GGB軟件在設(shè)置動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題中的應(yīng)用——以特殊位置問(wèn)題為例

曾飛鵬

GeoGebra（GGB）是數(shù)學(xué)教授MarkusHohenwarter創(chuàng)建的免費(fèi)動(dòng)態(tài)教學(xué)軟件，能將幾何（Geometry）與代數(shù)（Algebra）以直觀、易用的方式集于一體，其功能強(qiáng)大，操作簡(jiǎn)單，資源豐富，能夠在電腦、平板、手機(jī)等設(shè)備上運(yùn)行，占用空間小，被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、化學(xué)、物理等學(xué)科教學(xué).

動(dòng)態(tài)幾何是初中數(shù)學(xué)重要的教學(xué)內(nèi)容，也是每年中考的壓軸問(wèn)題，以近年廣東省中考為例，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題常常在中考中以幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)、平移、旋轉(zhuǎn)、折疊為背景，考察線段、面積的最值，以及運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的特殊位置問(wèn)題等，因此動(dòng)態(tài)問(wèn)題是初三復(fù)習(xí)重要專題，由于動(dòng)態(tài)幾何題目信息量大，有一定難度，若一堂課講多道題，則只能就題講題趕速度;若一堂課只講一道題，則課堂效率低下，那么，充分利用題干，進(jìn)行變式教學(xué)，顯得尤為重要，而進(jìn)行變式教學(xué)的關(guān)鍵是能編制出有代表性的例題，設(shè)置出恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題，好的問(wèn)題既能給學(xué)生以方法上的指引，又能引發(fā)學(xué)生探究問(wèn)題的興趣，還能培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力.GGB軟件的動(dòng)畫(huà)功能，能幫助教師、學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，更好的發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而有效提高動(dòng)態(tài)幾何教學(xué)的效率.

本文在《在平板上利用GGB軟件探究動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題》課題組研究的基礎(chǔ)上，以課題組公開(kāi)課《動(dòng)態(tài)幾何中的特殊位置問(wèn)題》的備課歷程為例，簡(jiǎn)述利用GGB軟件的動(dòng)畫(huà)功能設(shè)置動(dòng)態(tài)幾何中的特殊位置問(wèn)題.

例題如圖1，在矩形ABCD中，AB= 6cm，BC= 8cm，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC方向以相同速度運(yùn)動(dòng)，連接PO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作QF∥AC，交BD于點(diǎn)F.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f（s）（0

本題原型為2016年青島中考題，若只就題講題，則課堂會(huì)略顯單調(diào)，學(xué)生所學(xué)的思想方法不能及時(shí)加以應(yīng)用鞏固，不妨將本題作如下幾方面思考研究：

1 與面積有關(guān)問(wèn)題

以廣東省中考為例，壓軸題通常會(huì)在動(dòng)態(tài)幾何背景下，考查二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)，而動(dòng)態(tài)幾何與二次函數(shù)相結(jié)合的問(wèn)題中，面積問(wèn)題又是最常見(jiàn)的考題，哪些三角形面積可表達(dá)為關(guān)于某個(gè)自變量的二次函數(shù)形式呢？怎樣巧妙設(shè)問(wèn)，才能達(dá)到預(yù)設(shè)效果呢？對(duì)于這些問(wèn)題，GGB軟件可以很快解決，如圖2，選定點(diǎn)P，E，Q，構(gòu)造APEQ，輸入（距離（A，P），面積（P，Q，E）），得到以t為橫坐標(biāo)，PEQ的面積為縱坐標(biāo)的點(diǎn)，，跟蹤點(diǎn)，的軌跡，可以得到APEQ的面積關(guān)于t的函數(shù)圖象，依據(jù)圖像，可以發(fā)現(xiàn)PEQ的面積是關(guān)于t的二次函數(shù)，符合中考考查題型，在此基礎(chǔ)上，教師可根據(jù)實(shí)際情況，設(shè)置各種與函數(shù)最值有關(guān)的，或者與方程的解有關(guān)的問(wèn)題，如問(wèn)題（1）當(dāng)APEQ面積最大時(shí)，求t的值，或者“當(dāng)PEQ面積為16時(shí)，求t的值”;“PEQ面積可以等于10嗎？若能，求t的值，若不能，說(shuō)明理由”等等，這類問(wèn)題利用差值法可以輕松得到SAPEQ=t2-7t +24，當(dāng)APEQ的面積最大時(shí)，t=7/2;當(dāng)△PEQ面積為16時(shí)，;由 或者由+24=10無(wú)解，可得△PEQ面積不可以等于10.用同樣的方法操作方法，還可以提出問(wèn)題（2）當(dāng)時(shí)，求f的值.

