基于不完全信道狀態(tài)信息的多用戶MIMO中繼系統(tǒng)預(yù)編碼算法

陳小敏 方 竹 胡續(xù)俊 朱秋明 陳 兵

（1.南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，南京，211106；2.南京航空航天大學(xué)江蘇省物聯(lián)網(wǎng)與控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京，211106）

引 言

多輸入多輸出(Multiple-input multiple-output,MIMO)技術(shù)可以在不增加帶寬的前提下成倍地提升系統(tǒng)的容量和頻譜利用率[1]。將中繼運(yùn)用到MIMO系統(tǒng)中并結(jié)合預(yù)編碼技術(shù)，能夠在提高系統(tǒng)吞吐量同時(shí)增加無線網(wǎng)絡(luò)的覆蓋范圍。將現(xiàn)有的MIMO和中繼等無線通信技術(shù)進(jìn)行融合，進(jìn)一步挖掘其潛在優(yōu)勢(shì)是當(dāng)前5G技術(shù)的熱點(diǎn)內(nèi)容。目前為止，針對(duì)單用戶MIMO中繼系統(tǒng)，國內(nèi)外學(xué)者分別以最大化信道容量、服務(wù)質(zhì)量和最小均方誤差為準(zhǔn)則對(duì)其預(yù)編碼方案進(jìn)行了詳盡的研究。而多用戶MIMO中繼系統(tǒng)更契合實(shí)際場(chǎng)景應(yīng)用，成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。

基于多用戶MIMO中繼系統(tǒng)預(yù)編碼算法的研究可見文獻(xiàn)[2-8]。文獻(xiàn)[2]提出了以最小化發(fā)射功率，信干噪比(Signal to interference and noise ratio，SINR)為約束的預(yù)編碼設(shè)計(jì)方案。文獻(xiàn)[3]以最大化信道容量為準(zhǔn)則，發(fā)射功率為約束聯(lián)合設(shè)計(jì)預(yù)編碼。文獻(xiàn)[4]則將單用戶雙跳MIMO中繼系統(tǒng)擴(kuò)展至多用戶多跳MIMO中繼系統(tǒng)。文獻(xiàn)[5]分析了基于最小均方誤差（Minimum mean-squared error，MMSE）和服務(wù)質(zhì)量(Quality of service，QoS)準(zhǔn)則的多用戶MIMO中繼系統(tǒng)的預(yù)編碼設(shè)計(jì)方案。文獻(xiàn)[6]則采用臟紙編碼對(duì)多用戶中繼網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了研究，該方案采用矩陣變換性質(zhì)將原始預(yù)編碼設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為可用迭代注水算法解決的標(biāo)量變量問題，繼而可求得預(yù)編碼矩陣。然而，文獻(xiàn)[2-6]均假設(shè)信道狀態(tài)信息（Channel state information,CSI）完全已知。文獻(xiàn)[7]基于MMSE準(zhǔn)則在僅考慮信道估計(jì)誤差的情況下提出了聯(lián)合迭代算法。文獻(xiàn)[8-9]基于高斯馬爾科夫信道狀態(tài)信息誤差模型和最大化信漏噪比(Maximum signal to leakage and noise ratio，Max-SLNR)準(zhǔn)則，提出了一個(gè)自適應(yīng)的基站預(yù)編碼算法。文獻(xiàn)[10]則在考慮信道估計(jì)誤差和天線相關(guān)性的情況下對(duì)上行多用戶MIMO中繼系統(tǒng)進(jìn)行了預(yù)編碼算法設(shè)計(jì)，但沒有考慮信道反饋延遲。而對(duì)于實(shí)際MIMO中繼系統(tǒng)，由于信道估計(jì)方法的局限性以及反饋鏈路的時(shí)延性，信道反饋延遲很難避免。

本文綜合考慮信道中存在反饋延遲和估計(jì)誤差的情況，以改善系統(tǒng)的誤比特率性能為優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)上行多用戶MIMO中繼系統(tǒng)的預(yù)編碼算法進(jìn)行研究，以MMSE為優(yōu)化準(zhǔn)則，將求解發(fā)射端、中繼節(jié)點(diǎn)、接收端矩陣的復(fù)雜非凸問題分解為3個(gè)獨(dú)立的子優(yōu)化問題。發(fā)射端天線服從空間獨(dú)立分布，可以先確定發(fā)射端預(yù)編碼矩陣。中繼矩陣求解的凸優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為SDP問題，繼而采用CVX工具箱求解。接收端處理矩陣可利用線性搜索法求解。最后采用聯(lián)合迭代法聯(lián)合優(yōu)化各節(jié)點(diǎn)的預(yù)編碼矩陣。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提算法的有效性。

