帶有不同視場約束的多導彈分布式協同制導

葉鵬鵬， 張蛟， 李銀伢， 戚國慶， 盛安冬

(1.南京理工大學 自動化學院, 江蘇 南京 210094; 2.63961部隊, 北京 100012)

0 引言

隨著網絡化協同防空反導防御體系的發(fā)展，單枚導彈打擊目標受到越來越多的挑戰(zhàn)[1]；同時，多導彈協同作戰(zhàn)由于具有突防能力強、毀傷概率高、能夠飽和攻擊等特點，近年來逐漸成為導彈作戰(zhàn)的研究熱點[2-4]。

多導彈協同作戰(zhàn)中的齊射攻擊，即各枚導彈同時命中目標，不僅要求導彈能夠命中目標，還強調命中的同時性，這是協同制導問題的重點。這里的“同時”允許有一定的時間誤差，只要來襲導彈之間到達該目標的時間間隔小于反導系統(tǒng)發(fā)射完一波攔截彈后再次發(fā)射所需要的準備時間，就可以達成突防的效果。眾多學者對此已進行了較深入的研究，文獻[5]針對反艦導彈首先提出了一種遭遇時間可控協同制導律(ITCG)，通過預設攻擊時間可實現反艦導彈的齊射攻擊。文獻[6]針對固定目標，以剩余時間為協調變量，提出一種有限時間協同制導律以實現對目標的齊射攻擊，該制導律從理論上考慮了導彈過載飽和的影響。文獻[7]研究了有限時間下多導彈的齊射攻擊問題，所提制導律除在導彈上施加法向過載外，也要求各導彈切向加速度可調。文獻[8]使用反饋線性化方法，基于多智能體一致性理論，實現了固定及切換拓撲下針對多個目標的協同制導。文獻[9]考慮了通信存在丟包和時延等情形的多導彈協同制導問題。上述時間約束制導律在設計時均主要關注各導彈遭遇時間的變化，其目的是確保各枚導彈同時到達目標。然而分布式協同制導要求導彈在飛行過程中必須保證導引頭對目標的鎖定，即目標應始終處于導引頭視場(FOV)范圍內；否則，當某枚導彈的導引頭丟失目標時，不僅無法保證此枚導彈能夠擊中目標，而且由于彈間通信網絡信息交互，甚至會影響其余導彈命中目標，降低多導彈系統(tǒng)整體的打擊能力。因此，實際工程中在設計時間約束協同制導律時，考慮導彈FOV約束至關重要。

目前針對導彈存在FOV約束的研究主要是考慮單枚導彈制導的情形[10-13]。對于多導彈協同制導，文獻[14-15]在設計時間約束協同制導律時考慮了末端視線角約束，此類協同制導律在設計時并未從理論上分析FOV約束對協同制導的影響，而是通過對所設計的導引律進行分析來選擇合適的參數，以保證導彈飛行過程中對目標的鎖定。此類方法依賴于多導彈的初始攻擊陣位，具有一定的保守性。文獻[16]設計了一種基于偏置比例導引(BPNG)的協同制導律，以遭遇時間為協調變量，實現了FOV約束下多反艦導彈的遭遇時間一致。文獻[17]研究了末端任意攻擊角限制下多反艦導彈的分布式齊射攻擊，所提協同制導律能滿足FOV的約束條件。然而文獻[16-17]中要求各導彈導引頭具有相同的FOV約束，本質上是單枚導彈存在FOV約束[11]的推廣；此外，文獻[16-17]中所考慮的各導引頭具備較大的視場角(90°)，對于配備捷聯式導引頭等視場較窄的導彈，此類制導律則難以適用。因此，文獻[16-17]中所提協同制導律并不能直接用于帶有不同FOV約束的多導彈協同制導。

