二自由度碰振準(zhǔn)哈密頓系統(tǒng)雙碰周期解的Melnikov方法

張思進(jìn) 劉喻 吉德三

摘 ??要：采用攝動(dòng)法和Poincaré映射方法推導(dǎo)出了具有立方非線性項(xiàng)和外部激勵(lì)項(xiàng)的二自由度碰振系統(tǒng)周期解的擴(kuò)展Melnikov函數(shù)，并運(yùn)用該Melnikov函數(shù)研究了二自由度碰振系統(tǒng)的雙碰周期解特性，確定了系統(tǒng)穩(wěn)定雙碰周期2運(yùn)動(dòng)的存在條件，即在參數(shù)域內(nèi)的一條臨界曲線.通過數(shù)值模擬驗(yàn)證，結(jié)果表明：該臨界曲線下方區(qū)域參數(shù)是雙碰周期2運(yùn)動(dòng)，上方區(qū)域參數(shù)是非雙碰周期2運(yùn)動(dòng);當(dāng)保持其他參數(shù)不變，僅增加系統(tǒng)激勵(lì)幅值f時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)從多碰多周期運(yùn)動(dòng)逐步向雙碰周期2運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變;當(dāng)保持其他參數(shù)不變，僅增加系統(tǒng)恢復(fù)系數(shù)η0時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)從雙碰周期2運(yùn)動(dòng)逐步向多碰多周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變.

關(guān)鍵詞：碰振系統(tǒng);Melnikov方法;雙碰周期2運(yùn)動(dòng);Poincaré映射;擴(kuò)展Melnikov函數(shù)

中圖分類號(hào)：O322 ??????????????????????????????????文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Melnikov′s Method of Periodic Solutions with Double Impacts for

a 2-DOF Vibro-impact Quasi-Hamiltonian System

ZHANG Sijin1，LIU Yu1，JI Desan2

（1. College of Mechanical and Vehicle Engineering， Hunan University，Changsha 410082，China;

2. College of Science，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430065，China）

Abstract： Perturbation method and Poincaré mapping method were used to derive the generalized Melnikov function of the periodic solution for a two-degree-of-freedom vibro-impact system with cubic non-linearity and external excitations. By using the?Melnikov′s method， the characteristics of periodic motions with double-impact of the 2-dof system were studied， and the existence condition of period-2 motions with double-impact was determined as a critical curve in the parameter domain. The results of numerical simulations show that the regions below the critical curve are the period-2 motions with double-impact， the upper regions of the critical curve are not period-2 motions with double-impact;Meanwhile，increasing the force amplitude and keeping the other parameters unchanged， the motion state of the system changes from multi-period motions with multi-impact to period-2 motions with double-impact， while increasing the system restitution coefficient and keeping the other parameters unchanged， the motion state of the system changes from period-2 motions with double-impact to multi-period motions with multi-impact.

Key words： vibro-impact system; ?generalized Melnikov′s method;period-2 motion; Poincaré maping; generalized Melnikov′s function

在實(shí)際工程系統(tǒng)中往往存在碰撞、沖擊、干摩擦、變剛度、開關(guān)、閾值等大量非光滑因素，人們致力于研究力學(xué)系統(tǒng)中這些非光滑因素帶來(lái)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為.非光滑動(dòng)力系統(tǒng)通常表現(xiàn)出與光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)截然不同的特征，例如： 加周期分岔、擦邊分岔、粘滯分岔和C型混沌吸引子等.學(xué)者們[1-8]建立了非光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)定性理論（例如脈沖微分方程理論、微分包含理論、非光滑分岔理論等），它們?cè)诜治龇枪饣到y(tǒng)的分岔、混沌以及運(yùn)動(dòng)復(fù)雜性上發(fā)揮了重要作用.

