基于應(yīng)變補償和PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Ti-2.7Cu合金本構(gòu)關(guān)系

萬 鵬，王克魯，魯世強，陳虛懷，周 峰

(南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，南昌 330063)

鈦合金具有良好的生物相容性、低彈性模量、耐腐蝕性好等特點，被廣泛應(yīng)用在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，如人工假體、人工關(guān)節(jié)、內(nèi)固定材料等[1-3]。研究表明，在鈦合金中加入適量的Cu，Ag等元素，可以使鈦合金在保證良好力學(xué)性能的同時，具有一定的殺菌或抑菌效果[4]。Ti-2.7Cu合金是一種抗菌醫(yī)用鈦合金，目前國內(nèi)對于Ti-Cu系合金熱變形行為以及本構(gòu)關(guān)系的研究還十分有限。

采用傳統(tǒng)的Arrhenius型方程建立本構(gòu)模型的研究目前已有許多報道，但沒有考慮應(yīng)變量的影響[5-6]。同時BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是應(yīng)用比較廣泛的一種前向型人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，許多研究中也已采用這種方法建立本構(gòu)模型[7-8]。而BP本身也存在一些固有缺陷，如學(xué)習(xí)速率太慢、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不易確定和不能保證收斂到全局最小點等[9]。采用粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)對BP進(jìn)行優(yōu)化，可以改善BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的這些缺陷[10]，得到更為精確的本構(gòu)模型。本文工作通過熱壓縮實驗分析Ti-2.7Cu合金的高溫流變特性，并分別基于應(yīng)變補償和PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究其本構(gòu)關(guān)系，對兩種本構(gòu)模型的精度進(jìn)行了分析對比，結(jié)果可為該合金的實際熱成形加工提供理論支撐。

1 實驗材料與方法

本實驗所用的Ti-2.7Cu合金，其主要化學(xué)成分(原子分?jǐn)?shù))為：Cu為2.7%，Ti為余量；α+β/β轉(zhuǎn)變溫度約為840.5℃。試樣在Gleeble-3500型熱模擬試驗機上進(jìn)行熱壓縮實驗，其尺寸為φ8mm×12mm，為減小摩擦的影響，采用砂紙打磨試樣兩端并覆蓋石墨片。變形溫度分別為740，770，800，830，860，890℃，以5℃/s的升溫速率分別對試樣加熱至設(shè)定溫度后保溫300s，使試樣溫度均勻化，然后以0.001，0.01，0.1，1，10s-1的應(yīng)變速率對試樣進(jìn)行熱壓縮變形，高度壓下率為70%(對應(yīng)的真應(yīng)變約為1.2)，并對壓縮后的試樣立即噴水冷卻。實驗過程中，由設(shè)備自動采集真應(yīng)力、真應(yīng)變、溫度等數(shù)據(jù)。

2 結(jié)果與分析

2.1 真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線分析

圖1為變形溫度740～890℃、變形速率0.001～10s-1條件下的Ti-2.7Cu合金試樣真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線，從曲線整體趨勢可以看出該合金高溫流變應(yīng)力的總體變化規(guī)律：隨著真應(yīng)變的增加，流變應(yīng)力在變形初期快速增加，達(dá)到峰值應(yīng)力后開始逐漸下降，但不同條件下的曲線下降程度不一，最終流變應(yīng)力基本達(dá)到某個穩(wěn)定值。由圖1可見，合金的流變應(yīng)力隨變形溫度的升高和應(yīng)變速率的降低都會減小，對變形溫度和應(yīng)變速率較為敏感。流變曲線大多呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)流動特征，即在一定的變形溫度和應(yīng)變速率下，當(dāng)真應(yīng)變達(dá)到一定值時，流變應(yīng)力隨應(yīng)變量的繼續(xù)增加而變化不明顯[11-12]。但在應(yīng)變速率為1s-1，溫度為740℃時，流變應(yīng)力明顯下降，可能是由于應(yīng)變量的增加，位錯滑移或攀移的運動能力加強，致使動態(tài)軟化效應(yīng)增強[11]；在應(yīng)變速率為10s-1時，流變應(yīng)力隨應(yīng)變增加呈下降趨勢，軟化現(xiàn)象較為顯著。

