非線性破壞準(zhǔn)則下土體剪脹性對地震主動(dòng)土壓力的影響

郭詩惠， 劉炳(1.南陽理工學(xué)院 土木工程學(xué)院， 河南 南陽 47000； 2.長沙理工大學(xué) 橋梁工程安全控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；

3.南陽市高速公路有限公司)

在巖土工程領(lǐng)域中，土壓力計(jì)算在擋土墻設(shè)計(jì)中至關(guān)重要。在計(jì)算土壓力的傳統(tǒng)方法中通常假設(shè)土體強(qiáng)度遵循線性M-C屈服準(zhǔn)則。大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明：土體破壞時(shí)其強(qiáng)度包絡(luò)線幾乎都是非線性的，采用線性強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算土壓力，獲得結(jié)果可能偏離實(shí)際情況。

國內(nèi)外學(xué)者基于極限分析理論，對于非線性破壞準(zhǔn)則下的土壓力計(jì)算進(jìn)行了一系列的研究：林松應(yīng)用切線法和迭代法求解非線性參數(shù)，推導(dǎo)出非線性M-C準(zhǔn)則下被動(dòng)土壓力上限解；張國祥引入非線性破壞準(zhǔn)則求解主動(dòng)土壓力，并將研究成果與線性條件下土壓力計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比；王作偉等采用擬靜力法，將地震力作用引入非線性主動(dòng)土壓力中，得到平動(dòng)破壞機(jī)制下?lián)跬翂Φ卣鹬鲃?dòng)土壓力。隨著塑性理論的發(fā)展，非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則在巖土工程中得到廣泛應(yīng)用。呂紹文基于極限分析理論，考慮非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，探討了剪脹系數(shù)對支護(hù)反力的影響；姚聰采用非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則計(jì)算非線性隧道掌子面支護(hù)力，并給實(shí)際工程提出建議；張培文等采用平面應(yīng)變分析了剪脹角對邊坡穩(wěn)定性的影響；鄧國瑞等在求解錨桿加固邊坡穩(wěn)定性時(shí)引入非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，對土體強(qiáng)度參數(shù)進(jìn)行折減。

現(xiàn)有研究表明：非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則更符合土體實(shí)際的破壞特性。然而，非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則在土壓力的計(jì)算方法中應(yīng)用較少。因此，該文綜合考慮土體強(qiáng)度非線性及非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則對主動(dòng)土壓力的影響，并在此基礎(chǔ)上考慮水平地震力及地面超載的作用，運(yùn)用極限分析方法，推導(dǎo)主動(dòng)土壓力系數(shù)的顯式表達(dá)式，借助最優(yōu)化方法計(jì)算得到主動(dòng)土壓力系數(shù)上限解，并對相關(guān)參數(shù)的影響進(jìn)行分析研究。

1 基本原理

1.1 非線性破壞準(zhǔn)則

目前應(yīng)用最為廣泛的強(qiáng)度非線性準(zhǔn)則為非線性M-C準(zhǔn)則，傳統(tǒng)的M-C準(zhǔn)則是其中的特例，在τ-σn應(yīng)力空間中，其表達(dá)式為：

τ=c0(1+σn/σt)1/m

(1)

式中：c0為初始黏聚力；m為非線性系數(shù)(m=1時(shí)非線性破壞準(zhǔn)則退化為線性破壞準(zhǔn)則)；σn為破壞面上的正應(yīng)力；σt為單軸抗拉強(qiáng)度。

1.2 非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則

土體服從非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則時(shí)，剪脹角和內(nèi)摩擦角的關(guān)系如下：

(2)

式中：ψ為剪脹角；φ為內(nèi)摩擦角；η為剪脹系數(shù)。

在解決巖土材料問題時(shí)，采用的本構(gòu)模型一般為M-C模型，當(dāng)考慮土體的剪脹性質(zhì)時(shí)，需修正強(qiáng)度參數(shù)：

(3)

式中：c*和φ*分別為修正后的黏聚力和內(nèi)摩擦角。

當(dāng)采用非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則時(shí)，非線性M-C破壞準(zhǔn)則表示為：

τ=c*(1+σn/σt)1/m=ηc0(1+σn/σt)1/m

(4)

借助極限分析解決非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則時(shí)，一般要采取方法將非線性強(qiáng)度參數(shù)轉(zhuǎn)化為線性強(qiáng)度參數(shù)，該文采用切線技術(shù)處理此問題，鑒于此，破壞曲線上的任意一點(diǎn)處的切線可表示為：

τ=c*+σntanφ*

(5)

式中：tanφ*和c*分別為在應(yīng)力空間τ-σn上的切線斜率和縱軸截距。

根據(jù)式(4)、(5)可得：

(6)

2 求解過程

2.1 破壞機(jī)構(gòu)