碰撞振動(dòng)（簡(jiǎn)稱碰振）系統(tǒng)是一類典型的非光滑動(dòng)力系統(tǒng).針對(duì)這類系統(tǒng)早期的研究對(duì)象是沖擊消振器，該類系統(tǒng)一般為有擋板的單自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng).后來(lái)逐步發(fā)展為多自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng).Chávez等[9]研究了兩自由度的Jeffcott轉(zhuǎn)子的非光滑動(dòng)力學(xué)模型，在過載及粘性阻尼的共同作用下的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性.Xu等[10]研究了兩自由度振動(dòng)沖擊系統(tǒng)發(fā)生擦邊運(yùn)動(dòng)的存在性和穩(wěn)定性，并比較了兩自由度的Poincaré圖與原微分方程模擬圖，證明了不連續(xù)映射方法的有效性.Al-Shudeifat等[11]研究了加裝非線性能量阱（NES）的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)在單邊振動(dòng)沖擊下的響應(yīng)機(jī)制，著重探索了NES對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的抑制以及系統(tǒng)內(nèi)的靶向能量傳遞（TET）特性.Luo等[12]研究了帶間隙的二自由度周期強(qiáng)迫系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系.

近年來(lái)，不少學(xué)者開始應(yīng)用Melnikov方法來(lái)研究碰振系統(tǒng)的同宿軌道、亞諧周期運(yùn)動(dòng)、全局分岔乃至混沌運(yùn)動(dòng)等動(dòng)力學(xué)特性.Zhang等[13]將Melnikov方法應(yīng)用于碰振準(zhǔn)哈密頓系統(tǒng)的局部亞諧軌道，推導(dǎo)出了局部亞諧軌道的Melnikov函數(shù).Du等[14]以碰撞倒擺為模型，提出了一種同宿軌道與剛性面相切的非光滑同宿分岔的Melnikov方法.Yagasaki[15]將擴(kuò)展的分段光滑系統(tǒng)的次諧Melnikov函數(shù)應(yīng)用于三線性振動(dòng)器模型.更多非光滑系統(tǒng)的Melnikov方法參見文獻(xiàn)[16-19].

本文運(yùn)用攝動(dòng)法和Poincaré映射方法推導(dǎo)了二自由度準(zhǔn)哈密頓碰振振子系統(tǒng)雙碰周期2運(yùn)動(dòng)的Melikov函數(shù).此函數(shù)可以確定雙碰周期2運(yùn)動(dòng)和非雙碰周期2運(yùn)動(dòng)的參數(shù)區(qū)域，并通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了該分析方法的正確性.

1 ??非光滑準(zhǔn)哈密頓系統(tǒng)的描述

考慮以下二自由度非線性碰振振子（圖1），當(dāng) 時(shí)，兩質(zhì)量塊非碰振運(yùn)動(dòng)的控制方程為：

忽略碰振瞬間兩質(zhì)量塊的位移改變，當(dāng)x1 - x2 = δ時(shí)發(fā)生完全彈性碰撞;由于碰振過程中動(dòng)量守恒和能量守恒，有：

以上兩式中：ε表示O（1）小量分別表示碰振前和碰振后的速度;f（x）表示單位質(zhì)量塊上作用的恢復(fù)力，εg1（t）是周期為T 的周期性激勵(lì)函數(shù);1-εη0∈（0，1]表示碰振恢復(fù)系數(shù);δ是質(zhì)量塊m1與質(zhì)量塊m2之間的間隙.

方程（1）和（2）可以改寫為如下矢量形式：

該擾動(dòng)系統(tǒng)（3）則被稱為準(zhǔn)哈密頓碰振系統(tǒng).其中，

{X1，X2} = {x1，y1，x2，y2}

JDH1（X1） = {？墜H1/？墜y1，-？墜H1/？墜x1}

JDH2（X2） = {？墜H2/？墜y2，-？墜H2/？墜x2}

G1（X1，t） = {0，g1（x1，y1，t）}

G2（X2，t） = {0，g2（x2，y2，t）}

當(dāng)ε=0時(shí)，方程（3）可以表示為（所謂未擾系統(tǒng)）：

為了研究在外部激勵(lì)和粘性阻尼作用下的二自由度碰振系統(tǒng)（1）雙碰周期運(yùn)動(dòng)的存在性，我們將通過分析手段構(gòu)建雙碰周期2運(yùn)動(dòng)的廣義Melnikov函數(shù).

