動速度為0，此外在無窮遠(yuǎn)處可以將徑向擾動速度看作0，即有：

(6)

將φ1、φ2代入式(6)得到：

(7)

因為K1(0)=∞，I1(0)=0，K1(∞)=0，I1(∞)=∞，所以B1=0，A2=0。于是式(5)變?yōu)椋?/p>

(8)

由于氣液界面沒有質(zhì)量交換，結(jié)合伯努利方程可知，在氣液界面的運(yùn)動學(xué)邊界條件為：

(9)

由氣液界面的法向應(yīng)力連續(xù)可知，動力學(xué)邊界條件為：

(10)

(11)

將式(1)、式(3)、式(8)代入式(9)可以解得系數(shù)A1、A0、B0、B2，再將擾動方程(3)、式(1)代入動力學(xué)邊界條件式(10)和式(11)并消去η1,0和η2,0，便得到同軸氣體作用下錐形液膜的色散方程(12)。

(DV0kρl+NV2ρg2)-2(CV0kρl+MV1ρg1)·

(12)

其中：

Λ=k{I1[k(a+h)]K1(ka)-I1(ka)K1[k(a+h)]}

式(12)即為描述小擾動隨時空發(fā)展變化的色散方程D(k,ω)=0。

2 分析與討論

2.1 模型驗證

對于離心式噴嘴，錐形液膜內(nèi)側(cè)和外側(cè)氣體均靜止，且內(nèi)、外側(cè)氣體密度相同，即有：

(13)

將式(13)代入色散方程(12)可以得到錐形液膜在靜止氣體中失穩(wěn)破碎的色散方程：

C4ω4+C3ω3+C2ω2+C1ω+C0=0

(14)

式中：

這與Fu等[1]推導(dǎo)得到的錐形液膜色散方程形式相同，從而驗證了同軸氣體作用下錐形液膜色散方程的正確性。

2.2 色散方程求解

在真實的液膜表面，實際擾動的幅值同時隨時間和空間變化，因此，色散方程的數(shù)值分析又分為時間穩(wěn)定性分析、空間穩(wěn)定性分析和時空穩(wěn)定性分析。時間穩(wěn)定性分析和空間穩(wěn)定性分析可以判斷流動是否線性不穩(wěn)定，時空穩(wěn)定性分析可以進(jìn)一步分析不穩(wěn)定是絕對不穩(wěn)定還是對流不穩(wěn)定。由于韋伯?dāng)?shù)較高時空間穩(wěn)定性分析的結(jié)果與時間穩(wěn)定性分析的結(jié)果趨于一致[13]，采用時間穩(wěn)定性分析方法分析同軸氣體作用下錐形液膜的線性穩(wěn)定性。

由于絕對不穩(wěn)定只發(fā)生在液膜速度較小的情況下(對于環(huán)形液膜，Chauhan[13]發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)液膜速度小于1.77 m/s時流動才是絕對不穩(wěn)定的)，而離心式噴嘴出口液膜速度較大，如果錐形液膜是線性不穩(wěn)定的則一定是對流不穩(wěn)定的。

2.2.1 離心式噴嘴參數(shù)計算

在色散方程求解過程中還需要知道噴嘴出口液膜厚度h0、噴嘴出口液膜內(nèi)徑a0、噴霧半錐角β和液膜運(yùn)動速度V0。采用康忠濤[14]提出的離心式噴嘴噴霧參數(shù)預(yù)估模型：

(15)

其中，h0為噴嘴出口液膜厚度，D0為噴嘴出口直徑，R0為噴嘴出口等直段半徑，L0為噴嘴長度，φ為修正的噴嘴出口有效截面系數(shù)，Va為噴嘴出口液膜軸向速度，V0為液膜運(yùn)動合速度。

從上述模型可以看出，噴嘴出口參數(shù)與噴嘴的結(jié)構(gòu)和工況參數(shù)有關(guān)。這里采用一個已知流量系數(shù)Cd=0.27的離心式噴嘴，噴嘴結(jié)構(gòu)參數(shù)為D0=4.7 mm，L0=40.05 mm，Ds=10.2 mm，Ls=10.2 mm，Rt=1 mm，θs=90°。其中，Ds為旋流室直徑，Ls為旋流室長度。

圖3 噴注壓降對噴嘴出口液膜厚度和 噴霧錐角的影響Fig.3 Effects of pressure drop on the film thickness at the injector exit and spray cone angle

