基于字典訓(xùn)練的Bregman迭代地震數(shù)據(jù)重建

(東北石油大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院， 大慶 163000)

0 引言

目前，隨著國(guó)內(nèi)外油氣勘探技術(shù)的不斷進(jìn)步，地質(zhì)勘探技術(shù)逐漸難以滿足現(xiàn)在的地質(zhì)勘探的需求。在石油工業(yè)日漸成熟的過(guò)程中，勘探的難度也不斷增大，探測(cè)地區(qū)的客觀環(huán)境變得日益復(fù)雜，在各種因素的影響情況下，將導(dǎo)致地震數(shù)據(jù)不規(guī)則、不完整，使得勘探得到的地震數(shù)據(jù)的道缺失現(xiàn)象相對(duì)增多，這些問(wèn)題對(duì)地震數(shù)據(jù)的后續(xù)處理與解釋造成不利影響，給油氣藏位置的判斷增加難度。傳統(tǒng)的地震數(shù)據(jù)重建方法為奈奎斯特Nyqusit采樣定理它要求采樣頻率一定要在信號(hào)帶寬的2倍以上，而這種方法使勘探成本的增加。為了解決這個(gè)問(wèn)題，需要尋找更加適合地震數(shù)據(jù)的重建算法，對(duì)地震數(shù)據(jù)進(jìn)行規(guī)則重建，得到精度較高、更加完整的地震數(shù)據(jù)，以降低地震勘探過(guò)程的成本。然而隨著信號(hào)重建技術(shù)的日益進(jìn)步，Donoho、Emmanuel Candès與Terence Tao等人提出壓縮感知理論，該理論為信號(hào)處理提供了全新的研究方向。壓縮感知理論一般分為稀疏變換、構(gòu)造采樣矩陣與信號(hào)重建3個(gè)部分，研究領(lǐng)域?qū)ο∈璞硎竞椭亟ㄋ惴H為重視，在稀疏表示研究中Mallat、Zhang二人構(gòu)造了一種新的稀疏分解，將壓縮感知理論框架與冗余字典相結(jié)合，取得了進(jìn)一步的發(fā)展。隨后Aharon等人將K-means聚類算法改進(jìn)為K-SVD算法，但這類方法要求相對(duì)較多的計(jì)算量與較大的存儲(chǔ)空間。為了完善現(xiàn)有的重建算法和壓縮感知理論框架，還需要對(duì)冗余字典類方法進(jìn)行更多的研究。在重建算法研究方面，Tropp和Gilbert提出的正交匹配追蹤算法[1]不僅提高迭代收斂的速度，且能得到較好的重建效果；BP算法為求得全局最優(yōu)解會(huì)進(jìn)行窮舉運(yùn)算，重建精度和穩(wěn)定性好，能夠解決夾帶的假頻問(wèn)題，但本身算法的復(fù)雜度導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)。對(duì)此在國(guó)內(nèi)也開(kāi)展了一些研究，如哈爾濱工業(yè)大學(xué)的張鍵，趙德斌提出了一種基于分離 Bregman 迭代方法求解協(xié)同稀疏模型正則化的圖像壓縮感知重建算法，能夠在有效地刻畫圖像的局部平滑性和非局部自相似性的同時(shí)，獲得更高質(zhì)量的重建效果[2]。總體來(lái)說(shuō)，國(guó)內(nèi)在壓縮感知的研究方面還需要繼續(xù)進(jìn)行，大多是基于各種理論的應(yīng)用。目前仍需開(kāi)發(fā)低復(fù)雜度、高壓縮率、高重建度的實(shí)用算法。

為了解決由地震數(shù)據(jù)的道缺失所導(dǎo)致的問(wèn)題，就需要對(duì)地震數(shù)據(jù)重建進(jìn)行深入的研究。本文根據(jù)壓縮感知理論，將K-SVD分解算法與Bregman迭代相結(jié)合，對(duì)地震數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真模擬試驗(yàn)，進(jìn)行地震數(shù)據(jù)的重建，得到完整地震數(shù)據(jù)。

1 基于K-SVD字典訓(xùn)練的Bregman迭代地震數(shù)據(jù)重建

1.1 Bregman 迭代方法

在圖像處理領(lǐng)域與壓縮感知理論框架中，選用適合重建過(guò)程的Bregman迭代算法，能使用稀疏信號(hào)更好地匹配原地震數(shù)據(jù)奠定基礎(chǔ)。起初是Osher等人將Bregman散度的概念引入到迭代正則化過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)了滿足平滑去噪需求的Bregman迭代。隨后Cai等人在研究基追蹤重建時(shí)，提出將不動(dòng)點(diǎn)迭代法[3]與Bregman迭代算法[4]相結(jié)合，提出了線性Bregman迭代算法，雖然線性Bregman迭代算法可以對(duì)傳統(tǒng)的BP問(wèn)題進(jìn)行求解，但是在信號(hào)分析、圖像處理等領(lǐng)域中，一般是針對(duì)l1范數(shù)最小化求解為式(1)。

(1)

為了解決上述形式的l1范數(shù)最小化求解問(wèn)題，Tom Glodstein等[3]結(jié)合Bregman迭代方法和算子分裂技術(shù)，于2008年提出了分裂Bregman迭代(Split-Bregman iteration, SBI)算法。分裂Bregman迭代算法的收斂速度更快，有著易于編程實(shí)現(xiàn)、易并行化等優(yōu)點(diǎn)。式(1)根據(jù)凸優(yōu)化理論可得而式(2)是無(wú)約束問(wèn)題最優(yōu)化，為式(2)。

