考慮序列關(guān)聯(lián)性的公路隧道沉降預(yù)測模型

林曉東，林浩

(同濟大學 土木工程學院，上海市 200092)

公路隧道設(shè)計從傳統(tǒng)的強度驗證和穩(wěn)定性驗證，逐漸向關(guān)注結(jié)構(gòu)變形控制的動態(tài)設(shè)計方法轉(zhuǎn)變。隧道沉降是反映隧道結(jié)構(gòu)安全性的一個重要指標，根據(jù)沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)分析結(jié)構(gòu)當前安全狀態(tài)，預(yù)測沉降的發(fā)展趨勢，在實際工程中具有重要的意義。目前，隧道沉降的計算預(yù)測方法主要采用理論解析和數(shù)值模擬實現(xiàn)，如修正的Peck經(jīng)驗公式、基于彈性地基理論推導(dǎo)的縱向變形表達式、隧道數(shù)值模型和室內(nèi)模型試驗等。這類方法以土力學為基礎(chǔ)，由于地質(zhì)環(huán)境的隱蔽性與復(fù)雜多變性，土體物理力學參數(shù)存在隨機性和不確定性，獲取準確信息難度大，而且土體本身是非均質(zhì)和各項異性的復(fù)雜介質(zhì)，故此類預(yù)測方法難度較大。

近年有學者采用智能算法對隧道沉降進行預(yù)測，如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機與蒙特卡羅方法和灰色理論預(yù)測等模型均應(yīng)用于沉降的預(yù)測，智能算法對于歷史數(shù)據(jù)的擬合和未來數(shù)據(jù)的預(yù)測相對其他方法更準確，但這類方法不具有明確的物理含義，輸入數(shù)據(jù)經(jīng)過復(fù)雜的函數(shù)映射，在實際應(yīng)用中很難解釋訓(xùn)練的模型，甚至在數(shù)據(jù)較少的情況下，會出現(xiàn)過擬合的現(xiàn)象。

常用的具有完善理論推導(dǎo)和明確物理意義的模型有馬爾科夫和時間序列模型，如馬爾科夫鏈模型能較好地模擬沉降變形過程的隨機性，時間序列模型可結(jié)合外部輸入分析外部荷載、土體擾動等對沉降預(yù)測的影響。此類模型在建立時不需考慮反映系統(tǒng)的物理規(guī)律，而且可識別系統(tǒng)中的白噪聲，被證明是一種簡單并有效的方法。但傳統(tǒng)的馬爾科夫和時間序列模型忽略了模型之間的相關(guān)性，如一般的沉降監(jiān)測在空間上是均勻布置的，靠得越近的監(jiān)測序列理論上相關(guān)性越高，考慮相關(guān)性可為模型預(yù)測提供更多信息。

綜上所述，該文在時間序列模型基礎(chǔ)上：① 采用向量式時間序列模型，模擬多維時間序列變量當期量與滯后項的關(guān)聯(lián)性；② 引入結(jié)構(gòu)性方程，建立模型變量之間的當期相關(guān)關(guān)系，即在時間序列方程的左右端均包含變量的當期值。以上海某一公路隧道工程為案例，說明向量-結(jié)構(gòu)時間序列的應(yīng)用，并與傳統(tǒng)時間序列進行對比。

1 時間序列模型概述

1.1 自回歸模型

自回歸的p階模型記作AR(p)，是用自身做回歸變量，對于p階自回歸序列{yt}滿足方程：

yt=ρ1yt-1+…+ρpyt-p+εt

(1)

式中：εt為擾動項，即模型在t期無法解釋的部分，且εt獨立于y1,…,yt-p；ρj為當前數(shù)據(jù)與j階滯后的關(guān)系。定義滯后算子L為：

Lkyt=yt-k

(2)

則式(1)可重寫為：

ρ(L)yt=εt

(3)

式中：ρ(L)=1-ρ1L-…-ρpLp，為AR模型的特征多項式。

1.2 滑動平均模型

滑動平均模型記作MA(q)，形式為：

yt=εt+θ1εt-1+…+θqεt-q=θ(L)εt

(4)

式中：θ(L)=1+θ1L+…+θqLq，為MA模型的特征多項式。

1.3 自回歸滑動平均ARMA模型

自回歸滑動平均模型是由AR模型和MA模型組合得到，記作ARMA(p,q)，聯(lián)立式(3)、(4)可得：

ρ(L)yt=θ(L)εt

(5)

2 向量-結(jié)構(gòu)時間序列

2.1 向量式

向量式(Vector)時間序列是根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計性質(zhì)建立的模型，其將系統(tǒng)中每一個變量當作所有內(nèi)生變量滯后值的函數(shù)，將單變量的時間序列推廣至多變量的時間序列，即向量式時間序列，對于自回歸模型，其向量式(Vector AR，記作VAR)為：

yt=Φ1yt-1+…+Φpyt-p+εt

(6)

式中：yt為k維時間序列變量；p為滯后階數(shù)；k×k維矩陣Φ為待估計參數(shù)；εt為k維擾動列向量。

考慮式(2)的滯后算子，式(6)可表示為：

Φ(L)yt=εt

(7)