2 ??碰振準(zhǔn)哈密頓系統(tǒng)雙碰周期的Melnikov

函數(shù)

方程（4）描述的未擾系統(tǒng)碰振過程一般比較復(fù)雜，為便于分析，這里僅考慮兩質(zhì)量塊碰撞面是固定的情形.引入以下假設(shè)：

1）方程（4）有一簇周期軌道，可以表示為L(zhǎng)1=

2）Xh11 ?（t）和Xh22 ?（t）的周期分別為T1（h1）和

T2（h2）;

3）共振關(guān)系應(yīng)該滿足以下條件

這里Mj和nj （j=1，2）是互質(zhì)整數(shù).

研究擾動(dòng)系統(tǒng)（3）的雙碰周期2運(yùn)動(dòng)，其軌道如圖2所示.由于方程（3）中的兩個(gè)表達(dá)式類似，這里我們僅分析前一個(gè)方程的擾動(dòng)軌道，可以用同樣的方法分析第二個(gè)方程.

當(dāng)x1 - x2 小于δ時(shí)，擾動(dòng)軌道Xε（t，t0）是光滑的，因此可以將其展開成泰勒級(jí)數(shù)的形式，如下：

Xε（t，t0，ε） = Xα（t - t0） + εX（1）（t，t0） + O（ε2） ? （6）

式中，Xα（t）表示未擾軌道表達(dá)式.

為了便于分析，定義以下算子：

Δ（t，t0） = F（Xα（t - t0））∧Xα（t，t0） （7）

Δ0（t，t0） = F（Xα（t - t0））∧Xε（t - t0） （8）

Δ1（t，t0） = F（Xα（t - t0））∧X（1）（t - t0） （9）

光滑條件下，我們可以得到：

Δ1（t，t0） = F（Xα（t - t0））∧H（Xα（t - t0），t） （10）

這里∧表示楔形算子.

接下來(lái)，我們考慮始于截面經(jīng)過mT時(shí)間后返回到該截面的擾動(dòng)軌跡Xε（t，t0）.Poincaré截面上起始點(diǎn)和返回點(diǎn)間的距離（見圖2）可以通過下式計(jì)算，得：

d（t0）==

[Δ（t0+mT，t0）-Δ（t0，t0）]/DH（Xα（0））

（11）

雙碰周期2運(yùn)動(dòng)的Melnikov函數(shù)定義為：

Mm（t0） = Δ1（t0 + mT，t0） - Δ1（t0，t0） ?（12）

將方程（12）改寫為以下分段表達(dá)的形式：

Mm（t0）=Δ1（t0+mT，t0）-Δ1（t0，t0）=

=Δ1（t0+mT，t0）-Δ1（tε ??2，-，t0）+

Δ1（tε ??2，-，t0）-Δ1（tε ??1，+，t0）+Δ1（tε ??1，+，t0）-Δ1（tε ??1，-，t0）+

Δ1（tε ??1，-，t0）-Δ1（t0，t0） （13）

然后，將方程（9）對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得：

dΔ1（t，t0）/dt=DH（Xα（t-t0））·G（Xα（t-t0），t）（14）

在積分區(qū)間[t0，tε ??1，-]內(nèi)積分，并結(jié)合分段表達(dá)式Xα-（t-t0），可得：

Δ1（tε ??1，-，t0）-Δ1（t0，t0）=

H（Xα-（t-t0））·G（Xα-（t-t0），t）dt（15）

假設(shè)tε ??1，±，tα ??1，±，tε ??2，±，tα ??2，±分別是擾動(dòng)軌道和非擾動(dòng)軌道到達(dá)碰撞面x1 - x2 = δ的時(shí)刻，將表達(dá)式tε ±在未擾軌道碰振時(shí)間tα ±處展開，得：

tε ??1，± = tα ??1，± + εt1 ??1，± + O（ε2） ? （16）

將式（16）代入式（15），得

Δ1（tε ??1，-，t0）-Δ1（t0，t0）=

）

類似地，在區(qū)間[tε ??1，+，tε ??2，-]內(nèi)積分方程（14），得

Δ1（tε ??1，+，t0）-Δ1（tε ??2，-，t0）=

）

由式（16）易知下式成立：

Δ1（tε ??1，+，t0）-Δ1（tε ??1，-，t0）=Δ1（tα ??1，+，t0）-Δ1（tα ??1，-，t0）+O（ε）

（19）

將式（17）～（19）代入式（13），得到

Δ1（tα ??1，+，t0）-Δ1（tα ??1，-，t0）+Δ1（tα ??2，+，t0）-Δ1（tα ??2，-，t0）+O（ε）

（20）

接下來(lái)，將表達(dá)式Δ1（tα ??1，+，t0）-Δ1（tα ??1，-，t0）運(yùn)用泰勒公式展開，并結(jié)合方程（6）和定義算子（7）～（9），易知：