該離心式噴嘴出口液膜厚度和噴霧錐角隨噴注壓降的變化曲線如圖3所示。從圖中可以看出，隨著噴注壓降的增大，噴嘴出口液膜厚度逐漸減小，從1230 μm減小到920 μm。與液膜厚度變化趨勢相反，噴霧錐角隨著噴注壓降的增大而增大，從52°增加到78°。相同工況下液膜的軸向速度和合速度在圖4中給出。隨著噴注壓降的增大，噴嘴出口液膜軸向速度從4.94 m/s增大到19.13 m/s，與之對應(yīng)的合速度從5.51 m/s增加到24.70 m/s。合速度的增長快于軸向速度，是因為噴注壓降的增大使得噴霧錐角增大。

圖4 噴注壓降對噴嘴出口液膜合速度和 軸向速度的影響Fig.4 Effects of pressure drop on the resultant velocity and axial velocity of the liquid film

2.2.2 環(huán)縫氣流參數(shù)計算

對于氣液同軸離心式噴嘴，求解色散方程還需要知道錐形液膜外側(cè)氣體速度，如圖5所示。

圖5 環(huán)縫氣流示意圖Fig.5 Schematic of annular gas flow

在火箭發(fā)動機(jī)燃燒室的高溫高壓條件下，噴嘴出口處氣流速度通常為亞聲速，向下游運(yùn)動過程中氣體進(jìn)一步膨脹減速。為了簡化分析，假設(shè)氣流密度ρg2在噴嘴出口下游保持不變，氣體膨脹角βg2保持不變。在噴嘴出口下游液膜半徑為a處氣體速度V2可以由質(zhì)量守恒定律計算得到。

(16)

式中，V20為噴嘴出口的氣流速度，De,o為噴嘴出口處氣體環(huán)縫的等效直徑，De,a為噴嘴下游液膜半徑為a處氣體流動的等效直徑。

(17)

(18)

式(18)中，βg為等效的圓柱氣體射流噴注時的膨脹角。Rogers等[15]研究了氫氣和天然氣的噴注結(jié)構(gòu)，在試驗中測量得到自由射流的膨脹角在20°～28°范圍內(nèi)波動。這里取βg=24°。

2.3 同軸氣體對表面波發(fā)展過程的影響

不同氣體噴注速度下表面波增長率隨頻率變化的曲線如圖6和圖7所示。從圖中可以看出，對于每個環(huán)縫氣體速度，均存在一個表面波增長率最大的頻率，這個頻率對應(yīng)的表面波發(fā)展最快，最終主導(dǎo)液膜的破碎成為主導(dǎo)表面波。從圖中可以提取主導(dǎo)表面波的頻率和增長率隨噴注速度的變化情況，如圖8和圖9所示。從圖中可以看出，當(dāng)氣流速度小于37.5 m/s時，隨著氣體噴注速度的增加，主導(dǎo)表面波頻率和增長率都呈減小趨勢，這表明氣體速度從零逐漸增加時對表面波的發(fā)展

(a) 正弦模式 (a) Sinuous mode

(b) 曲張模式 (b) Varicose mode圖6 同軸氣體噴注速度較低時表面波增長率 隨頻率的變化關(guān)系(ΔPl=0.4 MPa)Fig.6 Growth rates of surface waves with the increase of disturbance frequency when the velocity of gas flow is low(ΔPl=0.4 MPa)

呈現(xiàn)不利影響。因為氣體噴注速度的增加會使得氣液之間的速度差減小，氣液相互作用減弱。Ibrahim[16]也發(fā)現(xiàn)環(huán)形液膜表面波增長率隨外側(cè)氣體速度增加呈現(xiàn)先減小后迅速增加的趨勢，外側(cè)氣體速度存在一個臨界值。從圖8中還可以看出，不論是正弦模式還是曲張模式，當(dāng)氣體噴注速度超過一個臨界值后主導(dǎo)表面波頻率都存在一個跳躍。這個參數(shù)跳躍可以從圖7中看出，當(dāng)氣體噴注速度V20=39 m/s時，液膜表面存在增長率基本相同，頻率一大一小的兩個主導(dǎo)表面波。隨著氣體噴注速度的增加，液膜逐漸由“小頻率”表面波主導(dǎo)跳躍到“大頻率”表面波主導(dǎo)。當(dāng)氣體噴注速度超過臨界值后，進(jìn)一步增加氣體噴注速度，正弦模式主導(dǎo)表面波頻率逐漸增加，而曲張模式主導(dǎo)表面波頻率逐漸減小，這個變化趨勢從圖7中可以得出。雖然兩種模式的主導(dǎo)表面波頻率在氣體速度超過臨界值后呈現(xiàn)不同的變化規(guī)律，但是兩種模式的主導(dǎo)表面波增長率都隨著氣體速度