式中：Φ(L)=1-Φ1L-…-ΦpLp，為向量式自回歸模型特征向量。如果行列式det[Φ(L)]的根都在單位圓外，可將式(7)表示為：

yt=Φ(L)-1εt=A(L)εt

(8)

式中：A(L)=A0+A1L+…+AqLq。

式(8)為滑動平均模型的向量式(Vector MA，記作VMA)，即自回歸模型的向量式與滑動平均模型的向量式在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)換的。

由式(6)、(8)可知：在方程的右邊僅出現(xiàn)了變量系統(tǒng)的滯后值，不存在變量的同期聯(lián)系，可采用普通的最小二乘法對參數(shù)進行估計。

2.2 結(jié)構(gòu)式

如前所述，向量式時間序列沒有建立變量的當期關(guān)系，而當期關(guān)聯(lián)性信息被包含在擾動項εt中?？稍谙蛄渴綍r間序列的基礎(chǔ)上，引入結(jié)構(gòu)性方程，即結(jié)構(gòu)式(Structure)，對于k個變量，p階的結(jié)構(gòu)-向量自回歸模型(Structural Vector AR，記作SVAR)為：

C0yt=Γ1yt-1+…+Γpyt-p+ut

(9)

式中：

(10)

(11)

C(L)yt=ut

(12)

式中：C(L)=C0-Γ1L-…-ΓpLp，為結(jié)構(gòu)式自回歸模型的特征多項式。

如果矩陣多項式C(L)可逆，由式(13)可以得到結(jié)構(gòu)-向量平均滑動模型(Structural Vector MA，記作SVMA)為：

yt=C(L)-1ut=B(L)ut

(13)

聯(lián)立式(8)、(13)可得：

A(L)εt=B(L)ut

(14)

即由向量式的參數(shù)估計結(jié)果，可計算得到結(jié)構(gòu)式的參數(shù)。

3 拓撲結(jié)構(gòu)

以自回歸滑動平均AR模型為例，其拓撲關(guān)系如圖1所示，由式(1)可知AR模型的下一次預(yù)測為多個滯后項與同期的擾動項組成，由式(4)得MA模型的下一次預(yù)測由多個滯后擾動項組成，擾動項觀測不到，只能通過模型從t=0時刻開始迭代計算，如圖1描述的每一時間序列只與該時間序列歷史數(shù)據(jù)有關(guān)，即每一序列都是獨立的。

結(jié)構(gòu)-向量時間序列模型則可從時間和空間兩個維度進行數(shù)據(jù)分析，其拓撲關(guān)系原理如圖2所示，空間關(guān)聯(lián)性體現(xiàn)在：① 時間序列的當期值不僅僅由該序列的滯后項組成，還與在空間上相鄰的時間序列的滯后項有關(guān)系，形式上將ARMA模型擴展成向量式形式，即時空時間序列；② 不同時間序列的同期變量，采用結(jié)構(gòu)性方程建立同期之間的關(guān)聯(lián)性，以考慮同期變量之間的相互作用。

圖1 自回歸滑動平均模型拓撲結(jié)構(gòu)

圖2 結(jié)構(gòu)-向量時間序列模型拓撲結(jié)構(gòu)

4 建模步驟

結(jié)構(gòu)-向量時間序列模型的建模步驟如圖3所示，首先選擇參與建模的時間序列，采用AR根特征檢驗方法驗證變量系統(tǒng)是否穩(wěn)定，如果特征多項式的根的倒數(shù)均小于1，則變量系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若時間序列系統(tǒng)不穩(wěn)定，應(yīng)采用差分、去除趨勢、調(diào)整模型變量等方法對變量進行處理。

確定變量系統(tǒng)后，可根據(jù)AIC(Akaike Information Criterion)或BIC(Bayes Information Criterion)信息準則確定滯后階數(shù)：

AIC=-2l/T+2n/T

(15)

BIC=-2l/T+nlnT/T

(16)

式中：n為被估計的參數(shù)總數(shù)；T為樣本長度；通過假定服從多元正態(tài)分布計算對數(shù)似然值l為：

(17)

圖3 結(jié)構(gòu)-向量時間序列的建模步驟

5 工程應(yīng)用

以上海某一公路隧道為工程案例，比較傳統(tǒng)時間序列模型和結(jié)構(gòu)-向量時間序列模型的預(yù)測效果。該公路隧道于20世紀90年代建成，全長約742 m，在隧道上每隔20 m左右布設(shè)沉降監(jiān)測點，從1996年開始至2012年，每年進行兩次沉降監(jiān)測，隧道全線的歷史沉降曲線如圖4(a)所示。該文選取s20監(jiān)測點作為研究對象，其監(jiān)測數(shù)據(jù)如圖4(b)所示。