考慮非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則及非線性M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則的擋土墻加固邊坡破壞機(jī)構(gòu)如圖1所示，邊坡高度為H；AB長度為L；墻背傾角為β；W為墻后土體自重；kh為水平地震力系數(shù)；q為地面超載；Pa為主動(dòng)土壓力。鋼塑體ABC以角速度ω繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其假設(shè)滑動(dòng)面為曲線BC,θ0和θh分別為起始旋轉(zhuǎn)半徑r0及終止旋轉(zhuǎn)半徑rh和水平面的夾角。根據(jù)圖1可知：該擋土墻加固邊坡的形狀可由θ0和θh這兩個(gè)變量唯一確定。

由幾何關(guān)系可知，邊坡高度H與初始旋轉(zhuǎn)半徑r0的比值和寬度L與初始旋轉(zhuǎn)半徑r0的比值可分別表示為：

(7)

(8)

2.2 功率計(jì)算

借助極限分析上限法對主動(dòng)土壓力進(jìn)行求解時(shí)，首先需要對發(fā)生在圖1所示的破壞機(jī)構(gòu)上的內(nèi)能耗散和各項(xiàng)外力功進(jìn)行計(jì)算。

圖1 擋土墻加固邊坡旋轉(zhuǎn)破壞機(jī)構(gòu)

2.2.1 外力做功

外力做功由土體重力、地面超載、主動(dòng)土壓力和水平地震力產(chǎn)生的功率構(gòu)成。

(1) 土體重力做功

(9)

式中：ω為角速度；γ為土體重度；f1、f2、f3分別為：

(10)

(11)

(12)

(2) 水平地震力做功

該文采用擬靜力法，引入水平地震力系數(shù)kh，水平地震力所做功率為：

(13)

f4～f6分別表示為：

(14)

(15)

(16)

(3) 主動(dòng)土壓力做功

對于主動(dòng)土壓力Pa，采用文獻(xiàn)[1]中提出的計(jì)算方法，假定主動(dòng)土壓力的合力位置位于墻體的下1/3處，主動(dòng)土壓力所做功可表示為：

(17)

f7的表達(dá)式如下：

(18)

式中：δ為墻土摩擦角。

(4) 地面超載做功

(19)

f8的表達(dá)式如下：

(20)

2.2.2 內(nèi)能消耗

土體在發(fā)生破壞時(shí)，通常不考慮土體變形，因此剛塑體ABC內(nèi)能耗散僅發(fā)生在速度不連續(xù)面AC上：

(21)

f9的表達(dá)式為：

(22)

2.3 主動(dòng)土壓力系數(shù)

(23)

借助Matlab編程軟件進(jìn)行參數(shù)的優(yōu)化分析時(shí)，需要在圖1所示的加固邊坡破壞機(jī)構(gòu)的幾何約束條件下進(jìn)行，即：

(24)

3 結(jié)果分析

3.1 對比驗(yàn)證

當(dāng)η=1時(shí)，非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則退化為關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，并將該文在此基礎(chǔ)上獲得的土壓力解答與文獻(xiàn)[4]的非線性破壞準(zhǔn)則下的極限分析解、文獻(xiàn)[3]的極限平衡及朗肯理論解進(jìn)行對比分析。其中，H=7 m，β=90°，δ=0°，q=10 kN/m2，γ=19 kN/m3，c0=10 kPa，σt=30 kPa，m取不同值時(shí)，對比結(jié)果如表1所示。

表1 數(shù)據(jù)對比

由表1可知：該文優(yōu)化求解的土壓力值與已有的研究成果大致吻合，結(jié)果與朗肯值相差不超過1.3%，和其他方法相比結(jié)果更為接近，驗(yàn)證了該文所采用的土壓力求解過程與優(yōu)化程序的正確性。同時(shí)，文獻(xiàn)[4]采用的也是極限分析方法，但其采用的是平動(dòng)破壞機(jī)制，而該文采用的是旋轉(zhuǎn)破壞機(jī)制。相比較而言，由于旋轉(zhuǎn)破壞機(jī)制含有的優(yōu)化變量更少，因而更易于求解。

3.2 參數(shù)分析

該文采用參數(shù)分析探討水平地震力、地面超載、非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則和非線性破壞準(zhǔn)則等因素對主動(dòng)土壓力系數(shù)的影響。具體參數(shù)取值為：土體重度γ=20 kN/m3、墻背傾角β=70°、邊坡高度H=5 m、墻土摩擦角δ=10°、抗拉強(qiáng)度σt=30 kPa。不同因素對主動(dòng)土壓力系數(shù)的影響見圖2～5。