Δ（tα ??1，+，t0）-Δ（tα ??1，-，t0）=Δ0（tα ??1，+，t0）-Δ0（tα ??1，-，t0）+

ε[Δ1（tα ??1，+，t0）-Δ1（tα ??1，-，t0）]+O（ε2）（21）

注意到未擾軌道是封閉的，所以

Δ0（tα ??1，+，t0）-Δ0（tα ??1，-，t0）=0（22）

因而，Δ1（tα ??1，+，t0）-Δ1（tα ??1，-，t0）≈[Δ（tα ??1，+，t0）-Δ（tα ??1，-，t0）]/ε.又根據(jù)算子定義：

Δ（tα ??1，+，t0）-Δ（tα ??1，-，t0）=

[f1（Xα1（tα ??1，+-t0）Xε1（tα ??1，+，t0））+

（Yα1（tα ??1，+，t0）-Yα2（tα ??1，+，t0））（Yε1（tε ??1，+，t0）-Yε2（tε ??1，+，t0））]-

[f2（Xα1（tα ??1，--t0）Xε1（tα ??1，-，t0））+

（Yα1（tα ??1，-，t0）-Yα2（tα ??1，-，t0））（Yε1（tε ??1，-，t0）-Yε2（tε ??1，-，t0））]

（23）

將上式中Xε（tε ??1，±，t0）在時(shí)間tα±處做泰勒展開，

如下：

Xε1（tα ??1，±，t0）=Xα1（tε ??1，±，t0）-εYα1（tα ??1，±-t0）t1 ??1，±+O（ε2）Yε1（tα ??1，±，t0）=Yα1（tε ??1，±，t0）+εf1（Yα1（tα ??1，±-t0））t1 ??1，±+O（ε2）

（24）

以上分析了兩質(zhì)量塊未發(fā)生接觸時(shí)，質(zhì)量塊m1的運(yùn)動(dòng)軌線部分（碰撞面右邊部分）;類似可得質(zhì)量塊m2的亞諧運(yùn)動(dòng)軌線表達(dá)式，這里不再詳細(xì)描述.

下面我們重點(diǎn)分析兩質(zhì)量塊發(fā)生碰振瞬間（23）式的具體計(jì)算.根據(jù)碰撞法則兩質(zhì)量塊應(yīng)在同一時(shí)刻到達(dá)碰撞面處，因此對(duì)于兩質(zhì)量塊的擾動(dòng)和未擾動(dòng)軌道，下列關(guān)系式顯然成立：

tε ??1，+ = tε ??1，-Xε1（tε ??1，+，t0）=Xε1（tε ??1，-，t0）Xε2（tε ??1，+，t0）=Xε2（tε ??1，-，t0）Yε1（tε ??1，+，t0）-Yε2（tε ??1，+，t0）= ????????-（1-εη0）（Yε1（tε ??1，-，t0）-Yε2（tε ??1，-，t0））

（25）

tα ??1，+ = tα ??1，-Xα1（tα ??1，+-t0）=Xα1（tα ??1，--t0）Xα2（tα ??1，+-t0）=Xα2（tα ??1，--t0）Yα1（tα ??1，+，t0）-Yα2（tα ??1，+，t0）= ????????-（Yα1（tα ??1，-，t0）-Yα2（tα ??1，-，t0）） （26）

類似地，展開表達(dá)式Y(jié)ε（tε ??1，±，t0），得：

Xε2（tα ??1，±，t0）=Xα2（tε ??1，±，t0）-εYα2（tα ??1，±-t0）t1 ??1，±+O（ε2）Yε2（tα ??1，±，t0）=Yα2（tε ??1，±，t0）+εf2（Yα1（tα ??1，±-t0））t1 ??1，±+O（ε2）