盡管文獻[18-19]對異類導彈協同制導的可行性進行了研究，然而目前關于不同FOV約束下多導彈協同制導的研究尚且較少。進行齊射攻擊的導彈往往來自多個平臺，如空基、陸基、?；?；即使來自同一平臺，導彈種類也可能不同。異類導彈通常具有不同的FOV約束，如部分高性能導彈通常搭載大視場導引頭，某些低性能導彈搭載的導引頭FOV范圍往往較窄。因此，本文研究了帶有不同FOV約束的多導彈協同制導問題，所提制導策略分為兩個階段：第一階段為協同制導階段；第二階段為獨立導引階段。本文側重研究了第一階段，即協同制導階段，并通過仿真示例對所提制導策略進行了驗證。

1 問題描述

三維空間的導引可以解耦成二維縱向平面與橫側向平面的導引。由于導彈在接近目標時橫側向平面的運動可以忽略，本文考慮二維縱向平面內N(N>1)枚異類導彈協同制導。假定目標固定，典型固定目標有地面重要設施、交通樞紐等；此外，考慮艦船運行速度遠遠小于導彈飛行速度，一般也將艦船近似成固定目標，因此本文研究的導彈類型包括了對地及反艦導彈。假設各導彈為質點模型，采用氣動力布局；飛行過程中導彈所受合力對軸向速度大小的影響可忽略不計，即假設導彈軸向速度大小不變，僅能改變導彈的法向過載，當各導彈均脫離上升段后開始協同制導。

異類導彈往往搭載不同性能的導引頭，如圖1所示，某類高性能導彈搭載了大視場導引頭；而某類低性能導彈搭載的導引頭視場較窄，如紅外導引頭等無源導引頭或者捷聯式導引頭。若以各導彈中的最大FOV范圍作為統(tǒng)一約束，則有可能使配備小視場導引頭的導彈在飛行過程中丟失目標；反之，若以各導彈中的最小FOV范圍作為統(tǒng)一約束，則必然會限制高性能導彈的機動范圍，浪費多導彈系統(tǒng)整體的攻擊能力。因此，異類導彈協同制導律在設計時需要考慮導彈不同的FOV約束對各自的影響。

圖1 搭載不同導引頭的異類導彈Fig.1 Missiles equipped with different seekers

1.1 運動學建模

導彈與目標的導引幾何關系如圖2所示。圖2中：T表示目標，Mi表示導彈i，ri、vi和ai分別表示導彈i的彈目距離、軸向速度和法向過載，ai垂直于導彈的軸向方向；?i、θi和μi分別表示導彈i的視線角、彈道傾角和前置角。

圖2 導彈i與目標幾何關系示意圖Fig.2 Geometrical relationship between ith missile and target

導彈i相對目標的運動方程可表示為

(1)

由圖2可知，μi(t)=?i(t)-θi(t). 本文考慮μi(t)∈[0 rad,π rad]，即?i(t)≥θi(t)時的情形；而μi(t)∈[-π rad,0 rad)可認為是μi(t)∈[0 rad,π rad]時的對稱情形。

(2)

結合(1)式與(2)式，可得(3)式：

(3)

(4)

需要說明的是，由于本文主要研究不同FOV約束對協同制導過程的影響，異類導彈差異主要在于各導彈FOV范圍與速度的不同，導彈其他特性的差異未重點考慮。

1.2 協同制導問題

根據多導彈對目標齊射攻擊的要求，定義任意導彈i與導彈j，且i≠j，當相關變量滿足(4)式與(5)式條件時，多導彈實現協同制導：

(5)

(6)

(7)

同時可得線性化輸入為

ui

(8)

經反饋線性化后，可得導彈i的線性相對運動方程如(9)式所示：

(9)

由(4)式可知，任意導彈i在飛行過程中，ζi需要滿足如下條件：

(10)

同時，為實現齊射攻擊，由(5)式可知，任意導彈i與導彈j的相關狀態(tài)需滿足(11)式所示的條件：

(11)

基于以上分析，帶有不同視場約束的多導彈齊射攻擊問題可以轉換成狀態(tài)受限下求取狀態(tài)一致問題，即根據通信數據，對每枚導彈設計一種協同一致律ui(t)，使得導彈相關變量在(10)式約束下，滿足(11)式條件。(8)式給出了導彈過載指令與協同一致律的對應關系，因此導彈上施加的實際過載指令可由(8)式的逆運算獲得。