由圖2可知：非線性系數(shù)m對主動(dòng)土應(yīng)力系數(shù)ka有顯著影響，當(dāng)非線性系數(shù)從1.1增大到1.5時(shí)，Ka顯著增大，且增大幅度隨著黏聚力c0增大而增大，且近似為線性增大；而對于黏聚力c0，當(dāng)非線性系數(shù)m不變時(shí)，ka隨黏聚力c0的增大而減小，且當(dāng)黏聚力c0越大，減小幅度越小。說明當(dāng)計(jì)算土壓力系數(shù)設(shè)計(jì)擋土墻時(shí)，不能忽略非線性系數(shù)m的影響，且當(dāng)c0越小時(shí)，越有必要考慮非線性系數(shù)m。

圖2 非線性系數(shù)對主動(dòng)土壓力系數(shù)的影響

圖3 剪脹系數(shù)對主動(dòng)土壓力系數(shù)的影響

圖4 水平地震力對主動(dòng)土壓力系數(shù)的影響

圖5 地面超載對主動(dòng)土壓力系數(shù)的影響

由圖3可知：剪脹系數(shù)η對ka有顯著影響。當(dāng)非線性系數(shù)m保持不變時(shí)，ka隨剪脹系數(shù)η的增大而減小，且當(dāng)剪脹系數(shù)η較小時(shí)，ka減小幅度較大，而當(dāng)剪脹系數(shù)η逐漸增大時(shí)，減小幅度相對緩和；而對于非線性系數(shù)m，當(dāng)非線性系數(shù)m越大，ka隨剪脹系數(shù)η的變化趨勢越明顯。說明在擋土墻的設(shè)計(jì)中，剪脹系數(shù)η對主動(dòng)土壓力系數(shù)的影響不可忽略，尤其當(dāng)非線性系數(shù)m取值較大時(shí)。

由圖4可知：水平地震力系數(shù)kh對ka的影響顯著，當(dāng)?shù)卣鹆ο禂?shù)kh由0變化到0.4時(shí)，ka不斷增大；對于剪脹系數(shù)η，取較大值時(shí)，曲線增大的趨勢較弱，而當(dāng)剪脹系數(shù)η減小，ka隨水平地震力系數(shù)kh增大而增大的趨勢越明顯。所以在擋土墻抗震設(shè)計(jì)中，當(dāng)水平地震力系數(shù)kh較大，剪脹系數(shù)η的影響不可忽略。

由圖5可知：地面超載q對ka影響顯著，而當(dāng)剪脹系數(shù)η一定時(shí)，ka隨地面超載q的增大而不斷增大，且地面超載對ka的影響是近似線性的。

3.3 算例分析

以花峽線K3+283～K3+430右側(cè)侵占河道的擋土墻為例：擋土墻高H=6 m，擋土墻背傾角β=110°，土體重度γ=19 kN/m3，墻土摩擦角δ=10°，地面設(shè)計(jì)超載為10 kPa。擋土墻所在位置的地震烈度為9度，對應(yīng)的水平地震力系數(shù)kh=0.1。通過土體的三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到非線性強(qiáng)度參數(shù)的取值為：初始黏聚力為c0=12 kPa，單軸抗拉強(qiáng)度σt=5 kPa，非線性系數(shù)m=1.2，土體的實(shí)測平均剪脹角為16.5°，實(shí)測平均內(nèi)摩擦角為20.4°，相應(yīng)地剪脹系數(shù)η取0.8。根據(jù)該文提出方法計(jì)算，得到ka=0.22，計(jì)算結(jié)果如圖6所示。在采用關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則的情況下，計(jì)算得到的ka=0.15。從圖6可以看出：忽略剪脹角的影響會得到偏不安全的結(jié)果。

圖6 花峽線線路右側(cè)擋土墻加固邊坡破壞位置圖

4 結(jié)論

(1) 基于極限分析，借助廣義切線法，將非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則及非線性系數(shù)引入水平地震力及地面超載作用下的主動(dòng)土壓力系數(shù)計(jì)算分析中，推導(dǎo)了外力功率與內(nèi)能耗散率，并建立了能量極限平衡方程。通過求解方程得到了主動(dòng)土壓力系數(shù)顯式解，并借助Matlab編制的優(yōu)化程序，得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)上限解。

(2) 在非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則退化為關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則的情況下，該文獲得的土壓力結(jié)果與現(xiàn)有的研究結(jié)果較為接近，驗(yàn)證了該文所采用的土壓力求解過程與優(yōu)化程序的正確性。

(3) 通過參數(shù)分析研究了土體剪脹性及土體強(qiáng)度非線性等因素對主動(dòng)土壓力系數(shù)的影響。結(jié)果表明，ka隨非線性系數(shù)m、水平地震力系數(shù)kh和地面超載q的增大而增大，隨初始黏聚力c0和剪脹系數(shù)η的增大而減小。在擋土墻設(shè)計(jì)中，需要對非線性系數(shù)m及剪脹系數(shù)η予以重視，同時(shí)還要考慮水平地震力、地面超載q及初始黏聚力c0帶來的影響。