基于IOWA算子的多參數(shù)指數(shù)平滑模型組合預(yù)測(cè)

張貝貝，李靜文，楊亞楠

（北京信息科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京100192）

0 引言

事物是普遍聯(lián)系的，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)內(nèi)部各因素之間及它們同外部因素之間存在著錯(cuò)綜復(fù)雜的交互因果關(guān)系。對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的預(yù)測(cè)僅使用一種預(yù)測(cè)方法，往往導(dǎo)致信息不夠廣泛，可能會(huì)因?yàn)楹雎阅承┮蛩囟鴮?dǎo)致較大的預(yù)測(cè)誤差，難以進(jìn)行精確可靠的預(yù)測(cè)[1]。如果對(duì)同一預(yù)測(cè)問(wèn)題采用各種不同的預(yù)測(cè)方法，并加以適當(dāng)?shù)慕M合，則能夠充分地利用各種信息，達(dá)到分散預(yù)測(cè)風(fēng)險(xiǎn)、提高預(yù)測(cè)精度的目的，由此組合預(yù)測(cè)應(yīng)運(yùn)而生。Bates和Granger首次提出組合預(yù)測(cè)的概念[2]，即以某種加權(quán)平均的形式將各種不同的單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法進(jìn)行組合。組合預(yù)測(cè)模型較之單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型能夠更充分地反映各種預(yù)測(cè)樣本信息，目前如何有效提高預(yù)測(cè)精度是預(yù)測(cè)界的熱點(diǎn)問(wèn)題，權(quán)重系數(shù)的確定和集結(jié)算子的選擇一直是預(yù)測(cè)工作者研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

本文構(gòu)建的基于IOWA算子的組合預(yù)測(cè)模型不同于傳統(tǒng)的組合預(yù)測(cè)模型。傳統(tǒng)的組合預(yù)測(cè)模型中同一個(gè)單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在樣本區(qū)間上各個(gè)時(shí)點(diǎn)的加權(quán)系數(shù)是相同的。但是對(duì)于同一個(gè)單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法而言，不同時(shí)點(diǎn)的預(yù)測(cè)精度“時(shí)好時(shí)壞”，因而傳統(tǒng)的組合預(yù)測(cè)方法存在一定的缺陷。本文分別使用三種多參數(shù)指數(shù)平滑模型預(yù)測(cè)出觀測(cè)值在樣本區(qū)間的預(yù)測(cè)值，對(duì)每個(gè)單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在樣本區(qū)間上各個(gè)時(shí)點(diǎn)預(yù)測(cè)精度的高低按順序賦權(quán)，并分別建立以誤差平方和最小和以絕對(duì)誤差絕對(duì)值之和最小為準(zhǔn)則的新的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，進(jìn)而計(jì)算出樣本區(qū)間的預(yù)測(cè)值。最后通過(guò)對(duì)比預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)體系中的各個(gè)指標(biāo)，表明了組合預(yù)測(cè)模型的有效性。

1 單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型介紹

指數(shù)平滑模型中包含了單指數(shù)平滑模型、雙指數(shù)平滑模型和多參數(shù)指數(shù)平滑模型，多參數(shù)指數(shù)平滑模型包含Holter-Winter無(wú)季節(jié)模型、Holter-Winter季節(jié)加法模型、Holter-Winter季節(jié)乘法模型[3]。鑒于多參數(shù)指數(shù)平滑模型的線性趨勢(shì)及季節(jié)特性，本文使用三種多參數(shù)指數(shù)平滑模型分別對(duì)樣本區(qū)間的觀測(cè)值進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1.1 HW無(wú)季節(jié)模型

HW無(wú)季節(jié)模型[4]主要有兩個(gè)平滑系數(shù)α、β，取值范圍：（0≤α，β≤1），預(yù)測(cè)模型為：

式中：

如果t=T（最后一期），預(yù)測(cè)模型為：

其中，aT是截距，bT是斜率。

本文使用Eviews8.0軟件計(jì)算原始序列的HW無(wú)季節(jié)模型預(yù)測(cè)值，計(jì)算結(jié)果如下頁(yè)表1所示：

1.2 HW季節(jié)加法模型

HW季節(jié)加法模型主要有三個(gè)平滑系數(shù)α、β和γ，取值范圍：（0≤α,β,γ≤1），預(yù)測(cè)模型為：

式中：

表1 HW無(wú)季節(jié)模型預(yù)測(cè)結(jié)果

其中，s是季節(jié)周期長(zhǎng)度，月度數(shù)據(jù)，周期為12個(gè)月，即s=12；季度數(shù)據(jù)，周期為4個(gè)季度，即s=4。

