例談兩直線的位置關(guān)系處理策略

王俊勝

兩直線的位置關(guān)系是平面解析幾何初步的重要內(nèi)容，也是高考中?？嫉闹匾R點(diǎn)之一.為此我們對兩直線的位置關(guān)系做了一些研究，望能給同學(xué)們的學(xué)習(xí)帶來裨益.

剖析

證明此題僅僅說明它們的斜率相等還不夠，還需說明它們在y軸上的截距不相等.

引申 如果直線l₁：Ax+By+c=0，且直線l₁//l₂，那么直線l₂的方程總可以寫成Ax+By+C₁=0（C₁≠C）.想一想，此結(jié)論是怎樣得到的？

變式

求與直線3x+4y+l=0平行，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為7/3的直線l的方程.

解析

設(shè)所求的直線 的方程為3χ+4y+t=0.當(dāng)x=0時(shí)，y=-t/4; 當(dāng)y=0時(shí)，x=—t/3·所以-t/3-t/4=7/3，即t=-4.故直線l 的方程為3x+4y-4=0.

例2

若直線ax+2y-1=0與直線x+（a-1）y+a²=0平行，則a=

錯(cuò)解

根據(jù)題意得a（a-1）=2，所以a=2或a=-l.

正解

根據(jù)題意得a（a-1）=2，所以a=2或以a=一l.

（l）當(dāng)a=2時(shí)，直線2x+2y - 1=0與直線x+y+4=0平行;

（2）當(dāng)a=一1時(shí)，直線-x+2y-l=0與直線x-2y+l=0重合，

綜上，a=2.

點(diǎn)評

此題是同學(xué)們常錯(cuò)題，也是?？碱}型，望同學(xué)們引起關(guān)注.

例3 直線l₁：2x+（m+1）y+4=0與直線l₂：mx+3y-2=0垂直，則M的值為

根據(jù)題意得2m+3（m+1）=0，所以，m=一3/5.

引申1 如果直線l₁：Ax+By+C=0，且直線l₁⊥l₂，那么直線l₂de方程總可以寫成Bx-Ay+C₁=0

引申2 如果直線l₁：A₁x+B₁y+C₁=0與直線l₂：A₂x+B₂y+C₂=0滿足l₁⊥l₂那么A₁A₂+B₁B₂=0.

例4 已知直線l₁：x+ay-5=0和直線l₂：ax+（a-2）y+1=0，當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，l₁⊥l₂？

錨解

根據(jù)題意得-1/a·（-a/a-2）=-1，所以a=1.

正解

根據(jù)題意，由引申2結(jié)論得a+a（a-2）=0，所以a=1或a=0.