關(guān)于用留數(shù)定理計算實積分問題的教學(xué)研究

汪文帥

[摘 要]正確運用留數(shù)定理計算實積分就是要理解它的實質(zhì)并且在計算實積分的過程中構(gòu)造能夠求解的適當(dāng)?shù)姆e分路徑， 然而大量教材或者相關(guān)文獻(xiàn)長期有意無意地按照既定思維對某類問題選擇基本固定不變的積分路徑進(jìn)行求解， 大多數(shù)教師在教學(xué)中也沒有注意從思想上加以啟迪，這在一定程度上給學(xué)生以思維定式.該研究用例證的方法討論了用留數(shù)定理計算實積分過程中積分曲線的選擇方法， 從不同的角度體現(xiàn)了求解時選擇積分路徑的核心思想， 對進(jìn)一步開拓學(xué)生思維，使其能夠更為深刻地理解留數(shù)定理有積極的意義.

[關(guān)鍵詞]實積分;留數(shù)定理;積分曲線

[中圖分類號] O175.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2019）04-0106-03

留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)論的重要組成部分，其在理論物理、流體力學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用. 其中一個重要的應(yīng)用是計算某些實函數(shù)的積分，如在研究阻尼振動時的積分[1][0+∞sinxxdx]、研究光的衍射時的菲涅爾積分[2][0+∞sinx2dx]等，這些積分用實積分的方法計算幾乎是不可能的，但是轉(zhuǎn)化為復(fù)積分，利用留數(shù)定理計算就相對簡單了. 轉(zhuǎn)化最關(guān)鍵的是設(shè)法把實變函數(shù)的積分與復(fù)變函數(shù)的封閉曲線積分聯(lián)系起來，一般的做法是將定積分的積分區(qū)間作為復(fù)積分的封閉曲線（積分路徑）的一部分，利用留數(shù)定理計算復(fù)函數(shù)在圍線內(nèi)的奇點的留數(shù)，且要求在除定積分區(qū)間的其他積分曲線上，復(fù)函數(shù)的積分能夠求出.但是在具體的教學(xué)過程中，往往構(gòu)造容易求解的積分路徑， 然而大量教材[3-5]或者相關(guān)文獻(xiàn)[6-10]長期有意無意地在選擇相應(yīng)的積分路徑的過程中都大同小異，按照既定思維對某類問題選擇基本固定不變的積分路徑進(jìn)行求解.誠然， 在具體求解某些積分值時， 一種方法已經(jīng)足夠了.事實上， 我們知道， 用留數(shù)定理計算實積分的過程中，積分曲線的選取不會影響積分值， 這只是我們通過柯西積分公式以及留數(shù)定理所得出的結(jié)論， 然而對本部分的認(rèn)識如果能夠通過課本中的實例加以拓展驗證，則會達(dá)到事半功倍的效果. 但是在教學(xué)過程中，大多數(shù)教師也沒有注意從思想上加以啟迪，這在一定程度上給學(xué)生以思維定式. 這樣的教學(xué)情境必然會對學(xué)生掌握留數(shù)定理造成錯誤的認(rèn)識，讓學(xué)生誤認(rèn)為在用留數(shù)定理計算實積分的時候只能選取包含實軸的此類封閉曲線.

我們的要點是讓學(xué)生理解留數(shù)定理求解題目的本質(zhì)，單一的求解方法難以拓寬學(xué)生的思維， 達(dá)到培養(yǎng)其創(chuàng)新思維的目的. 為此， 本文用例證的方法討論了用留數(shù)定理計算實積分過程中積分曲線的選擇方法， 從不同的角度體現(xiàn)了求解過程中選擇積分路徑的核心思想， 對進(jìn)一步開拓學(xué)生思維，使其能夠更為深刻理解留數(shù)定理有積極的意義.