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      淺談軌跡方程的求解

      2019-04-17 05:29:20陳子寒
      青年與社會 2019年1期
      關(guān)鍵詞:經(jīng)驗總結(jié)

      陳子寒

      摘要:解析幾何是高中生難以攻克的一種題,大部分同學(xué)在考試時會選擇只解答只要求求出軌跡方程的第一問,此文章介紹了幾種求解軌跡方程的方法,可供借鑒和采納。

      關(guān)鍵詞:軌跡方程;求解方法;求解步驟;經(jīng)驗總結(jié)

      軌跡方程在高中階段的學(xué)習(xí)中的重要性不言而喻,其能夠較好的鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力、解題能力,對于學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的提升有著較好的幫助。但是結(jié)合當(dāng)前高中數(shù)學(xué)軌跡方程學(xué)習(xí)的實際情況來看,學(xué)生要想真正的掌握和理解軌跡方程的求解方法及內(nèi)容也并非是一朝一夕的事情,其需要學(xué)生不斷的探索和積累,才能真正的掌握這些知識。

      一、幾種常見軌跡方程求解方法

      (一)直接法。直接法是軌跡方程求解的常見方法之一。在解決軌跡方程時,如果動點滿足的幾何條件本身是一些幾何量的燈亮關(guān)系或這些幾何條件簡單明了且易于表達,因此可以將這種關(guān)系轉(zhuǎn)換為x,y的等式,這樣就能夠得到曲線的估計方程。由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟,也不需要特殊的技巧,因此一般被稱之為直接法,這種方法主要適用于一些比較簡單的軌跡方程。

      (二)定義法。所謂的定義法是結(jié)合軌跡方程的定義,對曲線方程進行求解。當(dāng)?shù)貏狱c的軌跡符合軌跡方程的某一基本軌跡的定義,則可以根據(jù)定義直接求出動點的軌跡方程解。

      (三)相關(guān)點法(代換法、轉(zhuǎn)換法)。在求解軌跡方程的過程中,解決某些問題時,如果其動點滿足的條件不便使用等式列出,但是其動點是隨著另一動點(其一般也被稱為相關(guān)點)而運動。如果相關(guān)點能夠滿足的條件時可以應(yīng)用軌跡方程進行分析的,則可以應(yīng)用運用運動坐標(biāo)表示相關(guān)點的坐標(biāo),并根據(jù)相關(guān)點求得動點的軌跡方程,這種求解方法也被稱為相關(guān)點法或者代換法、轉(zhuǎn)換法。

      (四)參數(shù)法。在某些時候動點應(yīng)當(dāng)滿足的幾何條件并不容易得出,而且在求解時也沒有明顯的相關(guān)點。但是在進行方程求解時,經(jīng)過探究可能會發(fā)現(xiàn)這個動點的運動經(jīng)常會受到另一個已知變量的影響,或者是動點坐標(biāo)(x,y)中的x和y分別隨著另一變量的變化而變化,那么在解題的時候就可以將這個變量稱之為參數(shù),并且可以結(jié)合相應(yīng)的參數(shù),建立軌跡的參數(shù)方程。在軌跡方程求解過程中,這種方法也被稱之為參數(shù)法。解題時,如果點需要得到軌跡的參數(shù)方程,一般在選擇參數(shù)變量時要從多方面考慮,其應(yīng)當(dāng)具有某種物理或集合的性質(zhì),如時間、速度和角度等,在選擇參數(shù)時還應(yīng)當(dāng)要注意參數(shù)的取值范圍對動點的坐標(biāo)取值范圍的影響。

      二、解題步驟

      在求解這類題時,可以采取以下這幾個步驟。

      (一)建。即根據(jù)題意建立最便于自己求解的坐標(biāo)系。(多數(shù)情況下題目中已設(shè)出相應(yīng)的坐標(biāo)系,只有少數(shù)題目需要自己建立坐標(biāo)系)

      (二)設(shè)。設(shè)這個動點的坐標(biāo)為(x,y),要時刻牢記此點的橫縱坐標(biāo)為變量,不可與題中其他字母混淆。

      (三)現(xiàn)(限)。這指的是題目中關(guān)于動點運動的限制條件,并據(jù)此列出等式。

      (四)代。將已設(shè)出的動點的橫縱坐標(biāo)代人步驟三列出的等式中。

      (五)化。這指的是將等式化簡,最后會得出一個關(guān)于x和y的關(guān)系式。(這通常是最復(fù)雜的一步,極其考驗運算能力,運算時定要仔細)

      把這五個步驟連成“建設(shè)現(xiàn)代化”,可以幫助我們記憶。

      下面舉兩個例題進行具體分析。

      例1.已知有一動點P,與點A(1,0),B(-1,0)的連線的斜率的積為四分之一,求P點的運動的軌跡方程。

      由于題中已有了相應(yīng)的坐標(biāo)系,所以不需要我們建立。

      設(shè):設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y) 題中的限制條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言即為KPA×KPB=1/4

      將動點P的坐標(biāo)代入其中,得到:

      化簡得:x2-4y2=1

      即一組雙曲線(此題多出現(xiàn)在解析幾何題的第一問,為了得到的結(jié)果多為雙曲線,圓,橢圓,拋物線等高中生較為熟悉的曲線的解析式,所以若求出的結(jié)果較為復(fù)雜或無法轉(zhuǎn)化為自己熟悉的形式,可回頭檢查自己是否在哪一步出了差錯)

      例2.已知圓M(x+1)2+y2=9,圓N (x-1)2+y2=1,有一動圓P與圓M內(nèi)切,與圓N外切,求動圓圓心P運動的軌跡方程。

      設(shè)圓P半徑為r限制條件:r=3-PM r=PN-1

      (由于圓P與圓M內(nèi)切,所以圓心距+r=圓M的半徑,由于圓P與圓N內(nèi)切,所以圓心距=圓P的半徑+圓N的半徑)

      兩式相減得PN+PM=4(p到點N與點M的距離的和為定值,這符合橢圓定義,所以P的運動曲線為以點M(-1,0),點N(1,0)為焦點的橢圓)

      所以p的軌跡方程為:x2/4+y2/3=1

      通過此題,可以得出經(jīng)驗:并非所有題目都要嚴格按照題目所給出的限制條件一步步化簡,若是此題將限制條件按步驟化簡,將很難得出結(jié)果,若是牢記了圓錐曲線的定義,做題時將會事半功倍。所以,做題時若是遲遲沒有思路或式子越化越復(fù)雜,可以考慮定義法,這往往做起來很簡便。

      三、結(jié)語

      軌跡方程的求解是有規(guī)律可尋的,所以在考試時不要有畏難情緒,把能夠得到的分得到,為第二問的“爬坡”做好基礎(chǔ)。

      參考文獻

      [1]黃榮清.淺談高中數(shù)學(xué)中軌跡方程的求解方法[J].基礎(chǔ)教育論壇,2012(19):28-30.

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