關(guān)于單位“1”教學價值的幾點思考

王慶祎 王超

[摘 要]在解決分數(shù)問題時，單位“1”的價值無可取代。多數(shù)版本的教材都注重強調(diào)單位“1”在解決分數(shù)問題中的作用。教學單位“1”就是教學正向思維，對學生的學習有承前啟后的作用，有助于學生學習更復雜的數(shù)學知識。

[關(guān)鍵詞]分數(shù)；單位“1”；方程；算術(shù)方法

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）11-0052-02

教學中，有的教師認為分數(shù)應(yīng)用題教學不需要教單位“1”，只要按照教材引導學生會列方程就行了；有的則認為方程方法優(yōu)于算術(shù)方法，因此不必溝通二者的聯(lián)系。分數(shù)應(yīng)用題到底有沒有必要教學單位“1”？對學生來說，認識單位“1”到底有多大難度？單位“1”在學生解決問題中到底扮演什么角色？有沒有教學的價值？下面，筆者結(jié)合教學經(jīng)驗談?wù)剬挝弧?”的幾點思考，與同行交流商榷。

一、單位“1”是什么

分數(shù)應(yīng)用題大致可分為兩類，一類是已知單位“1”，求單位“1”的幾分之幾是多少；另一類是已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”。但單位“1”的本質(zhì)是什么？通俗地說，單位“1”就是題目中數(shù)量之間比較的“標準”，在分數(shù)應(yīng)用題中，一道題一般只有一個比較標準，這個標準就是單位“1”。有了統(tǒng)一的標準，數(shù)量之間的比較才有了統(tǒng)一的尺度。

例如，有50千克蘋果，梨的質(zhì)量是蘋果的[45]，香蕉的質(zhì)量是梨的[14]，香蕉有多少千克？這道題中，數(shù)量比較的標準是50千克蘋果，即整體的單位“1”是50千克蘋果；至于香蕉的質(zhì)量是梨的[14]，則是把梨看作單位“1”，但這是在50千克蘋果這個單位“1”的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的“新標準”，它們本質(zhì)上是一致的。就像長度單位一樣，先規(guī)定1米的長度，把1米作為測量的統(tǒng)一標準，而后把1米平均分成10份，每份是1分米，分米又是一個新的測量標準。至于在分米的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的厘米，也是以米為基礎(chǔ)的。

教學的至高境界是能做到深入淺出，面對不同層次的學生，教師通過打比方把抽象的問題通俗化、形象化，使教學內(nèi)容變得簡單易懂。在教學單位“1”的概念時，如果能通過打比方通俗地告訴學生單位“1”就是題目中數(shù)量比較的標準，讓學生從本質(zhì)上理解單位“1”，捅破了這層窗戶紙，單位“1”就不再抽象了。

二、為什么需要教學單位“1”

多數(shù)版本教材都以單位“1”作為解決分數(shù)問題的重要依托，這樣的安排有著深層次的原因。單位“1”是學生解決分數(shù)問題思維的起點和支點。解決分數(shù)問題時，學生讀題后首先要解決的就是找到題目中的單位“1”，即以哪個量作為比較的標準。找到了單位“1”， 解決問題也就有了抓手。

例如，有一根繩子，第一次剪去[15]，第二次剪去余下的[15]，兩次相差2米，這根繩子原來長多少米？讀題后，先找到單位“1”——這根繩子原來的長度。用方程解法的話，可設(shè)這根繩子原來長x米，則第二次剪去余下的[15]，就是x的（1-[15]）的[15]。根據(jù)“兩次相差2米”，不難列出方程[15]x-[15]（1-[15]）x=2。如果用算術(shù)方法，考慮到第二次剪去的是這根繩子（單位“1”）的（1-[15]）的[15]，可求出第二次剪去這根繩子的幾分之幾，列式為（1- [15]）×[15]=[425]。相差的2米正好占這根繩子的[15] - [425]=[125]，那么這根繩子原來長2÷[125]=50（米）。