如果t=T（最后一期），預(yù)測(cè)模型為：

其中，aT是截距，bT是斜率,cT是季節(jié)因子（季節(jié)指數(shù)）?？梢钥闯鏊麄兌际峭ㄟ^(guò)平滑得到的。

本文使用Eviews8.0軟件計(jì)算原始序列的HW季節(jié)加法模型預(yù)測(cè)值，計(jì)算結(jié)果如表2所示：

表2 HW季節(jié)加法模型預(yù)測(cè)結(jié)果

1.3 HW季節(jié)乘法模型

HW季節(jié)乘法模型[4]主要有三個(gè)平滑系數(shù)α、β和γ，取值范圍：（0≤α,β,γ≤1），預(yù)測(cè)模型為：

式中：

其中，s是季節(jié)周期長(zhǎng)度，月度數(shù)據(jù)，周期為12個(gè)月，即s=12；季度數(shù)據(jù)，周期為4個(gè)季度，即s=4。

如果t=T（最后一期），預(yù)測(cè)模型為：

其中，aT是截距，bT是斜率,cT是季節(jié)因子（季節(jié)指數(shù)）。

本文使用Eviews8.0軟件計(jì)算原始序列的HW季節(jié)乘法模型預(yù)測(cè)值，計(jì)算結(jié)果如下頁(yè)表3所示：

2 基于IOWA算子的組合預(yù)測(cè)

2.1 IOWA算子的概念

定義1[5]：設(shè)OWAW：Rm→R為m元函數(shù),T是OWAW有關(guān)的加權(quán)向量，并且滿足：

式中，bi是a1，a2，a3，…，am中按從大到小的順序排列的第i個(gè)大的數(shù)，則稱函數(shù)OWAW是m維有序加權(quán)平均算子，簡(jiǎn)記為OWA算子。

例如，設(shè)w1=0.3，w2=0.4，w3=0.2，w4=0.1則由定義1可得：

實(shí)際上，OWA算子是對(duì)m個(gè)數(shù)a1，a2，a3，…，am按從大到小的順序排序后的序列進(jìn)行有序加權(quán)平均，系數(shù)wi與ai的數(shù)值無(wú)關(guān)，而僅與ai的大小順序有關(guān)。

定 義 2[6]：設(shè)v3，a3>，…，為m個(gè)二維數(shù)組，令：

則稱函數(shù)IOWAW是由v1，v2，v3，…，vm所產(chǎn)生的m維誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子，簡(jiǎn)記為IOWA算子，vi稱為ai的誘導(dǎo)值，v-index(i)是v1，v2，v3，…，vm中按從大到小的順序排列的第i個(gè)大的數(shù)的下標(biāo)，W=(w1，w2，w3，…，wm)T是OWAW有關(guān)的加權(quán)向量，滿足i=1，2，3，…，m。

例如，設(shè)<8,3> ，<4,7>，<2,3>，<6,1>為4個(gè)二維數(shù)組，OWA的加權(quán)向量為：W1=0.4，W2=0.25，W3=0.15，W4=0.2

則由定義2可得：

由此可知，IOWA算子是對(duì)誘導(dǎo)值v1，v2，v3，…，vm按從大到小的順序排序后所對(duì)應(yīng)的a1，a2，a3，…，am中的數(shù)進(jìn)行有序加權(quán)平均，wi與數(shù)ai的大小和位置無(wú)關(guān)，而僅與其誘導(dǎo)值vi所在的位置有關(guān)。