圖4 隧道沉降數(shù)據(jù)描述

5.1 傳統(tǒng)時間序列

由圖4(b)和穩(wěn)定性分析知監(jiān)測數(shù)據(jù)并非平穩(wěn)時間序列，經(jīng)分析采用沉降數(shù)據(jù)的二階差分2s作為預(yù)測時間序列，根據(jù)序列的自相關(guān)系數(shù)函數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)函數(shù)，以及AIC和BIC信息準則，確定采用AR(3)模型進行模擬，參數(shù)估計結(jié)果為：

(18)

該模型的沉降二階差分預(yù)測結(jié)果如圖5(a)所示，擬合R2=0.685，殘差結(jié)果如圖5(b)所示，經(jīng)驗證符合均值為0的白噪聲序列。

圖5 傳統(tǒng)時間序列模型分析結(jié)果

5.2 結(jié)構(gòu)-向量時間序列

對于向量式時間序列模型，根據(jù)式(6)可構(gòu)造模型：

(19)

采用普通最小二乘法對式(19)的參數(shù)估計結(jié)果如表1所示。

表1 向量式時間序列模型參數(shù)估計

對于結(jié)構(gòu)式，式(10)的C0矩陣，假設(shè)監(jiān)測點的相互作用是一樣的，即c12=c21，c13=c31，c23=c32，對矩陣C0進行參數(shù)估計的結(jié)果為：

(20)

由式(20)可知：相互作用最大的為空間上較近的s20與s21監(jiān)測點，相關(guān)性為0.67，而相互作用最小的為空間上最遠的s20與s22監(jiān)測點，相關(guān)性為0.49，基本符合對隧道沉降的認知規(guī)律。

該模型的沉降二階差分預(yù)測如圖6(a)所示，擬合值為0.850，殘差如圖6(b)所示，經(jīng)驗證符合均值為0的白噪聲序列。

5.3 沉降數(shù)據(jù)預(yù)測

采用結(jié)構(gòu)-向量時間序列對s20監(jiān)測點進行擬合與預(yù)測，由5.2節(jié)的二階差分結(jié)果還原回原始沉降，如圖7所示，對于沉降數(shù)據(jù)的擬合值R2為0.985。由結(jié)果可以看出：實測數(shù)據(jù)在2009—2012年呈回彈趨勢，模型預(yù)測在2014年左右回彈至120 mm。另外，由于時間序列模型屬于隨機過程的一種，在進行動態(tài)預(yù)測時，隨著預(yù)測時間延長，其誤差區(qū)間也將越大，該模型適用于短期預(yù)測。

圖6 結(jié)構(gòu)-向量時間序列模型分析結(jié)果

圖7 沉降數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果

5.4 空間相關(guān)性討論

由于SVAR模型參數(shù)較多，需要的樣本量會比ARMA模型多，以上述SVAR(3)模型為例，該模型總共有 3 個變量，每個變量的時間序列數(shù)據(jù)均為 33 條記錄，由于采用二階差分和三階滯后的原因，每個變量實際對應(yīng)的方程為28個，總共有結(jié)構(gòu)性方程組84組，考慮滯后階數(shù)為3的模型待估計參數(shù)有27個，即1個待估計參數(shù)對應(yīng)著3.1個樣本。

同理可以計算得到如果選擇SVAR(4)、SVAR(5)、SVAR(6)、SVAR(7)模型，每個評估參數(shù)對應(yīng)的樣本分別為 2.3、1.9、1.6和1.3個，待估計參數(shù)對應(yīng)的樣本數(shù)太少，會出現(xiàn)“過擬合”的現(xiàn)象，估計結(jié)果不一定可靠。該節(jié)以試驗性為目的，研究SAVR(4)和 SVAR(5)模型的結(jié)果，如圖8所示，圖中X軸為公路隧道中的不同監(jiān)測點，Y軸為結(jié)構(gòu)-向量時間序列系統(tǒng)中其他監(jiān)測點變量的距離，Z軸則是計算得到的不同距離監(jiān)測點之間的相互作用。由圖8可知：三維網(wǎng)格表現(xiàn)為傾斜的趨勢，大體上相互作用大小隨著監(jiān)測點距離加大而不斷減少，可認為沉降數(shù)據(jù)在空間上相距越近其關(guān)聯(lián)性越大。

圖8 空間相關(guān)性分析結(jié)果

6 結(jié)論

針對目前對隧道沉降數(shù)據(jù)的預(yù)測方法未考慮數(shù)據(jù)空間關(guān)聯(lián)性的問題，建立了隧道沉降的自回歸滑動平均模型和結(jié)構(gòu)向量時間序列模型，可得如下結(jié)論：

(1)介紹自回歸模型與滑動平均模型的原理，針對某一隧道沉降數(shù)據(jù)建立AR(3)模型，該模型對于監(jiān)測點的平穩(wěn)沉降二階差分擬合值R2為0.685。

(2)考慮到ARMA模型每次只能對一條時間序列進行建模，為同時分析多條沉降時間序列和時間序列之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)合結(jié)構(gòu)方程方法和時間序列模型，建立結(jié)構(gòu)向量時間序列SVAR(3)模型，該模型對于監(jiān)測點的平穩(wěn)沉降二階差分擬合值R2為0.857以上，原始沉降數(shù)據(jù)的擬合值R2為0.985以上。