圖1 Ti-2.7Cu合金的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線Fig.1 True stress-true strain curves of Ti-2.7Cu alloy

2.2 Ti-2.7Cu合金應(yīng)變補償本構(gòu)模型的構(gòu)建及分析

在建立本構(gòu)關(guān)系的多種數(shù)學(xué)模型中，Arrhenius型方程得到了廣泛的應(yīng)用，且有以下3種常用形式[13-15]：

(1)

(2)

(3)

式中：Q表示變形激活能，J·mol-1；R表示氣體常數(shù)，8.314J·(mol·K)-1；A1，A2，A3，α，β，n1和n為材料常數(shù)；T為絕對溫度，K。式(1)為指數(shù)方程，適用于高應(yīng)力水平(ασ>1.2)；式(2)為冪函數(shù)方程，適用于低應(yīng)力水平(ασ<0.8)；式(3)為雙曲正弦方程，適用于所有應(yīng)力水平。

本研究構(gòu)建的應(yīng)變補償本構(gòu)模型就是基于Sellar和Mctegart提出的Arrhenius型本構(gòu)模型，該模型用于預(yù)測流變應(yīng)力的雙曲正弦函數(shù)方程表達(dá)式見式(3)。

根據(jù)文獻(xiàn)[16]可知：

α=β/n1

(4)

對式(1)，(2)兩邊同時取自然對數(shù)，移項得到：

(5)

(6)

對式(5)，(6)兩邊同時取偏導(dǎo)，整理可得：

(7)

(8)

可由Arrhenius型雙曲正弦函數(shù)推導(dǎo)得到變形激活能Q和常數(shù)A3的表達(dá)式：

(9)

(10)

其中

(11)

(12)

則有

Q=R·n·k

(13)

圖和關(guān)系曲線Fig.2 Relationship curves of and

(14)

因為傳統(tǒng)的Arrhenius型本構(gòu)模型沒有考慮到應(yīng)變量的影響，為了解決該模型在預(yù)測流變應(yīng)力時存在的缺陷，在上述構(gòu)建的本構(gòu)方程基礎(chǔ)上加入應(yīng)變補償，做出進(jìn)一步的優(yōu)化。通過計算得到了真應(yīng)變在0.6條件下的Arrhenius型本構(gòu)方程材料參數(shù)，同理，計算得出應(yīng)變在0.1～1.2，間隔為0.1下的α，Q，n和lnA的值，如表1所示。

采用多元線性回歸擬合的方法建立材料參數(shù)與應(yīng)變之間的函數(shù)關(guān)系，以便獲得較好的擬合效果。通過對數(shù)據(jù)進(jìn)行4～7次多項式擬合，對比發(fā)現(xiàn)采用6次多項式擬合的精度最好，如表2所示。材料參數(shù)α，Q，n和lnA與應(yīng)變之間的擬合關(guān)系曲線如圖4所示，其所確定的函數(shù)表達(dá)式如下：

圖和ln[sinh(α σ)]-T-1關(guān)系曲線Fig.3 Relationship curves of and

εαQ/(kJ·mol-1)nlnA0.10.016920410.732.86542.8470.20.016284409.002.92442.6470.30.016190409.432.96942.6860.40.016270412.322.99143.0080.50.016484404.673.00042.1000.60.016808392.773.03041.1360.70.016689386.913.10740.0120.80.016372384.153.22939.6940.90.015865379.473.37239.1711.00.015317379.083.52139.1401.10.014799377.513.67238.9721.20.014697383.883.92339.561

(15)

將材料參數(shù)α，Q，n和lnA與應(yīng)變之間的函數(shù)關(guān)系式(15)嵌入到傳統(tǒng)的Arrhenius型雙曲正弦函數(shù)方程中，經(jīng)過變換得到Ti-2.7Cu在變形溫度為740～890℃、變形速率為0.001～10s-1壓縮變形的應(yīng)變補償本構(gòu)模型，其表達(dá)式為：

(16)

