克里金插值法在氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)計(jì)算中的應(yīng)用

摘 要：飛行載荷是飛機(jī)載荷設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵，在載荷求解過程中快速精確得到氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)可以提高載荷計(jì)算的準(zhǔn)確性。在現(xiàn)有氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，利用克里金二元插值方法，對(duì)未知?dú)鈩?dòng)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算結(jié)果表明，該插值法的計(jì)算精度遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)線性插值，為后續(xù)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)計(jì)算提供了新思路。

關(guān)鍵詞：插值法；氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)；克里金法；飛機(jī)設(shè)計(jì)

1 引言

在飛機(jī)設(shè)計(jì)中，飛行載荷的計(jì)算是是一項(xiàng)基本而重要的工作。而在求解飛行器的氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩時(shí)，通常需要大量應(yīng)用相關(guān)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)。在一般情況下，氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)是以表格形式給出的，它受馬赫數(shù)、高度、升降舵、方向舵、襟翼偏角等的影響[1]。氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的值隨上述自變量的變化呈現(xiàn)非線性趨勢(shì)[2]?，F(xiàn)有的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的估算方法大致可以分為三類：插值法、擬合法[3]以及參數(shù)識(shí)別法。

在載荷計(jì)算過程中，經(jīng)常使用插值法進(jìn)行氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的估算。本文分別采用了克里金插值法，對(duì)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行計(jì)算分析，最終得出該插值法具有更高的計(jì)算精度，可以在未來的飛行載荷工程計(jì)算中加以應(yīng)用。

2 克里金插值法

克里金法[4]是建立在變異函數(shù)理論分析基礎(chǔ)上，對(duì)有限區(qū)域內(nèi)的區(qū)域變化變量取值進(jìn)行無偏最優(yōu)估計(jì)的一種方法。使誤差的方差最小是克里金法的顯著特點(diǎn)。這種方法不僅考慮了待插點(diǎn)與鄰近數(shù)據(jù)點(diǎn)的空間位置關(guān)系，還考慮了各臨近點(diǎn)之間的位置關(guān)系，使其估計(jì)比傳統(tǒng)方法更精確，更符合實(shí)際。

其基本原理為：設(shè)研究區(qū)域?yàn)锳，區(qū)域化變量為{z（x）∈A} ，x 表示空間位置，z（x） 在采樣點(diǎn)xi（i=1，2，…，n） ，則根據(jù)克里金插值原理，待插點(diǎn)x0 處的屬性值z(mì)（x0） 插值結(jié)果是n 個(gè)已知采樣點(diǎn)屬性值的加權(quán)和，即：

（1）

式中，λi（i=1，2，…，n ） 為待求權(quán)系數(shù)。假設(shè)z（x） 在整個(gè)研究區(qū)域內(nèi)滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，且根據(jù)無偏性要求， 。

區(qū)域化變量在滿足二階平穩(wěn)的條件下推導(dǎo)，可以得到估計(jì)方差的計(jì)算公式：

在無偏估計(jì)下使方差達(dá)到最小，可得權(quán)系數(shù) 的方程組：

求出諸權(quán)系數(shù)λi（i=1，2，…，n ） 后，就可以求出插值點(diǎn)x0 處得值z(mì)（x0） 。

3 算例

3.1 初始參數(shù)

本文以某輕型公務(wù)機(jī)為例，利用克里金二維插值法對(duì)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行插值計(jì)算。

下面給出在襟翼10°偏度下，由風(fēng)洞測(cè)力試驗(yàn)得到的副翼操縱導(dǎo)數(shù)。將下列數(shù)據(jù)作為已知點(diǎn)進(jìn)行后續(xù)計(jì)算。

3.2 插值計(jì)算

將機(jī)身迎角α作為空間點(diǎn)的x 坐標(biāo)，側(cè)滑角β作為其y坐標(biāo)，副翼操縱導(dǎo)數(shù) 作為空間點(diǎn)的屬性值z(mì)（x， y）。

表2列出了在迎角α=8°條件下，利用克里金插值法計(jì)算得到的副翼操縱導(dǎo)數(shù)。為了更直觀的對(duì)比克里金法與常用的線性插值法在精度上的差異，圖1展示了在在襟翼偏度10°情況下，上述兩種插值法與實(shí)測(cè)值結(jié)果的計(jì)算誤差對(duì)比?？梢钥闯?，克里金法最大計(jì)算誤差為0.00024，而線性插值法超過了0.00035。從整體計(jì)算誤差來看，與傳統(tǒng)線性插值法相比，克里金法在插值精度方面還是有比較明顯的優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)論

本文以副翼操縱導(dǎo)數(shù)為例，利用兩種不同的二元插值方法對(duì)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了計(jì)算對(duì)比。結(jié)果表明克里金插值法和薄板樣條插值法繪制出的曲面基本上可以反映出副翼操縱導(dǎo)數(shù)在某襟翼偏度時(shí)，不同迎角和側(cè)滑角條件下的真實(shí)分布。但是只能保證在內(nèi)部點(diǎn)上的插值精度，在邊界點(diǎn)上精度較差。

克里金法、TPS法和傳統(tǒng)線性插值法對(duì)比后可以看出，克里金插值法在計(jì)算氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)時(shí)，計(jì)算誤差最小。二元插值法在氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)計(jì)算應(yīng)用中是可行的，這為后續(xù)的飛行載荷計(jì)算提供了一種新思路。

參考文獻(xiàn)：

[1]王行仁. 飛行實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)及技術(shù)[M]. 北京航空航天大學(xué)出版社， 1998.

[2]Stevens B L， Lewis F L. Aircraft Control and Simulation[J]. Aircraft Engineering & Aerospace Technology， 2003， 76（5）.

[3]李世玲， 張富堂， 李治，等. 基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的氣動(dòng)參數(shù)擬合[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)， 2001， 13（4）：488-490.

[4]李莉， 胡建平. 克里金插值算法在等高線繪制中的應(yīng)用[J]. 天津城建大學(xué)學(xué)報(bào)， 2008， 14（1）：68-71.

作者簡介：

趙佶男（1989-），男，籍貫：河南省鄭州市人，民 族：漢 職稱：助理工程師，學(xué)歷：碩士研究生。研究方向：飛機(jī)強(qiáng)度設(shè)計(jì)。