表3 HW季節(jié)乘法模型預(yù)測(cè)結(jié)果

2.2 組合預(yù)測(cè)模型建立

式中：Ait是第i種預(yù)測(cè)方法在t時(shí)刻的預(yù)測(cè)精度指標(biāo)，顯然Ait∈(0，1)；xt是某一序列的觀測(cè)值，xit是第i種預(yù)測(cè)方法在t時(shí)刻的預(yù)測(cè)值，i=1，2，3，…，m；t=1，2，3，…，n。本文把預(yù)測(cè)精度Ait看成預(yù)測(cè)值xit的誘導(dǎo)值，因而第t時(shí)刻的m單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)精度和其對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)值就構(gòu)成了m個(gè)二維數(shù)組：＜a1t，x1t＞，＜a2t，x2t＞，＜a3t，x3t＞，…，＜amt，xmt＞，設(shè)W=(w1，w2，w3，…，wm)T是各種預(yù)測(cè)方法在組合預(yù)測(cè)中的OWA加權(quán)向量，將m中單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在t時(shí)刻的預(yù)測(cè)精度a1t，a2t，a3t，…，amt按從大到小的順序排列，設(shè)a-index(it)為第i個(gè)大的預(yù)測(cè)精度的下標(biāo)，根據(jù)定義2有：

則式（2）稱為由預(yù)測(cè)精度序列a1t，a2t，a3t，…，amt所產(chǎn)生的IOWA組合預(yù)測(cè)值。則n期總的組合預(yù)測(cè)誤差平方和S和n期總的絕對(duì)誤差絕對(duì)值之和D可表示如下：

因此，以誤差平方和最小為準(zhǔn)則的IOWA組合預(yù)測(cè)模型可表示如下：

以絕對(duì)誤差絕對(duì)值之和最小為準(zhǔn)則的基于IOWA組合預(yù)測(cè)模型可表示如下：

利用非線性規(guī)劃求解上述模型可以分別得出wi(i=1，2，…，m)的值，即組合預(yù)測(cè)中的OWA加權(quán)向量wi(i=1，2，…，m)使得組合預(yù)測(cè)總的誤差平方和或絕對(duì)誤差絕對(duì)值之和最小。

3 實(shí)證分析

本文選用中關(guān)村示范區(qū)月度累計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)測(cè)分析，缺失數(shù)據(jù)采用比例插補(bǔ)法補(bǔ)全[7]，搜集數(shù)據(jù)時(shí)間段為2014年3月到2017年4月，實(shí)際計(jì)算中使用的是指標(biāo)的同比增長(zhǎng)率，因而數(shù)據(jù)同比增長(zhǎng)率的長(zhǎng)度為2015年3月到2017年4月。本文對(duì)比分析組合預(yù)測(cè)模型與各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)指標(biāo)體系的各個(gè)指標(biāo)，并預(yù)測(cè)2017年5月至2017年9月五個(gè)月的中關(guān)村高新技術(shù)園區(qū)總收入。

3.1 單項(xiàng)模型預(yù)測(cè)結(jié)果

根據(jù)表1至表3的預(yù)測(cè)結(jié)果，并根據(jù)式（1）計(jì)算出上述三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度。如表4所示：

表4 單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)結(jié)果及其預(yù)測(cè)精度

本文三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型均取得較好的預(yù)測(cè)效果，其中，HW季節(jié)加法模型平均預(yù)測(cè)精度>HW季節(jié)乘法模型平均預(yù)測(cè)精度>HW無(wú)季節(jié)模型平均預(yù)測(cè)精度。

3.2 IOWA組合預(yù)測(cè)

本文選取三種多參數(shù)指數(shù)平滑模型進(jìn)行中關(guān)村高新技術(shù)園區(qū)總收入同比增速的組合預(yù)測(cè)。按式（2）計(jì)算IOWA組合預(yù)測(cè)值，具體計(jì)算過(guò)程如下所示：

同理：

3.2.1 誤差平方和最小準(zhǔn)則下的IOWA組合預(yù)測(cè)

將上述公式帶入式（3）中，可以得出誤差平方和最小準(zhǔn)則下最優(yōu)化模型：

其中xt(t=1，2，…，26)是序列的原始數(shù)據(jù)同比增速值，使用EXCEL中的規(guī)劃求解，或者利用MATLAB最優(yōu)化工具箱，可以得出誤差平方和最小準(zhǔn)則下的IOWA組合預(yù)測(cè)模型的最優(yōu)權(quán)系數(shù)為：

