算子的外積表示在線性代數(shù)教學中的應用

席政軍

摘要：本文首先給出非正交基下線性算子的外積表示，其次通過引入Gram矩陣給出線性算子在非正交基下矩陣表示和外積表示的系數(shù)矩陣之間的關系，再次討論了非正交基下恒等算子的完備性關系，最后給出了幾類線性算子的運算。

關鍵詞：線性算子；非正交基；矩陣表示

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2019）17-0220-03

線性算子或者線性變換是線性代數(shù)中非常重要的一個概念，在有限維向量空間上，線性算子和矩陣是等價的概念。線性算子是抽象的概念，而矩陣相對容易理解。選擇合適的基，給定的線性算子的矩陣表示就可能會簡單，甚至出現(xiàn)對角化的形式。特別是在Hilbert空間中，一般選取標準正交基，進而利用外積來表示線性算子，相應的系數(shù)正好是線性算子的矩陣表示。此時，線性算子的許多運算就相對比較簡單，比如線性算子的復合就直接用這種外積表示的線性算子的乘積直接計算可得。但是在許多的線性代數(shù)教材中，線性算子的矩陣表示并沒有依賴于標準正交基給出，而且沒有給出非正交基下線性算子的外積表示。而在量子力學或者在實際問題的處理中以及有些習題課堂中會遇到非正交基的算子表示形式，在實際的教學過程中自然地就不能再直接使用正交基下的運算進行簡單的推廣講授，因此必須從原始的定義出發(fā)做一些相應的修改。本文首先給出非正交基下線性算子的外積表示，其次引入Gram矩陣給出線性算子在非正交基下矩陣表示和外積表示的系數(shù)矩陣之間的關系，再次討論了非正交基下恒等算子的完備性關系，最后給出了幾類線性算子的運算。本文的具體討論是在復數(shù)域的Hilbert空間上進行的，一些概念和準備將會涉及更加一般的向量空間。定義了內積的完備的復向量空間就是Hilbert空間。

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