從上面的分析過程可以看出，不管是算術(shù)方法還是方程方法，單位“1”在解題過程中的重要性不可忽視，它既是學生思維的起點又是支點。單位“1”是解決分數(shù)問題的“牛鼻子”，抓住單位“1”，問題解決就會綱舉目張。

三、如何教學單位“1”

1.運用幾何直觀促進學生理解單位“1”

教學分數(shù)應(yīng)用題離不開線段圖，畫線段圖可以把抽象的數(shù)量關(guān)系變得簡明形象。教學時，教師可讓學生思考：題目中的單位“1”是誰？題目中的數(shù)量都跟單位“1”這個標準比，畫圖時肯定要先把標準畫出來，也就是說先畫標準量單位“1”，再畫比較量。在多次畫圖分析問題的基礎(chǔ)上，學生掌握了用線段圖或長方形直條表征分數(shù)應(yīng)用題的方法，在解決問題時，就會通過想象線段圖入手。不管是動手畫圖，還是直接想象，單位“1”都是學生思維、圖形表征的抓手。

2.溝通方程與算術(shù)方法的聯(lián)系

對于求單位“1”的教學，可先用方程解決，培養(yǎng)學生用方程解決問題的意識，為以后解決復雜問題積累經(jīng)驗，并與后續(xù)學習接軌并攏，接著，在方程思維的基礎(chǔ)上滲透算術(shù)方法。為降低思維難度，教學時可以讓學生先正向思考，再逆向思考。

例如，一個蘋果質(zhì)量的[58]是180克，這個蘋果重多少克？引導學生先根據(jù)題意正向思考，一個蘋果的質(zhì)量×[58]=180，再結(jié)合乘法各部分之間的關(guān)系逆向思考，求單位“1”（蘋果質(zhì)量）就用180÷[58]，即對應(yīng)數(shù)量除以對應(yīng)分率等于單位“1”。

方程思維給算術(shù)方法提供了很好的支撐，這樣的教學不至于把算術(shù)方法教學演變成機械記憶，順逆之間，學生對數(shù)量關(guān)系的理解具體而深刻，兩種方法相互貫通、相互融合，相得益彰。

3.方程和算術(shù)方法各有優(yōu)勢

面對求單位“1”的問題，運用正向思維找出等量關(guān)系再列出方程，在一定程度上降低了思維難度，尤其是面對復雜的數(shù)學問題時，方程的優(yōu)越性尤為突出。但大多數(shù)學生不愿意用方程，他們覺得用方程要寫解設(shè)，且解方程的過程比較麻煩。在充分理解的基礎(chǔ)上，學生根據(jù)方程的思路倒推，舍去了方程中很多繁雜的東西，直接用算術(shù)方法解決問題，充分體現(xiàn)了學生追求簡潔、刪繁就簡的認知心理。

算術(shù)思維是逆向思維，如果把方程和算術(shù)方法比作走路，那么方程思維就是向前走，而算術(shù)思維就是倒著走。向前走難度小，倒著走難度大，毋庸置疑。既然這樣，學生為什么還偏好于算術(shù)方法呢？原因在于，小學數(shù)學問題簡單，這時逆向思維就相當于只倒著走幾步，完全沒有問題。但如果路程遠了、道路坎坷了，倒著走就不那么容易了。在教學單位“1”時，很多教師會不自覺地總結(jié)一些方法。比如，“對應(yīng)數(shù)量除以對應(yīng)分率等于單位‘1”。如果這是建立在學生理解數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上的話完全可以，但如果是機械記憶，就會限制學生思維發(fā)展。其實，方程與算術(shù)方法各有千秋，并無優(yōu)劣之分。如“果園里有桃樹300棵，是蘋果樹的[34]，梨樹是蘋果樹的[35]。梨樹有多少棵”這道題就需要先求單位“1”，再求單位“1”的幾分之幾是多少，比較適合用算術(shù)方法。

分數(shù)應(yīng)用題到底用不用強調(diào)單位“1”，可能是仁者見仁智者見智。但筆者認為，一切教學活動都應(yīng)服務(wù)于學生的學，以促進學生更簡單、高效地學習為目標，任何脫離學生實際的創(chuàng)新都將成為無本之木、無源之水。

（責編 李琪琦）