1 系統(tǒng)模型

考慮圖1中發(fā)射端存在K=ns個(gè)用戶的上行多用戶MIMO中繼系統(tǒng)。發(fā)射端在中繼的協(xié)助下向接收端發(fā)送信息，中繼節(jié)點(diǎn)和接收端分別具有nr和nd根天線，每個(gè)用戶配備單天線。

在第一個(gè)時(shí)隙內(nèi)，K個(gè)用戶同時(shí)發(fā)射信號(hào)至中繼節(jié)點(diǎn)，其中xk(k=1,2,…,K)為用戶k的發(fā)射信號(hào)矢量，令x=[xT1,…,xTK]T∈CK×1，協(xié)方差矩陣滿足Rx=ε[xxH]=IK,ε[·]表示期望值。發(fā)射端的預(yù)編 碼 矩 陣 為 B=diag(b1,b2,…,bns)∈ Cns×ns，若Ps為發(fā)射端的最大發(fā)射功率，則發(fā)射端滿足Tr(BxxHBH)=Tr(BBH)≤Ps的發(fā)射功率約束，Tr(·)表示矩陣的跡。中繼接收信號(hào)為

式中：H=[H1,H2,…,Hns]T∈ Cnr×ns為每個(gè)用戶到中繼節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的等效信道矩陣，nr是方差為的中繼端接收噪聲。

第二個(gè)時(shí)隙，中繼端將預(yù)編碼后的信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)至接收端，中繼轉(zhuǎn)發(fā)信號(hào)yr∈Cnr×1為

式中：F ∈ Cnr×nr為中繼節(jié)點(diǎn)處預(yù)編碼矩陣；yr滿足中繼功率約束條件Tr(yr)≤Pr，Pr為最大轉(zhuǎn)發(fā)功率。接收端信號(hào)yd∈Cnd×1可以表示為

式中：G ∈ Cnd×nr為中繼到接收端的信道矩陣，n∈Cnd×1是協(xié)方差矩陣為R= ε[n]=I的接收dnddnd端噪聲。接收端采用線性處理矩陣Q對(duì)其接收信號(hào)進(jìn)行恢復(fù)，最終恢復(fù)出發(fā)送信號(hào)的估計(jì)值可表示為

2 信道模型

由于信道估計(jì)方法的局限性和信道反饋鏈路的時(shí)延性客觀存在，實(shí)際的MIMO中繼通信系統(tǒng)中無法獲得理想信道狀態(tài)信息。本文考慮信道信息存在估計(jì)誤差，且信道信息反饋存在延遲情況。假設(shè)Hˉt為時(shí)刻t接收端對(duì)真實(shí)信道矩陣Ht的估計(jì)信道矩陣，則Ht為[11]

式 中 ：Eh∈ Cnr×ns為 Ht的 估 計(jì) 誤 差 矩 陣 ，其 元 素 服 從 ei,j～CN(0,)；的 元 素 服 從～CN(0,1-)；CN(0,σ2)表示均值為 0，方差為 σ2的復(fù)高斯分布。為接收端經(jīng)過時(shí)延為 τh的反饋鏈路反饋至發(fā)射端的信道估計(jì)矩陣，則信道估計(jì)矩陣及反饋延遲信道估計(jì)矩陣的關(guān)系如下[12]

根據(jù) Clarke功率譜，ρh為與時(shí)延有關(guān)的時(shí)間相關(guān)系數(shù)，ρh=(2πfdτh)[13]。fdτh為歸一化反饋延遲，J0代表第一類零階Bessel函數(shù)。Dh為元素滿足dij～CN(0,(1-)(1-ρh))的反饋延遲估計(jì)誤差矩陣。由式(5，6)可得，反饋延遲信道估計(jì)矩陣Hˉt-τ與真實(shí)信道矩陣Ht存在如下關(guān)系[14]

