一道課本例題的拓展

熊杰

很多同學(xué)認(rèn)為學(xué)好高中數(shù)學(xué)是要做大量習(xí)題的，因此買了很多類型的參考書，做了很多看似復(fù)雜且困難的問題.殊不知，復(fù)雜的問題源于基本問題的組合，就連高考出題也本著“源于課本，高于課本”的宗旨，所以同學(xué)們在平時學(xué)習(xí)時一定要立足于課本.課本上的例題往往都是經(jīng)過精挑細(xì)選的，仔細(xì)研讀、揣摩這一道道經(jīng)典例題，思考其題設(shè)的起源，分析其解答的思路，再歸納其結(jié)論并用于新的問題解答，往往會讓我們別有收益.

一、深入探索

本例題是在學(xué)習(xí)過共線向量基本定理后的一道例題，例題的證明充分運用了共線向量定理，本例題也可以用相似三角形的比例關(guān)系來幫助理解，例如，當(dāng)點C在三角形AB邊上時，過點C作直線OA的平行線CD交OB于點D，

這個結(jié)論在延續(xù)舊知上是相當(dāng)于共線向量基本定理的一個引申活用形式，所得結(jié)論的形式又在一定程度上體現(xiàn)了與平面向量基本定理的關(guān)聯(lián)，在向量問題求解上更是可以將與三點共線的有關(guān)向量快速進行化簡，結(jié)論簡潔明了.

與課本例題相關(guān)的一個問題也出現(xiàn)在課本上，與例題構(gòu)成了逆命題關(guān)系.

分析

本題和例題對比相當(dāng)于是逆命題的關(guān)系，對本題的證明可以充分體現(xiàn)原題的條件和結(jié)論之間的充要條件關(guān)系.

根據(jù)我們所得的三點共線的向量相關(guān)結(jié)論，直接就可以發(fā)現(xiàn)點C的軌跡是直線AB，因此點C的軌跡方程也即是直線AB的方程.

二、結(jié)論應(yīng)用

解析

本題是高一的一道期末考試題，第一問是一道很基礎(chǔ)的問題，只需要將AB分解為已知向量即可，但是第二問學(xué)生就處理得很不理想，關(guān)鍵在于對A，B，H三點共線的這一條件的處理不到位.

歸納

本題的第二問即是對向量共線結(jié)論的一個運用，關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)A，B，H共線后，可以迅速地得出m，n兩者數(shù)量關(guān)系進而順利消元求解，對此結(jié)論不熟悉的同學(xué)往往會因為無法消元導(dǎo)致解答不能進行，因此對三點共線的這一特殊結(jié)論我們應(yīng)該好好地去理解感受.

分析

本題是一道證明三點共線的問題，白然是用向量共線來證明三點共線，借用以上例題所得結(jié)論的形式可以有目的地明確我們化簡和證明的方向，通過D，E，C三點均和0點相連，所以考慮我們從oD，

歸納

本題的三點共線證明是向量證明中常見的問題，總的化簡處理方向就是運用向量共線這個結(jié)論，證明中結(jié)合三點共線的關(guān)系式結(jié)論可以很明確地幫助我們化簡出相關(guān)的關(guān)系式.

三、探究拓展

分析

本題的結(jié)論和條件看似關(guān)聯(lián)不是很緊密，但只要認(rèn)真分析題目的條件，觀察本題圖形的特點，可以發(fā)現(xiàn)與x，y相關(guān)的兩個向量分別是AM，AN，而點E義和M，N在一條直線上，因此如果對向量三點共線結(jié)論比較熟悉的同學(xué)會敏銳地察覺到從這條路徑出發(fā)應(yīng)該會有所收獲.

歸納

本題若不運用三點共線的結(jié)論，勢必要進行一段較為煩瑣的化簡，中間過程比較復(fù)雜，很多同學(xué)會在此出錯或放棄，因此掌握這一結(jié)論對我們解題有極大的幫助.

課本上這道例題所推得的結(jié)論可以有助于我們有效地簡化運算，將不太熟悉和習(xí)慣的向量運算用一道簡潔的數(shù)學(xué)關(guān)系式體現(xiàn)出來，能有效地幫助我們化簡、消元，也能夠讓我們充分感受到數(shù)與形結(jié)合的奇妙意境.