Laplace變換在常系數(shù)線性微分方程求解中的應(yīng)用

陳龍

積分變換技術(shù)可以將某些難以分析的問題通過映射的方式映射到其他域內(nèi)的表達式后在進行分析。例如，Laplace變換可以將時域函數(shù)映射成復(fù)域函數(shù)，從而可以將某時域函數(shù)的微分方程映射成復(fù)域的多項式代數(shù)方程，使得原微分方程在諸多方面，如穩(wěn)定性、解析解等方面更便于分析，這樣的變換方法構(gòu)成了經(jīng)典自控制理論的基礎(chǔ)。文章首先引入Laplace變換與反變換的定義及基本性質(zhì)，然后借助于MATLAB語言中的符號運算工具函數(shù)，利用Laplace變換實現(xiàn)常系數(shù)線性微分方程的求解。

一、常系數(shù)線性微分解析解的數(shù)學(xué)描述

（一）常系數(shù)線性微分方程

已知常系數(shù)線性微分方程的一般描述方法為：

其中，a_i（i=1，2，L，n），b_j（j=1，2，L，n）均為常數(shù)。

（二）Laplace變換及反變換的定義與性質(zhì)

下面我們引入Laplace變換及反變換的定義與性質(zhì)。

一個時域函數(shù)了（t）的Laplace變換可定義為：

A[f（t）l=∫^0∞f（t）^-stdt=F（s）（2）

其中，A[f（t）]為Laplace變換記號。

下面將不證明地列出一些Laplace變換的性質(zhì)。

（1）線性性質(zhì)

若a與b均為標量，則

A[af（t）]±bg（t）=aA[f（t）]±bA[g（t）]（3）

（2）時域平移性質(zhì)

A[f（t-a）]=e^-asF（s）（4）

（3）s-域平移性質(zhì)

A[e^-atf（t）]=F（s+a）（5）

（4）微分性質(zhì)

A[df（t）/dt]=sF（s）-f（0⁺）

一般地，n階微分可以由下式求出

若假設(shè)函數(shù)f（t）及其各階導(dǎo)數(shù)的初值均為0，則式（7）可以簡化成

此性質(zhì)事實上是微分方程映射成代數(shù)方程的關(guān)鍵式子。

下面利用MATLAB語言及符號運算工具箱求解線性常系數(shù)微分方程解析解的方法。

二、Laplace變換在常系數(shù)線性微分方程求解中的應(yīng)用

考慮式（1）中給出的常系數(shù)線性微分方程模型。假設(shè)輸入信號u（t）和輸出信號f（t）及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0處的均值為0，那么對方程兩端進行Laplace變換，記F（s）=A[f（t）]，U（s）=A[u（t）]，則F（s）/U（s）可以表示成一個有理函數(shù)（在自動控制領(lǐng)域稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)），亦即

如果可以將U（s）也表示成一個有理函數(shù)（事實上大部分常用輸入信號均可以表示成有理函數(shù)形式），則可以將輸出信號的Laplace變換F（s）寫成

這樣，原微分方程的解析解可以由Laplace反變換求出，即f（t）=A^-1[F（s）]。

應(yīng)用1假設(shè)輸入信號為u（t）=a^-2tsin（3t+5）+cos2t，試求出下面微分方程在輸出信號y（t）及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時刻均為0的解析解：

【求解】對方程（18）兩端求取Laplace變換，得

s⁴Y（s）+10s³Y（s）+35s²Y（s）+50sY（s）+24Y（s）=4s²U（s）+3sU（s）+2U（s）

由于函數(shù)u（t）已經(jīng)給出，在求Laplace變換前可對u（t）求解各階導(dǎo)數(shù)，可以用下面的命令語句求解出在給定的u（t）下微分方程等號右側(cè)的式子為

>>syms t;u=exp（-2*t）*sin（3*t+5）+cos（2*t）;

>>uu=laplace（4*diff（u，2）+3*diff（n）+2*u）;

>>uu=collect（simple（uu））;latex（uu）

得到等號右邊的式子，采用微分方程求解函數(shù)dsolve（）得出最終的結(jié)果：

>>syms t;u=exp（-2*t）*sin（3*t+5）+cos（2*t）;

>>uu=laplace（4*diff（u，2）+3*diff（u）+2*u）

>>syms t;u=exp（-2*t）*sin（3*t+5）+cos（2*t）;

>>uu=4*diff（u，t，2）+3*diff（u，t）+2*u

>>y=dsolve（[‘D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=，...

‘-14*cos（2*t）-6*sin（2*t）-39*exp（-2*t）*cos（3*t+5）-24*exp（-2*t）*sin（3*t+5）]，y（0）=3，‘Dy（O）=2，D2y（0）=0，D3y（0）=0）

>>syms t;u=exp（-2*t）*sin（3*t+5）+cos（2*t）;

>>uu=laplace（4*diff（u，2）+3*diff（u）+2*u）

>>y1=dsolve（[‘D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=，…

‘（117*sin（5））/（（s+2）²+9）-12%（s²+4）-（72*cos（5））/（（s+2）²+9）-（14*s）/（s²+4）-（39*cos（5）*（s+2））/（（s+2）²+9）-（24*sin（5）*（s+2））/（（s+2）²+9）]，...

‘y（0）=0，‘Dy（0）=0，‘D2y（0）=0，‘D3y（0）=0）;

>>simple（y-y1）

ans=0

有了微分方程的解析解，則可以用ezplot（）函數(shù)直接繪制出該解析解的曲線，如圖1所示。

>>ezplot（y，[0，10]）;axis（[0，10，0，0.6]）

參考文獻

[1]陳傳璋，金福臨，朱學(xué)炎等[M].北京：人民教育出版社，1979.

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