由于Eh與Dh相互獨(dú)立，令Σh=Eh+Dh，式(7)可以表示為

注意，式(8)雖然與式(6)形式相類似，但誤差矩陣Σh由Dh和Eh組成，其元素服從kij～CN(0,(1-)(1-ρ)+)。時(shí)刻t與時(shí)刻t-τh信道矩陣元素都服從同一復(fù)高斯分布，為推導(dǎo)方便將時(shí)間下標(biāo)省去，因此信道矩陣最終簡(jiǎn)化為

用H和G分別表示發(fā)射端到中繼和中繼到接收端的真實(shí)信道矩陣，記Σh=Eh+Dh，Σg=Eg+Dg，得到

式中：H 和 G 的元素分別滿足 hi,j～CN(0,1)和 gi,j～CN(0,1)，時(shí)間相關(guān)系數(shù)滿足 ρh=(2πfdτh)和ρg=(2πfdτg)。Dh和Dg分別為信道矩陣H和G對(duì)應(yīng)的反饋延遲誤差矩陣，Eh和Eg分別為對(duì)應(yīng)的估計(jì)誤差矩陣，Σh的元素服從 kij～CN(0,(1-)(1-ρh)+)，ΣG的元素服從 gij～CN(0,(1-)(1-ρg)+)[15]。

3 基于MMSE的約束優(yōu)化問題

根據(jù)最小均方誤差為設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，均方誤差函數(shù)可表示為

根據(jù)信道模型，有

式中

則均方誤差函數(shù)可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

需進(jìn)行優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為均方誤差MSE(B,F,Q)，將發(fā)射端與中繼節(jié)點(diǎn)處的功率作為約束，因此優(yōu)化問題可表示為

4 上行多用戶MIMO中繼系統(tǒng)的預(yù)編碼設(shè)計(jì)

本文將預(yù)編碼算法采用適當(dāng)?shù)木仃囎儞Q，將式(18)中求解發(fā)射端，中繼端，接收端矩陣的復(fù)雜非凸問題分解為3個(gè)獨(dú)立的子優(yōu)化問題，分別對(duì)其求解后采用聯(lián)合迭代法進(jìn)行優(yōu)化。

4.1 發(fā)射端預(yù)編碼矩陣設(shè)計(jì)

發(fā)射端的用戶服從獨(dú)立空間分布，則發(fā)射端矩陣B需滿足為對(duì)角矩陣，且滿足功率約束條件：Tr(BxxHBH)=Tr(BBH)≤Ps。假設(shè)每個(gè)用戶配置其最大功率，則

即可得到[16]

式中Ps為diag(P1,…,Pns)的對(duì)角陣。

4.2 中繼端預(yù)編碼矩陣設(shè)計(jì)

固定B和Q，可將優(yōu)化問題式(18)轉(zhuǎn)化為SDP半正定規(guī)劃問題以求解F[17]。由式(18)，該子問題可表述為

式(21)的優(yōu)化問題為含有單一約束條件的SDP問題。由數(shù)學(xué)性質(zhì)Tr(AHB)=vecT(A)vec(B)與vec(AXB)=(BH? A)vec(X)，有

式(21)中的子問題可采用如下轉(zhuǎn)化

式(26)中對(duì)應(yīng)參數(shù)為

當(dāng)引入對(duì)應(yīng)變量χ后，式(26)可以轉(zhuǎn)化為如下SDP問題

對(duì)式(34)的SDP問題采用CVX工具箱求解[18]，可得到中繼預(yù)編碼矩陣F。

4.3 接收端處理矩陣設(shè)計(jì)

這里采用線性搜索法求解接收端處理矩陣Q[16]。在此之前，需要先求得F。由中繼功率約束條件，求解F的子問題可以表示為

引入拉格朗日乘子λ后，式(35)的拉格朗日函數(shù)可表示為

由KKT條件有

聯(lián)立式(37—40)，可得F表達(dá)式為

由文獻(xiàn)[16]，引入線性系數(shù)η(η＞ 0)，用η-1Q代替Q，則F可表示為

?被定義為

將式(42)代入式(17)，可得

式中

借助線性搜索法求解該無約束最優(yōu)化問題[16]