（27）

將（24）-（27）式代入（23）式并結(jié)合（16）式，可知：

Δ（tα ??1，+，t0）-Δ（tα ??1，-，t0）=

（Yα1（tα ??1，+，t0）-Yα2（tα ??1，+，t0））（Yε1（tε ??1，+，t0）-Yε2（tε ??1，+，t0））-

（Yα1（tα ??1，-，t0）-Yα2（tα ??1，-，t0））（Yε1（tε ??1，-，t0）-Yε2（tε ??1，-，t0））=

-εη0（Yα1（tα ??1，-，t0）-Yα2（tα ??1，-，t0））（Yε1（tε ??1，-，t0）-Yε2（tε ??1，-，t0））

（28）

又因?yàn)椋?/p>

Yε1（tε ??1，-，t0）-Yε2（tε ??1，-，t0）=Yα1（tα ??1，-，t0）-Yα2（tα ??1，-，t0）+O（ε）

（29）

重新整理方程（28）得

Δ（tα ??1，+，t0）-Δ（tα ??1，-，t0）=

-εηε2）

（33）

注意到t

3 ??雙碰周期運(yùn)動(dòng)Melnikov函數(shù)的應(yīng)用

3.1 ??準(zhǔn)哈密頓系統(tǒng)模型

以前面（圖1）給出的碰振準(zhǔn)哈密頓機(jī)械動(dòng)力學(xué)模型為例，此處的兩質(zhì)量塊分別用非線性彈簧k1 - K1x21和k2 - K2x22以及阻尼系數(shù)為c1和c2的線性阻尼器連接在一起.設(shè)兩質(zhì)量塊分別作用幅值為F1和F2，頻率為Ω簡(jiǎn)諧力.系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程如下：

r是碰振恢復(fù)系數(shù).為便于分析，考慮弱阻尼小激勵(lì)條件下，將方程（36）和（37）的無(wú)量綱形式可以分別化簡(jiǎn)如下：

x″1 + 2εμ1 x′1 + ω21x1 - α1x31= εf1 cosΩ 0τx″2 + 2εμ2 x″2 + ω22x2 - α2x32= εf2 cosΩ 0τ（38）

x′+1 ??+ μm x′+2 ??= x′-1 ??+ μm x′-2 ?x′+1 ??- ?x′+2 ??= -（1 - εη0）（x′-1 ??- x′-2 ?）（39）

這里

3.2 ??準(zhǔn)哈密頓周期軌道分析

將方程（36）改寫成如下形式：

x′1 = y1，y′1 = -ω21x1 + α1x31 + ε（-2μ1y1 + f1cosΩτ）

（40）

x′2 = y2，y′2 = -ω22x2 + α2x32 + ε（-2μ2y2 + f2cosΩτ）

（41）

當(dāng)ε=0時(shí)，未擾系統(tǒng)（40）和（41）為Hamilton系統(tǒng)，其哈密頓作用量為：

（44）

L

（45）

此處的dn（·），cn（·），sn（·）均為橢圓函數(shù).

如果未擾系統(tǒng)沒有發(fā)生碰振，那么周期軌道的周期可以表示為

Tα（k類橢圓積分.

然而，碰振會(huì)導(dǎo)致周期軌道破裂，碰振后的軌道周期為：

T（k） = Tα（k） - ΔT ? （47）

式中ΔT為完整軌道穿越切換面的時(shí)間，它可以由解除條件來(lái)確定：

由于考慮的是周期二運(yùn)動(dòng)，且1 ∶ 1的內(nèi)共振情況，結(jié)合公式（5），即1，可得：

2T0（k） - 2ΔT = 2T ? （49）

方程（48）和（49）可用于確定周期 的未擾軌道的橢圓模量.

將公式（44）～（45）代入（35），得：

M2（（51）

其中：

Z1 ）dτ+

，+cosΩ（τ+τ0）+y2，+cosΩ（τ+τ0））dτ.