2 協同制導律

2.1 協同一致律設計

定義相關變量一致性誤差zi(t),i=1,…,N如下：

(12)

式中：βi(t)>0為時變增益；ζr為各導彈前置角參考值，與比例制導(PNG)法的導航比類似，ζr在導彈發(fā)射前已經裝定好，并保持不變。ζr必須在各枚導彈導引頭FOV約束內進行選取，即參考值的選取需要滿足(13)式所示的條件：

(13)

若無(10)式約束，則各導彈可直接根據一致性誤差(12)式設計反饋輸入，使得導彈相關狀態(tài)滿足(11)式的條件。文獻[8]研究表明，即使是同類導彈，若設置不同的前置角參考值，則不同參考值下的導彈到達目標的時間也不會相同，從而實現對目標的多批次打擊。本文為實現多導彈的齊射攻擊，為各導彈分配相同的前置角參考值。

由于導彈間以固定周期進行通信，根據(9)式可得導彈i=1,…,N離散采樣模型為

(14)

在(10)式約束下，受文獻[21]關于多智能體離散模型狀態(tài)受限下一致性研究的啟發(fā)，設計一種協同一致律如下：

ui(tk)=PXi(i(tk),zi(tk)),

(15)

式中：PXi(·,·)為飽和函數，

PXi(i(tk),zi(tk))=

i(tk)=i(tk)+zi(tk)h.

本文中各導彈帶有不同的視場約束，因此(15)式中的Xi,i=1,…,N互不相同，且各導彈僅知道自身的前置角約束區(qū)間，根據自身前置角狀態(tài)，將一致性誤差經飽和函數生成協同一致輸入，從而可以確保導彈飛行過程中前置角始終被限制在約束區(qū)間內，使目標被鎖定在導彈導引頭FOV內。

2.2 模型轉換

對(14)式進行模型轉換，定義如下誤差比例系數：

(16)

由(15)式可知，0

結合(12)式、(14)式與(16)式，可知

i(tk+1)=ei(tk)i(tk)=
ei(tk)[i(tk)-βi(tk)i(tk)h]+
j(t)-i(t))h.

(17)

定義臨時變量

bi(t)=(1-ei(t)(1-βi(t)h))/h,

(18)

可知1-bi(tk)h=ei(tk)(1-βi(tk)h). 結合(17)式與(18)式，可得

i(tk+1)=i(tk)-bi(tk)i(tk)h+
j(t)-i(t))h.

(19)

同時，由(14)式得

i(tk+1)=i(tk)+i(tk)h/2+i(tk+1)h/2.

(20)

通過上述步驟，可以將狀態(tài)約束下的導彈模型((14)式)轉換為無狀態(tài)約束的等效模型((19)式與(20)式)，從而可以參考相關多智能體一致性理論實現多導彈協同制導。

2.3 收斂分析

由(19)式、(20)式可得

(21)

(22)

φ(k+1)=(Γ(k)-B(k)(E(k)L?I2))φ(k),

(23)

令Ψ(k)=Γ(k)-B(k)(E(k)L?I2)，由(23)式可得

(24)

若(24)式中φ(k)的各分量漸近趨向于同一定值，則(11)式成立。

引理1[22]假設存在一行隨機矩陣H∈RN×N，且其對角元素為正。若以H為鄰接矩陣的有向圖G(H)含有一條有向生成樹，則矩陣H為SIA矩陣。

對(24)式進行分析，可得引理3。引理3將有助于證明(15)式給出的協同一致律能使各導彈相關變量滿足(11)式條件。

證明當0<βi(t0)h<1時，由(18)式可知，0

當選取βi(tk+1)=bi(tk)時，對于任意k=0,1,…，有

0<βi(tk)≤bi(tk)≤βi(tk+1)<1/h.

(25)

(26)

由于

(27)

結合(26)式與(27)式可知:

此外，顯然有ci(k)>h2lii/2.