線性搜索法的求解步驟如表1所示。

4.4 聯(lián)合迭代算法

以上可以看到發(fā)射端矩陣B，中繼轉(zhuǎn)發(fā)矩陣F，接收端處理矩陣Q相互關(guān)聯(lián)，下面采用聯(lián)合迭代設(shè)計(jì)算法，迭代更新求得 Bopt，F(xiàn)opt，Qopt，如表 2 所示。

由聯(lián)合迭代法的設(shè)計(jì)步驟，其收斂性需由以下兩點(diǎn)保證：

表1 線性搜索法Tab.1 Linear searching method

表2 上行多用戶MIMO中繼系統(tǒng)聯(lián)合迭代算法Tab.2 Jointiterative algorithm ofup-link multi-users MIMO relay system

(1)MSE(B(n),F(n),Q(n),β(n),η(n))為收斂序列。

(2)B(n),F(n)和 Q(n)收斂。

經(jīng)過i次迭代，得到MSE(B(i),F(i),β(i),η(i))，假定第i+1次迭代時(shí)有：當(dāng)F(i)固定時(shí)，滿足

即在第i+1次迭代中，B(i+1)為極值點(diǎn)。此外，均方誤差值的下界為零，因此該極值點(diǎn)為極小值點(diǎn)，所以MSE(B(i+1),F(i),β(i),η(i))≤ MSE(B(i),F(i),Q(i),β(i),η(i))，因此 MSE(B(i),F(i),Q(i),β(i),η(i))為單調(diào)遞減的收斂序列，F(xiàn)(i)收斂。同理，可證B(i)和Q(i)收斂。以上保證了該迭代算法的收斂性。另外，η的引入是為了方便預(yù)編碼矩陣的求解，對(duì)算法的收斂性以及系統(tǒng)的均方誤差和誤比特率性能均無影響。

5 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)給出不同CSI下本文預(yù)編碼方案的比特誤比特率仿真結(jié)果，并將該聯(lián)合迭代方法與放大轉(zhuǎn)發(fā)方案(即Ind)進(jìn)行性能對(duì)比[19]。仿真中，假設(shè)兩個(gè)時(shí)隙內(nèi)的信道都是瑞利平坦衰落信道(兩時(shí)隙內(nèi)信道狀態(tài)不變)，發(fā)射端對(duì)信號(hào)采用QPSK調(diào)制。發(fā)射端、中繼節(jié)點(diǎn)及接收端的天線數(shù)ns=nr=nd=4；中繼節(jié)點(diǎn)和接收端加性復(fù)高斯噪聲的方差分別為和；發(fā)射端到中繼端的信噪比為SNRsr=Ps/(ns)，中繼端到接收端的信噪比SNRrd=Pr/(nr)。信道參數(shù)定義為：歸一化反饋延遲fdτ=fdτh=fdτg；信道估計(jì)誤差==。最大迭代次數(shù)Niter=30，迭代門限值ξ=0.001。

圖2,3為固定信噪比SNRsr=25 dB時(shí)采用所提預(yù)編碼算法的誤比特率性能曲線。圖2為fdτ設(shè)置了對(duì)比，兩組對(duì)比參數(shù)分別為fdτ=0.01,=0.02和fdτ=0.03,=0.02。圖3為設(shè)置了對(duì)比，兩組對(duì)比的參數(shù)分別為fdτ=0.01=0.01和fdτ=0.01,=0.03。

圖2 =0.02時(shí)上行多用戶MIMO中繼系統(tǒng)誤比特率比較(SNRsr=25 dB)Fig.2BER performance comparisons with=0.02(SNRsr=25 dB)

圖3 fdτ=0.01時(shí)上行多用戶MIMO中繼系統(tǒng)的誤比特率比較(SNRsr=25 dB)Fig.3 BER performance comparisons with fdτ=0.01(SNRsr=25 dB)

當(dāng)固定上行信道信噪比SNRsr=25 dB時(shí)，系統(tǒng)比特誤比特率性能隨下行信道信噪比SNRrd的影響如4和圖5所示。圖4中參數(shù)分別設(shè)置為fdτ=0.01,=0.02和fdτ=0.03,=0.02。圖5中兩組對(duì)比的參數(shù)：fdτ=0.01,=0.01;fdτ=0.01,=0.03。