圖5為Ti-2.7Cu合金流動應(yīng)力實驗值與預(yù)測值的比較情況。采用相關(guān)系數(shù)R和平均相對誤差E定量描述Ti-2.7Cu合金應(yīng)變補償本構(gòu)模型的精確度，R和E如公式(17)和(18)所示。

(17)

(18)

式中：C為實驗值；T為預(yù)測值；N為數(shù)據(jù)點個數(shù)。

將實驗值與預(yù)測值整理，按照公式(17)，(18)計算，預(yù)測值偏差在15%以內(nèi)的數(shù)據(jù)點占85.28%，模型相關(guān)系數(shù)R為0.9875，平均相對誤差E為10.24%。說明通過應(yīng)變補償建立的Ti-2.7Cu合金本構(gòu)方程的精度有待提高，還可以采用其他方法繼續(xù)建立本構(gòu)方程。

2.3 Ti-2.7Cu合金PSO-BP本構(gòu)模型的構(gòu)建及分析

2.3.1 PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理

為了更加準(zhǔn)確地反映Ti-2.7Cu合金的高溫流變特性，另外采用PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建本構(gòu)關(guān)系方程。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(artificial neural network，ANN)具有信息并行處理、自我學(xué)習(xí)能力以及分布式存儲等特性，發(fā)展較為迅速，其中最為常用的為BP算法。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以解決復(fù)雜的非線性問題，具有一定的聯(lián)想容錯能力。采用BP不需要預(yù)先給定模型，直接從變形參數(shù)與應(yīng)力之間映射關(guān)系的大量數(shù)據(jù)中尋找出規(guī)律，匹配出與實驗數(shù)據(jù)相適應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)模型[9]。

圖4 材料參數(shù)α(a)，Q(b)，n(c)和lnA(d)與應(yīng)變的多項式擬合關(guān)系Fig.4 Relationship between material parameters α(a)，Q(b)，n(c)，lnA(d) and strain by polynomial fitting

圖5 Ti-2.7Cu合金實驗值與預(yù)測值的相關(guān)性分析Fig.5 Correlation analysis between experimental andpredicted value of Ti-2.7Cu alloy

但BP本身也存在一些固有缺陷，如學(xué)習(xí)速率慢、易陷入局部極小值和網(wǎng)絡(luò)不穩(wěn)定等。為改善上述缺陷，本研究基于Matlab平臺，對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用PSO算法進(jìn)行優(yōu)化，提高BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性。粒子群優(yōu)化算法是一種基于群體智能方法的演化計算技術(shù)，在該算法中，粒子表示一個個體，對應(yīng)一組解。在初始化時隨機產(chǎn)生一組粒子，種群中每代最佳粒子記錄為gbest，追蹤迭代過程中的全局最佳粒子記錄為zbest。更新后的每一代種群粒子，都會進(jìn)行自適應(yīng)隨機變異。粒子更新公式[10]如下所示：

v(j+1)=v(j)+c1×rand×(gbest(j)-
pop(j))+c2×rand×(zbest-pop(j))

(19)

pop(j+1)=pop(j)+0.5×v(j+1)

(20)

式中：v表示種群粒子更新速度；j表示迭代次數(shù)；rand表示(0,1)區(qū)間的隨機數(shù)；pop表示粒子；gbest表示上代種群最優(yōu)個體；zbest表示全局最優(yōu)個體；c1，c2表示學(xué)習(xí)因子。

具有全局搜索能力的PSO算法，受網(wǎng)絡(luò)初始值的影響小，能夠較快地達(dá)到收斂。

2.3.2 PSO-BP本構(gòu)的建立與驗證

本研究采用雙隱層BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，通過試錯法確定Ti-2.7Cu合金結(jié)構(gòu)層數(shù)為3×10×15×1，層間傳遞分別采用tansig，purelin函數(shù)，訓(xùn)練采用trainlm函數(shù)。