(2)

(3)

u0←0,p0←0;

Fork=0,1,… do

(4)

fk+1←f+(fk-Auk)

(5)

利用式(4)和(5)對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行求解，可得到分裂Bregman迭代形式，即式(6)。

bk+1=bk+(Φ(uk)-dk)

(6)

由文獻(xiàn)[5]可知，分裂Bregman迭代算法的收斂速度更快，有著易于編程實(shí)現(xiàn)、易并行化等優(yōu)點(diǎn)。因此本文選擇分裂Bregman迭代算法來(lái)進(jìn)行地震數(shù)據(jù)的重建。

2.2 K-SVD字典訓(xùn)練

在2006年Michal Aharon等人[6]基于K-means算法，提出了K-SVD字典訓(xùn)練算法，在國(guó)內(nèi)唐剛、周亞同等已在地震數(shù)據(jù)重建上使用了K-SVD算法。本文提出的地震數(shù)據(jù)算法的插值循環(huán)中包含了K-SVD算法，它在整個(gè)稀疏變換中，不停的更新超完備字典中的列，在結(jié)束迭代時(shí)就得到了能更好的對(duì)圖像進(jìn)行描述的超完備字典。其另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)就是能夠與所有的分解算法結(jié)合，通過(guò)對(duì)超完備字典的更新，提高變換后圖像的稀疏性，加快了分解和收斂的速度?；贙-SVD的超完備字典訓(xùn)練算法具體流程描述如式(7)。

(7)

先利用式(2-7)，通過(guò)超完備字典D的迭代訓(xùn)練，如果有D的第k列向量為dk，則此時(shí)可以將式(7)轉(zhuǎn)化為式(8)。

(8)

(9)

(10)

1.3 地震數(shù)據(jù)重建的實(shí)現(xiàn)

本文在Bregman迭代重建算法框架中，使用K-SVD對(duì)聯(lián)合數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行初步的數(shù)據(jù)處理，每次迭代最后進(jìn)行插值處理，進(jìn)行多次迭代后得出重建的地震數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)說(shuō)明，使用本文算法能夠更有效的進(jìn)行地震數(shù)據(jù)的重建。具體實(shí)施步驟如下。

(1)字典初始化。本文使用處理過(guò)的地震數(shù)據(jù)作為聯(lián)合數(shù)據(jù)樣本，生成初始字典。

(2)稀疏變換。利用已知字典D，根據(jù)OMP算法和式(7)，求解每一個(gè)樣本yi的稀疏系數(shù)向量xi。

(3)字典更新。固定向量xi后更新字典D，對(duì)字典D的每一列向量(dk，k=1,2,3…)進(jìn)行更新，此時(shí)的具體分解形式可以用式(8)與(10)來(lái)表達(dá)。即式(11)。

(11)

利用上述方法更新D的每一列和稀疏編碼，當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到上限或者殘差足夠小的時(shí)候，得出新的字典。否則繼續(xù)迭代步驟(2)。

(5)對(duì)得到的結(jié)果進(jìn)行插值處理，如果未滿足迭代次數(shù)，則返回步驟(5)繼續(xù)迭代，若滿足迭代次數(shù)，則退出迭代過(guò)程并輸出地震數(shù)據(jù)重建結(jié)果。

2 地震數(shù)據(jù)重建實(shí)驗(yàn)及分析

本文使用的地震數(shù)據(jù)如圖1所示。

(a) 地震數(shù)據(jù) A(b) 地震數(shù)據(jù) B

圖1 完整地震數(shù)據(jù)

為兩幅地震數(shù)據(jù)單炮記錄，總共128道數(shù)據(jù)，橫向?yàn)榈卣鸬垒S，縱向?yàn)闀r(shí)間軸，長(zhǎng)度為512。

對(duì)地震數(shù)據(jù)A和地震數(shù)據(jù)B進(jìn)行40%隨機(jī)道缺失采樣(即采樣率為60%)后，地震數(shù)據(jù)如圖2所示：

(a) 隨機(jī)道缺失的地震數(shù)據(jù)A(PSNR=20.789 4)(b) 隨機(jī)道缺失的地震數(shù)據(jù)B (PSNR=20.544 6)

圖2 采樣后的地震數(shù)據(jù)(采樣率為60%)

根據(jù)上節(jié)所敘述的原理及步驟，對(duì)地震數(shù)據(jù)A和地震數(shù)據(jù)B進(jìn)行重建的地震數(shù)據(jù)重建方法進(jìn)結(jié)果分析，如圖3所示。

(a) 重建后的地震數(shù)據(jù)A(PSNR=26.431 4)(b) 重建后的地震數(shù)據(jù)B(PSNR=25.311 6)

圖3 本文算法重建后的地震數(shù)據(jù)

4 總結(jié)

經(jīng)對(duì)Bregman迭代算法分析后，提出了改進(jìn)型的基于K-SVD的分裂Bregman迭代算法，在分裂Bregman迭代框架中，采用K-SVD算法進(jìn)行自適應(yīng)字典訓(xùn)練，進(jìn)一步提高了地震數(shù)據(jù)重建的準(zhǔn)確性。結(jié)合K-SVD的分裂Bregman迭代重建算法在重建地震數(shù)據(jù)的結(jié)果中，相對(duì)于道缺失的采樣地震數(shù)據(jù)，觀察其重建結(jié)果，發(fā)現(xiàn)兩張圖像PSNR的提升都在5左右通過(guò)實(shí)驗(yàn)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)說(shuō)明本文算法能夠更好的重建圖像的紋理，更精確的還原地震數(shù)據(jù)的原貌。