(a) 正弦模式 (a) Sinuous mode

(b) 曲張模式 (b) Varicose mode圖7 同軸氣體噴注速度較高時表面波增長率 隨頻率的變化關(guān)系(ΔPl=0.4 MPa)Fig.7 Growth rates of surface waves with the increase of disturbance frequency when the velocity of gas flow is high(ΔPl=0.4 MPa)

的進(jìn)一步增加而增加。這表明當(dāng)氣體速度超過臨界值后進(jìn)一步增加氣體速度會增強(qiáng)氣液相互作用，促進(jìn)表面波的發(fā)展和液膜的失穩(wěn)破碎。

圖8 主導(dǎo)表面波頻率隨環(huán)縫氣體噴注 速度的變化關(guān)系(ΔPl=0.4 MPa)Fig.8 Dominant frequency of surface wave with the increase of gas flow velocity(ΔPl=0.4 MPa)

圖9 主導(dǎo)表面波增長率隨環(huán)縫氣體噴注 速度的變化關(guān)系(ΔPl=0.4 MPa)Fig.9 Dominant growth rate of surface wave with the increase of gas fow velocity(ΔPl=0.4 MPa)

2.4 同軸氣體對液膜破碎過程的影響

通過前面的分析可以得到液膜主導(dǎo)表面波的增長率ωs，若表面波振幅ηbu=η0eωsτbu時液膜破碎，那么液膜的破碎時間可以表示為：

τbu=ln(ηbu/η0)/ωs

(19)

根據(jù)液膜破碎時間可以計算液膜的破碎長度：

Lbu=Vaτbu=Valn(ηbu/η0)/ωs

(20)

圖10 液膜破碎長度和破碎時間隨環(huán)縫氣體噴注 速度的變化關(guān)系(ΔPl=0.4 MPa)Fig.10 Breakup length and breakup time of liquid film with the increase of gas flow velocity(ΔPl=0.4 MPa)

液膜破碎時表面波振幅ηbu與初始振幅η0之間的數(shù)值關(guān)系ln(ηbu/η0)需要由試驗給出，取ln(ηbu/η0)=2.5[1]。計算得到同軸氣體作用下錐形液膜的破碎時間和破碎長度如圖10所示。隨著氣體速度的增加，破碎長度和破碎時間都呈先增加后減小的趨勢。這進(jìn)一步驗證了前文得出的小氣體速度對霧化不利的結(jié)論。當(dāng)氣體噴注速度超過臨界值后破碎時間和破碎長度顯著減小，表明氣液相互作用得到顯著增強(qiáng)，即大氣體噴注速度對霧化過程有利。

3 結(jié)論

采用線性穩(wěn)定性分析方法對同軸氣體作用下的錐形液膜進(jìn)行時間穩(wěn)定性分析。推導(dǎo)出同軸氣體作用下錐形液膜的色散方程，該方程可用于分析氣液同軸離心式噴嘴和氣體中心式噴嘴中的液膜失穩(wěn)破碎過程。得到主要結(jié)論如下：

1)噴嘴出口液膜厚度隨著噴注壓降的增加而減小，噴霧錐角、液膜速度和軸向速度隨著噴注壓降的增加而增大；

2)同軸氣體作用下液膜由正弦模式的表面波主導(dǎo)，因為正弦模式的表面波增長率遠(yuǎn)大于曲張模式的表面波；

3)當(dāng)環(huán)縫氣體噴注速度較小時，增加氣體速度會減小氣液相對速度，從而減弱氣液相互作用，使得液膜主導(dǎo)表面波增長率和頻率減小、破碎時間和破碎長度增加；

4)當(dāng)環(huán)縫氣體速度超過一個臨界值后，液膜主導(dǎo)表面波增長率和頻率迅速增加，破碎時間和破碎長度迅速減小。