表3為Ti-2.7Cu合金樣本劃分，將實驗數(shù)據(jù)分別用來建立網(wǎng)絡(luò)和驗證網(wǎng)絡(luò)，分成兩個部分，C表示訓(xùn)練數(shù)據(jù)，T表示測試數(shù)據(jù)。根據(jù)設(shè)置的BP結(jié)構(gòu)，PSO粒子長度為待確定的權(quán)值和閾值的總數(shù)，共有3×10+10+10×15+15+15×1+1=221個，公式(19)中的學(xué)習(xí)因子設(shè)置為c1=c2=1.5，加入的隨機變異概率為0.2，最大迭代步數(shù)為100，種群規(guī)模設(shè)置為80，PSO的迭代最終均方誤差為0.0170，目標(biāo)函數(shù)為PSO算法的每代種群粒子帶入BP網(wǎng)絡(luò)的輸出期望值與實際值的均方誤差。

表3 Ti-2.7Cu合金樣本劃分Table 3 Specimen division of Ti-2.7Cu alloy

(21)

式中：X表示初始向量，Xmax和Xmin分別對應(yīng)X的最大值和最小值，歸一化后的X向量變?yōu)閅向量。

經(jīng)過PSO優(yōu)化的BP訓(xùn)練至3276代時，到達(dá)目標(biāo)值，而未優(yōu)化的BP訓(xùn)練至最大迭代步數(shù)時，未達(dá)到10-5。PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)測試數(shù)據(jù)的實際值與預(yù)測值對比情況如圖6所示，可以看出采用PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立的Ti-2.7Cu合金本構(gòu)模型，得到的預(yù)測值與實驗值能夠吻合良好。

圖6 PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)本構(gòu)模型實驗值與預(yù)測值對比 (a)=0.001s-1；(b)=0.01s-1；(c)=0.1s-1；(d)=1s-1；(e)=10s-1Fig.6 Comparison between experimental and predicted value from PSO-BP constitutive model(a)=0.001s-1；(b)=0.01s-1；(c)=0.1s-1；(d)=1s-1；(e)=10s-1

定量描述Ti-2.7Cu合金PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的精確度，再次按照公式(17)，(18)計算R與E值，整理結(jié)果如圖7所示，PSO-BP模型相關(guān)系數(shù)R為0.9972，平均相對誤差E為6.10%，其中預(yù)測值偏差在15%以內(nèi)的數(shù)據(jù)點占96.67%。說明通過PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立的Ti-2.7Cu合金本構(gòu)模型具有較好的精度，比應(yīng)變補償建立的本構(gòu)方程更能準(zhǔn)確預(yù)測Ti-2.7Cu合金的高溫流變應(yīng)力。

3 結(jié)論

(1)Ti-2.7Cu合金的流變應(yīng)力隨變形溫度的升高和應(yīng)變速率的降低都會減小，對變形溫度和應(yīng)變速率較為敏感。流變曲線主要呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)流動特征，但在應(yīng)變速率為10s-1，變形溫度為740～890℃下流變應(yīng)力隨應(yīng)變增加呈下降趨勢，軟化現(xiàn)象較為顯著。

圖7 Ti-2.7Cu合金實驗值與PSO-BP預(yù)測值的相關(guān)性分析Fig.7 Correlation analysis between experimental andpredicted value using the PSO-BP of Ti-2.7Cu alloy

(2)在Arrhenius型本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上，采用多元線性回歸擬合的方法建立了材料參數(shù)α，Q，n和lnA與應(yīng)變之間的函數(shù)關(guān)系，得到了包含應(yīng)變量的應(yīng)變補償本構(gòu)模型，該模型可以預(yù)測Ti-2.7Cu合金不同應(yīng)變下的流變應(yīng)力，預(yù)測值偏差在15%以內(nèi)的數(shù)據(jù)點占85.28%，精度有待提高。

(3)采用PSO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立的Ti-2.7Cu合金本構(gòu)模型，基于相關(guān)系數(shù)R和平均誤差E的分析，相關(guān)系數(shù)為0.9972及平均相對誤差為6.10%，計算得出該模型預(yù)測值偏差在15%以內(nèi)的數(shù)據(jù)點占96.67%，比應(yīng)變補償本構(gòu)模型更能準(zhǔn)確預(yù)測Ti-2.7Cu合金的高溫流變應(yīng)力，具有較好的精度。