淺議利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題

張昱

摘 要 在日常生活中，我們經(jīng)常遇到諸如產(chǎn)量多少、利潤多少、用料多少、效率高低等問題，而這些問題我們稱之為生活中的優(yōu)化問題。數(shù)學中的導數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ?，我們利用這個工具，往往很方便解決這些優(yōu)化問題。

關(guān)鍵詞 生活 優(yōu)化 導數(shù)

導數(shù)是數(shù)學中一個重要的概念，它在日常生活、工作和科學研究中有著廣泛的應(yīng)用，當需要定量研究相對于自變量的函數(shù)變化時，比如：物體的運動速度，電流強度等參數(shù)，我們可以利用數(shù)學中的一個重要工具——導數(shù)來處理這些問題，如果要進行這些問題的優(yōu)化時，其中導數(shù)在這些解決方法或工具中顯得最方便、快捷。

1 生活中的優(yōu)化問題

1.1 優(yōu)化問題

在實際生活中，導數(shù)的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值或最小值問題，包括以下幾個方面：與幾何有關(guān)的最值問題； &與物理學有關(guān)的最值問題； 與經(jīng)濟中利潤及其成本有關(guān)的最值問題； o效率最值問題。

在經(jīng)濟學中，我們經(jīng)常用到邊際成本的概念：生產(chǎn)成本關(guān)于產(chǎn)量的導函數(shù)。邊際成本是這樣定義的：當產(chǎn)量為時，生產(chǎn)成本的增加速度。另一種意思表述為：當產(chǎn)量為時，每增加一個單位的產(chǎn)量，需要增加個單位的成本。

1.2 解決優(yōu)化問題的基本方法與思路

常用解決優(yōu)化問題的基本方法與思路又是怎樣的呢？首先是需要分析這些問題中有哪些變量，這些變量關(guān)系如何？然后建立合適的數(shù)學模型，也就是轉(zhuǎn)換用函數(shù)表示的數(shù)學問題，注意一定要確定函數(shù)的定義域。最后就是要通過解決數(shù)學模型來解決實際問題，當然解決方法有很多很多，而導數(shù)最實用、方便。具體路線見圖1。

2 解決生活中的優(yōu)化問題注意事項

利用導數(shù)解決優(yōu)化問題，其本質(zhì)上就是求函數(shù)的最大值或最小值，需要注意：

（1）當問題涉及多個變量時，應(yīng)該搞清楚這幾個變量的之間關(guān)系，然后想辦法建立這幾個變量之間的數(shù)學函數(shù)關(guān)系式；

（2）要注意數(shù)學函數(shù)關(guān)系式中自變量的取值范圍，也就是確定它的定義域，這一步非常關(guān)鍵；

（3）最后我們通過解答數(shù)學模型所得的結(jié)果，必須與我們所要解決生活優(yōu)化問題一致，不能失去它的實際意義。

3 利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題

利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟：

（1）首先建立數(shù)學模型，研究變量間的關(guān)系，確定自變量的取值范圍，列出函數(shù)關(guān)系式；

（2）然后令導數(shù)，可以得到所有實數(shù)根；

（3）將所有實數(shù)根代入函數(shù)得到各個根的函數(shù)值大小，與函數(shù)在定義域內(nèi)端點的函數(shù)值進行比較，從而確定函數(shù)的最大值或最小值，當然我們必須考慮這些最值在生活中的實際意義。

3.1 用料問題

某一農(nóng)民想利用自家現(xiàn)有的一面墻，利用籬笆圍成一個面積為100平方米的長方形圍場，如圖2所示，要使圍場所用的籬笆最節(jié)省，則這個圍場的長和寬應(yīng)該為多少米？

（2）由（1）知，

令，得，所以=64。

當時<0，在區(qū)間（0，64）內(nèi)單調(diào)遞減；

當時，在在區(qū)間（64，640）內(nèi)單調(diào)遞增，

所以在=64處取得最小值，此時，。

故需新建9個橋樁才能使最小。

用料最省、費用最低問題出現(xiàn)的形式多與幾何體有關(guān)，解題時根據(jù)題意明確哪一項指標最?。ㄍ獜膸缀误w的面積、體積入手），我們可以將該項指標表示為關(guān)于自變量的函數(shù)，在自變量的變化范圍內(nèi)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值。

3.3 利潤問題

為了適應(yīng)市場的不斷變化，某工廠為提高經(jīng)濟效益，現(xiàn)對現(xiàn)有的一條加工生產(chǎn)線進行升級改造，經(jīng)過調(diào)查研究測算，工廠產(chǎn)值的增加值與升級改造投資之間滿足函數(shù)關(guān)系式：，其中；為常數(shù)；，。工廠產(chǎn)值的增加值與升級改造投資的單位均為萬元。（已知） 求：

（1）工廠產(chǎn)值的增加值的表達式；

（2）工廠升級改造后利潤的最大值（保留一位小數(shù)）。

解：（1） 由條件可得解得：

則

（2），

則

令，則或，

當1≤x<5時，P'（x）<0，故P（x）在（1，5）內(nèi)是減函數(shù)；

當50，故P（x）在（5，50）內(nèi)是增函數(shù)；

當50

又∵（萬元），

P（1）=0.545（萬元）。

∴當x=50時，P（x）取最大值，（萬元）。

即該工廠升級改造后利潤P（x）的最大值為24.8萬元.

3.4 效率問題

假設(shè)W為消耗汽油量（單位：L），s為汽車行駛的路程（單位：km），g為汽油平均消耗率（即汽車平均每小時消耗的汽油量，單位：L/h），v為汽車的平均速度（單位：km/h）。

（1）汽油的使用效率含義是什么？

（2）若g與v之間有所示的函數(shù)關(guān)系：

，則汽油的使用效率最高時，汽車速度是多少（L/km）？

解：（1）我們一般定義汽油的使用效率為：消耗汽油量與汽車行駛距離之比，假設(shè)y為平均每千米消耗的汽油量，則?！捌偷氖褂眯省眴栴}就轉(zhuǎn)化為求平均每千米消耗的汽油量y的最小值。

（2）由題意，每千米汽油平均消耗量為，當且僅當，，即時，取得最小值。故汽油的使用效率最高時，汽車速度。

4 小結(jié)

通過前面分析與總結(jié)，我們將利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本方法歸納為如下：首先分析實際問題的各變量的關(guān)系，建立合適的數(shù)學模型，并確定函數(shù)自變量的定義域，從而根據(jù)數(shù)學模型來解決優(yōu)化問題。在這個解決問題的過程中，我們可以充分利用導數(shù)的特點，快速、正確地解決問題。我們必須注意的是，我們建立的數(shù)學模型中的自變量不一定是求導的最“佳”變量，我們可以采用換元的方法解決問題。當然，在實際問題中，常常得到定義域內(nèi)的根只有一個，無需與函數(shù)別的值比較，我們可以判斷該極值就是最值。

參考文獻

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