(28)

當協同制導初始階段各導彈前置角處于約束區(qū)間內時，由協同一致律中飽和函數定義可知，各導彈在其整個飛行過程中前置角均始終處于約束區(qū)間內，從而保證了對目標的鎖定。證畢。

定理1給出了多導彈實現協同制導的充分條件，并給出了相關參數的選取依據?，F有基于多智能體理論所設計的協同制導律一般要求，各導彈協同律具有相同的固定增益，且增益的選取依賴于通信拓撲的全局信息[8-9]。由(12)式可知，本文所提方法中增益βi(t),i=1,…,N并非一致，且獨立自適應變化。對于任一導彈i，相關增益的選取只依據通信間隔以及導彈節(jié)點的入度信息lii，并不需要知道通信拓撲的全局信息，即本文中各導彈僅依據局部信息自主選擇各自協同一致律中的增益。因此，所提協同制導律更適用于異類導彈，特別是多平臺發(fā)射的異類多導彈協同制導。此外，與現有采用反饋線性化方法所設計的協同制導律相比，本文所提協同制導方法中各導彈的增益βi(t),i=1,…,N在選取時不需要考慮導彈的初始狀態(tài)，以使得反饋線性化始終有效。

定理1并不要求各導彈的FOV約束相同，且各導彈僅需知道自身的FOV約束，與要求各導彈具有相同FOV約束的相關研究[16-17]相比，本文所提協同制導律更具一般性。此外，現有多導彈協同制導研究大多基于連續(xù)時間模型[7-8，15，17]，這些制導策略在實際工程應用時依賴于高頻的信息交互，以逼近理論上協同的效果，這種高頻的信息交互極大地增加了通信網絡的負擔。本文以采樣數據進行協同制導律設計，所有理論分析均是基于周期性通信，因此在實際應用時不需要通過高頻通信來逼近理論上的協同效果，從而可以適當放寬對通信頻率的要求。因此，本文所提協同制導策略能夠有效地降低通信網絡負擔。

2.4 法向過載

由(8)式可得

(29)

為實現相關變量狀態(tài)一致，(15)式給出了各導彈的協同一致輸入ui(t)，因此，由(15)式和(29)式可得協同制導階段實際施加在導彈i上的過載指令。

為實現靜默攻擊并減小通信干擾對協同制導的影響，當實現相關變量狀態(tài)一致且充分接近目標后，各導彈斷開通信連接，此時各導彈采用PNG法獨立導引至目標，導彈i上施加的過載指令如(30)式所示：

(30)

式中：kn∈[3,6]為比例系數常數，kn在各導彈發(fā)射前就已裝定好，且發(fā)射后無法更改。

在實際應用中，各導彈根據網絡交互信息實時計算一致性誤差((12)式)。當一致性誤差收斂至零值附近的極小區(qū)域時，認定導彈相關變量狀態(tài)一致。

3 仿真

考慮由M1、M2、M3、M44枚異類導彈組成的多導彈系統(tǒng)對目標進行齊射攻擊，目標位于坐標原點。其中，M1最大視場角為60°，M2最大視場角為45°，M3最大視場角為37°，M4最大視場角為25°. 協同初始階段各導彈狀態(tài)如表1所示。由表1可知，協同初始階段目標處于各枚導彈的視場范圍內。根據(13)式以及相關工程經驗，選取ζr=-0.995.

表1 導彈初始狀態(tài)表

若導彈之間無信息交互，各導彈采取PNG法獨立導引至目標，則各導彈彈目距離的變化如圖3所示。由圖3可見，各導彈到達目標的時間不同，且相差較大。因此，各導彈需要根據通信交互數據協同制導，以確保遭遇時間一致。

圖3 PNG導引律下導彈彈目距離Fig.3 Range between missile and target under PNG law

當t∈[0 s,156 s)時，各導彈通過通信網絡交互剩余距離實現協同制導。導彈間通信拓撲如圖4所示，其中箭頭表示信息傳輸的方向。由圖4可知，通信拓撲存在一條有向生成樹，且各節(jié)點的入度為1. 通信間隔h=0.1 s，不失一般性，選取導彈i(i=1,2,3,4)一致性誤差增益初始值為βi(t0)=2.1，并根據定理1，選擇βi(tk+1)=bi(tk)，k=0,1,2,…. 協同制導階段各導彈過載指令由(29)式可得；當t≥156 s時，各導彈斷開通信連接，采用PNG法獨立導引至目標，導彈過載指令由(30)式求得，(30)式中取kn=3. 仿真中各導彈最大過載限制為8g，g為重力加速度。