由此根據(jù)最優(yōu)權(quán)系數(shù)可以計(jì)算出誤差平方和最小準(zhǔn)則下的IOWA的組合預(yù)測(cè)模型在各個(gè)時(shí)期的組合預(yù)測(cè)結(jié)果，如表5所示。

3.2.2 絕對(duì)誤差絕對(duì)值之和最小準(zhǔn)則下的IOWA組合預(yù)測(cè)

將上述公式帶入式（4）中，可以得出誤差平方和最小準(zhǔn)則下最優(yōu)化模型：

同理，可以得出絕對(duì)誤差絕對(duì)值之和最小準(zhǔn)則下的IOWA組合預(yù)測(cè)的最優(yōu)權(quán)系數(shù)：w1=1，w2=0，w3=0

表5 誤差平方和最小準(zhǔn)則下的IOWA的組合預(yù)測(cè)結(jié)果

得出的最優(yōu)權(quán)系數(shù)表明，各個(gè)時(shí)點(diǎn)的組合預(yù)測(cè)值為預(yù)測(cè)精度最大者所對(duì)應(yīng)的單項(xiàng)預(yù)測(cè)值。由此根據(jù)最優(yōu)權(quán)系數(shù)可以計(jì)算出絕對(duì)誤差絕對(duì)值之和最小準(zhǔn)則下的IOWA的組合預(yù)測(cè)模型在各個(gè)時(shí)期的組合預(yù)測(cè)結(jié)果，如表6所示：

表6 絕對(duì)誤差絕對(duì)值之和最小準(zhǔn)則下的IOWA的組合預(yù)測(cè)結(jié)果

3.3 模型預(yù)測(cè)對(duì)比

3.3.1 兩準(zhǔn)則下IOWA組合預(yù)測(cè)結(jié)果分析

鑒于數(shù)學(xué)期望反應(yīng)數(shù)據(jù)集平均取值大小，標(biāo)準(zhǔn)差反應(yīng)一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度，兩者結(jié)合能較好地判斷模型預(yù)測(cè)結(jié)果的有效性。本文分別計(jì)算兩準(zhǔn)則下模型預(yù)測(cè)精度序列的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算公式如下所示：

其中，E(A)為預(yù)測(cè)精度序列的數(shù)學(xué)期望；e(A)為預(yù)測(cè)精度序列的標(biāo)準(zhǔn)差；Qt為預(yù)測(cè)精度序列的離散概率分布；At為t時(shí)點(diǎn)預(yù)測(cè)精度。由于對(duì)預(yù)測(cè)精度序列的離散概率分布的先驗(yàn)信息不確知時(shí)[8]，可取因此本文中由式（5）和式（6），可以得出兩準(zhǔn)則下基于IOWA組合預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)精度的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差，如表7所示：

表7 兩準(zhǔn)則下IOWA的組合預(yù)測(cè)精度指標(biāo)

比較兩準(zhǔn)則下預(yù)測(cè)精度序列的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果可知，兩者數(shù)學(xué)期望基本相同，而誤差平方和最小準(zhǔn)則下預(yù)測(cè)精度序列的標(biāo)準(zhǔn)差小于絕對(duì)誤差絕對(duì)值最小準(zhǔn)則下預(yù)測(cè)精度序列的標(biāo)準(zhǔn)差。因此，誤差平方和最小準(zhǔn)則下的IOWA組合預(yù)測(cè)模型更為有效。

3.3.2 組合預(yù)測(cè)與各單項(xiàng)預(yù)測(cè)結(jié)果分析

由上述分析可知，誤差平方和最小準(zhǔn)則下預(yù)測(cè)效果整體“好于”絕對(duì)誤差絕對(duì)值之和最小準(zhǔn)則下預(yù)測(cè)效果，因此本文在此基礎(chǔ)上又具體分析了以誤差平方和最小為準(zhǔn)則建立的組合預(yù)測(cè)模型與各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。由表5中的組合預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，可以畫(huà)出中關(guān)村示范區(qū)總收入同比增速和組合預(yù)測(cè)同比增速的擬合圖，如圖1所示，同時(shí)可以畫(huà)出中關(guān)村高新技術(shù)園區(qū)總收入和IOWA組合預(yù)測(cè)總收入的擬合圖，如圖2所示：