根據(jù)Melnikov理論，如果擾動(dòng)系統(tǒng)（40）～（41）存在周期軌道，那么M（τ0）存在簡(jiǎn)單零點(diǎn)，因此可得雙碰周期2運(yùn)動(dòng)存在的必要條件：

-2Z1μ - 4η0Z2 + fZ3（τ0）max ≥ 0 ? （52）

將參數(shù)μ = 0.1，ω = 2，Ω = 3，δ = 2，代入公式（52），可得系統(tǒng)激勵(lì)幅值和恢復(fù)系數(shù)間的關(guān)系：

2.813 4 f - 9.964 8 - 3.2η0 ≥ 0（53）

3.3 ??數(shù)值仿真

方程（53）確定的臨界線將參數(shù)（f，η0）分為上下兩個(gè)部分：臨界線下方區(qū)域是雙碰周期2運(yùn)動(dòng)，臨界線上方的區(qū)域均為非雙碰周期2運(yùn)動(dòng).為了驗(yàn)證這一結(jié)論，取點(diǎn)A到點(diǎn)F（如圖3）六個(gè)不同系統(tǒng)參數(shù)來(lái)進(jìn)行模擬.圖4～圖10是圖3中各點(diǎn)對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)的相圖，實(shí)線與虛線分別代表質(zhì)量塊m1和質(zhì)量塊m2的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其余參數(shù)取值：α1 = 0.1，α2 = 0.3，μm = 1.

圖4中（a）～（b）分別是系統(tǒng)在A點(diǎn)參數(shù)下運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)相圖.從圖中可以看出，系統(tǒng)表現(xiàn)為雙碰周期2運(yùn)動(dòng).同樣位于臨界線下方的B點(diǎn)和C點(diǎn)也表現(xiàn)出相似的雙碰周期2運(yùn)動(dòng)，其相對(duì)運(yùn)動(dòng)相圖見圖5和圖6.

取臨界線上方點(diǎn)D和F驗(yàn)證時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)可能表現(xiàn)為三碰周期3的，也可能表現(xiàn)為四碰周期4的，甚至變?yōu)閺?fù)雜的多周期多碰運(yùn)動(dòng).其相對(duì)運(yùn)動(dòng)相圖見圖7和圖8.

當(dāng)固定參數(shù)f = 7不變時(shí)，εη0從0.25（B點(diǎn)）逐漸增大到0.6（H點(diǎn)），中間經(jīng)過εη0 = 0.4（E點(diǎn)），系統(tǒng)由雙碰周期2運(yùn)動(dòng)變?yōu)槿鲋芷?，最后又變?yōu)槎嘀芷诘亩嗯鲞\(yùn)動(dòng).E點(diǎn)和H點(diǎn)的相圖如圖9和

當(dāng)固定參數(shù)εη0 = 0.4不變時(shí)，f從6（G點(diǎn)）逐漸增大到9（C點(diǎn)），中間經(jīng)過f = 7（E點(diǎn)），系統(tǒng)由二碰周期2運(yùn)動(dòng)逐步變?yōu)槎嘀芷诙嗯鲞\(yùn)動(dòng).G點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)相圖見圖11.

4 ??結(jié) ??論

本文應(yīng)用改進(jìn)的局部亞諧Melnikov方法來(lái)研究具有立方項(xiàng)和外部激勵(lì)的二自由度非線性準(zhǔn)哈密頓碰振系統(tǒng)的雙碰周期運(yùn)動(dòng)特性.通過分析，構(gòu)建了雙碰周期2運(yùn)動(dòng)的Melnikov函數(shù)，得到了雙碰周期2運(yùn)動(dòng)的存在條件.該條件將系統(tǒng)的參數(shù)區(qū)域分為雙碰周期2運(yùn)動(dòng)參數(shù)區(qū)域和非雙碰周期2參數(shù)區(qū)域兩部分.最后通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了Melnikov方法分析二自由度碰振系統(tǒng)雙碰周期2運(yùn)動(dòng)的有效性.

此外數(shù)值結(jié)果還表明，當(dāng)保留其他參數(shù)不變，僅增加力f時(shí)，系統(tǒng)由多碰多周期運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過三碰周期3運(yùn)動(dòng)，最后達(dá)到雙碰周期2運(yùn)動(dòng).同樣地，當(dāng)保留其他參數(shù)不變，僅增加η0時(shí)，系統(tǒng)由雙碰周期2運(yùn)動(dòng)逐步變?yōu)槎嗯龆嘀芷谶\(yùn)動(dòng).故可適當(dāng)控制參數(shù) f和參數(shù)η0的取值，使系統(tǒng)盡量避免復(fù)雜的高頻振動(dòng).

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