圖4 =0.02時(shí)上行多用戶MIMO中繼系統(tǒng)誤比特率比較(SNRrd=25 dB)Fig.4BER performance comparisons with=0.02(SNRrd=25 dB)

圖5 fdτ=0.01時(shí)多用戶MIMO中繼系統(tǒng)的誤比特率比較(SNRrd=25 dB)Fig.5 BER performance comparisons with fdτ=0.01(SNRrd=25 dB)

由圖2—5可以看到隨著fdτ和σ2Σ增大，系統(tǒng)BER逐漸減小，這是信道傳輸質(zhì)量變差所致。此外，本文預(yù)編碼方案的系統(tǒng)性能明顯好于對(duì)比的AF中繼方案。在高SNR域，隨著信道估計(jì)誤差和信道反饋延遲的增大，性能優(yōu)勢(shì)也越來越明顯。這是由于AF方案僅考慮發(fā)射端與接收端的線性處理，未在中繼對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)編碼，僅對(duì)信號(hào)做了放大轉(zhuǎn)發(fā)處理，而所提預(yù)編碼算法不僅綜合考慮了信道估計(jì)誤差及反饋延遲對(duì)中繼收發(fā)信號(hào)的影響，還對(duì)各節(jié)點(diǎn)進(jìn)行了聯(lián)合設(shè)計(jì)，因此性能要比中繼處未進(jìn)行預(yù)編碼的AF中繼方案表現(xiàn)優(yōu)異。

圖6和圖7為系統(tǒng)在不完全CSI條件下，本文方案與僅考慮部分信道信息方案的性能對(duì)比圖。以信噪比SNR=SNRsr=SNRrd作為橫軸，對(duì)比的性能為系統(tǒng)誤比特率。圖6固定一類信道參數(shù)fdτ，以估計(jì)誤差為對(duì)比，圖6的信道參數(shù)設(shè)置為fdτ=0.01,=0.02和fdτ=0.03,=0.02。圖7則以歸一化反饋延遲fdτ為對(duì)比，信道參數(shù)設(shè)置為fdτ=0.01,=0.01,fdτ=0.01,=0.03。

圖6 以fdτ作為參照的本文方案與僅考慮部分CSI方案的誤比特率比較(SNRsr=SNRrd)Fig.6 BER performance comparisons withfdτas reference and considering partial CSI(SNRsr=SNRrd)

圖7 以作為參照的本文方案與僅考慮部分CSI方案的誤比特率比較(SNRsr=SNRrd)Fig.7BER performance comparisons withas reference and considering partial CSI(SNRsr=SNRrd)

從圖6和圖7的仿真結(jié)果可以看到，無論采用哪組仿真參數(shù)，本文預(yù)編碼方案的系統(tǒng)性能表現(xiàn)都最優(yōu)異。這是由于所提方案充分考慮有限反饋系統(tǒng)中的量化信道模型和信道估計(jì)時(shí)的誤差，因此相比僅考慮了部分信道信息的對(duì)比方案表現(xiàn)要好。

6 結(jié)束語

針對(duì)不完全信道狀態(tài)信息的多用戶MIMO中繼系統(tǒng)，本文提出了基于MMSE準(zhǔn)則的預(yù)編碼設(shè)計(jì)方案。選用發(fā)射端配備多用戶的上行多用戶模型，采用適當(dāng)矩陣變換，將發(fā)射端，中繼節(jié)點(diǎn)，接收端矩陣求解的復(fù)雜非凸問題分解為3個(gè)獨(dú)立的子優(yōu)化問題。發(fā)射端服從獨(dú)立分布可先確定發(fā)射端預(yù)編矩陣，將中繼矩陣求解的凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為SDP半正定規(guī)劃問題，可以利用CVX工具箱求解。接收端處理矩陣可通過引入修正因子的線性搜索法求解。最后采用聯(lián)合迭代法得到各節(jié)點(diǎn)矩陣的最優(yōu)解。系統(tǒng)性能仿真結(jié)果表明，與對(duì)比方案相比，所提預(yù)編碼算法能獲得更優(yōu)的系統(tǒng)性能。與僅考慮部分CSI的方案相比，所提預(yù)編碼算法能獲得更低的誤比特率。