圖1 組合預(yù)測(cè)同比增速擬合圖

由模型的計(jì)算過(guò)程可知，中關(guān)村高新技術(shù)園區(qū)總收入同比增速預(yù)測(cè)值是通過(guò)IOWA組合預(yù)測(cè)模型計(jì)算獲得，從圖1可以看出同比增速預(yù)測(cè)值和實(shí)際值是非常接近的。中關(guān)村高新技術(shù)園區(qū)總收入的IOWA組合預(yù)測(cè)值是通過(guò)總收入同比增速的IOWA組合預(yù)測(cè)值計(jì)算獲得，從圖2可以看出總收入的預(yù)測(cè)值和實(shí)際值非常接近，兩者的擬合度很高。

圖2 組合預(yù)測(cè)總收入擬合圖

為了更加明確地反映基于IOWA的組合預(yù)測(cè)模型與三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型之間的優(yōu)劣，本文計(jì)算了各模型在觀測(cè)樣本各個(gè)時(shí)期的平均相對(duì)誤差的絕對(duì)值，具體的計(jì)算結(jié)果如表8所示：

表8 各時(shí)期的平均相對(duì)誤差絕對(duì)值 （單位：%）

從表8中可以看出，基于IOWA的組合預(yù)測(cè)模型在各個(gè)時(shí)期的平均相對(duì)誤差絕對(duì)值（0.70%）均小于三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型，能有效降低預(yù)測(cè)誤差，達(dá)到較好預(yù)測(cè)效果。

為了更精確地反映基于IOWA的組合預(yù)測(cè)模型與各單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的整體預(yù)測(cè)效果，本文同時(shí)選取SSE、MAE、MAPE、MSE、RMSE、MSPE等預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)指標(biāo)作為評(píng)價(jià)組合預(yù)測(cè)模型與各單行預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)好壞的依據(jù)，其中xi為i時(shí)間的實(shí)際值，xi為i時(shí)間的預(yù)測(cè)值。

通過(guò)比較評(píng)價(jià)指標(biāo)體系的各項(xiàng)計(jì)算值，可以明顯地看出基于IOWA組合預(yù)測(cè)相對(duì)于其他三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的優(yōu)勢(shì)。計(jì)算結(jié)果如表9所示：

表9 預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)指標(biāo)體系

從表9計(jì)算數(shù)據(jù)來(lái)看，本文使用的基于IOWA的組合預(yù)測(cè)模型的各項(xiàng)誤差指標(biāo)值均明顯低于其他三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的誤差計(jì)算結(jié)果，從而表明本文使用的基于IOWA的組合預(yù)測(cè)模型要優(yōu)于HW無(wú)季節(jié)、HW季節(jié)加法和HW季節(jié)乘法單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型，從表1和表5可以得出，基于IOWA組合預(yù)測(cè)模型的平均預(yù)測(cè)精度相對(duì)于HW無(wú)季節(jié)模型、HW季節(jié)加法模型和HW季節(jié)乘法模型分別提高14.73%、7.99%和9.32%，模型的預(yù)測(cè)精度明顯提高。

根據(jù)文獻(xiàn)[9] 中提及的預(yù)測(cè)連貫性原則，可以計(jì)算樣本在未來(lái)區(qū)間[n+1,n+2,……] 的預(yù)測(cè)值。計(jì)算公式如下所示：

t=n+1，n+2，n+3，…；wi(i=1，2，3，…，m)為IOWA組合預(yù)測(cè)最優(yōu)權(quán)系數(shù)。

IOWA組合預(yù)測(cè)值在預(yù)測(cè)區(qū)間[n+1,n+2,…] 上的誘導(dǎo)值，即為預(yù)測(cè)精度序列ait(i=1，2，…，m，t=n+1，n+2，…)。即若要對(duì)未來(lái)k期進(jìn)行預(yù)測(cè)，則預(yù)測(cè)區(qū)間上n+k期的預(yù)測(cè)精度根據(jù)最近k期的擬合平均精度確定，即：

因而，可以得出中關(guān)村高新技術(shù)園區(qū)2017年5月至2017年9月的預(yù)測(cè)值，如表10所示：

表10 未來(lái)5期預(yù)測(cè)值