圖4 導彈間通信拓撲Fig.4 Communication topology of multiple missiles

仿真結果如圖5～圖9所示。圖5為協同制導階段相關變量變化示意圖。圖5(a)表明各枚導彈協調變量ξi(t)狀態(tài)漸近一致，即各導彈的歸一化剩余距離漸近一致；圖5(b)表明各導彈前置角漸近收斂于參考值。此階段內各導彈相關變量達到漸近一致狀態(tài)。

圖5 協同制導階段相關變量變化示意圖Fig.5 Evolution of variables during the cooperative guidance

圖6顯示了飛行過程中各導彈彈目距離的變化。由圖6可知，4枚導彈同時到達了目標，到達目標時刻約為165.5 s，多導彈系統(tǒng)實現了對目標的齊射攻擊。結合圖5和圖6可知，各導彈斷開通信連接獨立導引至目標并不會影響協同制導階段的結果。

圖6 導彈彈目距離Fig.6 Range among missiles and target

圖7顯示了在飛行過程中，各導彈前置角的變化曲線。圖8給出了制導過程中各導彈上施加的過載指令。由圖7可知，各導彈被嚴格限制在各自FOV范圍內，其中，導彈M1、M2與M3在協同制導階段均有前置角處于各自約束區(qū)間邊界的現象，表明目標正處于相關導彈的FOV邊界。這是因為相應導彈的遭遇時間相對它們的鄰居導彈較小，彈道被彎曲。當目標處于導彈FOV邊界時，由于FOV約束的存在，彈道無法被進一步彎曲，否則導彈將失去對目標的鎖定，因此此時施加在導彈上的過載為0g. 在協調過程中，導彈前置角將收斂至參考值，導彈M1、M2與M3會將目標由其FOV邊界拉至范圍內，因此施加在彈上的過載指令出現較小的跳變，如圖8所示。

圖7 前置角變化示意圖Fig.7 Evolution of leading angle

圖8 過載指令Fig.8 Overload commands

圖9為導彈的飛行軌跡示意圖。由圖9可見，各導彈的彈道相對平直、彈道特性良好。圖9中，在協同制導開始階段，導彈M1、M2與M3彈道均有一定彎曲，而遭遇時間相對鄰居導彈較大的導彈M4，其彈道被拉直。

圖9 導彈飛行軌跡Fig.9 Missile trajectories

本文考慮二維縱向平面的協同制導制導問題，所得結果同樣適用于橫側向平面的導引，因此可將導彈在二維縱向平面與橫側向平面的導引耦合，以得到導彈在三維空間的導引結果。若協同初始時各導彈處于非同一縱向平面內，則三維空間內多導彈也能實現對目標的協同制導，導彈飛行軌跡如圖10所示。

圖10 三維空間導彈飛行軌跡Fig.10 Missile trajectories in three-dimensional space

4 結論

本文研究了異類導彈的齊射攻擊問題，在考慮各導彈存在不同FOV約束且各導彈僅知道自身FOV范圍的條件下，提出一種分布式協同制導策略。所提制導策略能夠滿足多導彈各自不同的FOV約束條件，且僅需以固定周期交互剩余距離信息，通信量較少，網絡負擔較小。此外，各導彈協同一致律中的相關增益可獨立選取，且各增益的選取僅依據對應導彈節(jié)點的入度信息與通信間隔，而無需通信拓撲的全局信息，所提協同制導策略更加符合分布式制導的要求。理論分析與仿真驗證均表明，多導彈系統(tǒng)能夠實現對目標的齊射攻擊，飛行過程中各導彈能始終保證導引頭對目標的鎖定。

在各導彈帶有不同FOV約束的條件下，確保各導彈的相關變量在有限時間內收斂，以及研究通信干擾對導彈協同作戰(zhàn)性能的影響，是未來研究工作的重點。本文假設導彈速度恒定，而研究導彈速度變化下的相關協同制導律也具有重要的意義。