2 與角有關(guān)問(wèn)題

隨著點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)，圖形中大量的角也在隨之變化，根據(jù)角的變化，大致可以設(shè)置一下兩種基本題型.

2.1 直接由角的關(guān)系設(shè)問(wèn)

如圖3，度量∠POD，∠COD.啟動(dòng)動(dòng)畫(huà)，發(fā)現(xiàn)隨著點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)，∠POD逐漸減小，據(jù)此，可提出問(wèn)題（3）當(dāng)OD平分∠COP時(shí)，求t的值，通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)OD平分∠COP是存在的，那么，這類問(wèn)題是否符合初中學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)？我們知道，對(duì)于角平分線相關(guān)問(wèn)題，大致可以從角平分線的性質(zhì)定理和角平分線的定義兩個(gè)角度來(lái)解決問(wèn)題.

2.2 由線的位置關(guān)系設(shè)問(wèn)

線的位置關(guān)系可由角的大小或者角與角之間的大小關(guān)系決定，所以，可以通過(guò)度量角來(lái)設(shè)置與線的位置關(guān)系的問(wèn)題，如圖5，設(shè)BD，AC交于點(diǎn)G，度量∠DGQ，可以發(fā)現(xiàn)，隨著點(diǎn)P、點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)，∠DGQ逐漸增大，當(dāng)達(dá)到某個(gè)位置時(shí)，∠DGQ= 900，據(jù)此，可提出問(wèn)題（4）當(dāng)PQ上BD時(shí)，求，的值，而解決這類問(wèn)題涉及知識(shí)點(diǎn)為初中常見(jiàn)考點(diǎn)：利用相似三角形的性質(zhì)或三角函數(shù)列方程，簡(jiǎn)單思路如下：由題意知∠PQD= ∠BDA，所以tan∠PQD= tan∠BDA，，列方程，得t=32/7，若想考查學(xué)生利用相似三角形的性質(zhì)或三角函數(shù)解題能力，還可以提出更為新穎的問(wèn)題（5）當(dāng)點(diǎn)P，點(diǎn)F，點(diǎn)Q共線時(shí)，求t的值，實(shí)際上，該題只要將三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為∠PQD=∠ACD，從而tan∠PQD= tan∠ACD，列方程，得t=24/7，我們還容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠DBC=∠QEC時(shí)，QE∥DB，那么有問(wèn)題（6）當(dāng)QE∥DB時(shí)，求t的值，啟動(dòng)動(dòng)畫(huà)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)O

3 與線段數(shù)量關(guān)系有關(guān)問(wèn)題

在GGB繪圖區(qū)顯示將想要考察的線段標(biāo)簽，如本題線段AP的標(biāo)簽為線段a，將線段的長(zhǎng)從代數(shù)區(qū)拖入繪圖區(qū)，如圖6，清晰地顯示在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，各線段大小的變化情況，我們提出問(wèn)題（7），當(dāng)FQ=PO時(shí)，求t的值，而解決本題的關(guān)鍵是利用ADFQ

我們還可以進(jìn)一步探究，設(shè)置一些符合初中生認(rèn)知水平的問(wèn)題，當(dāng)然，探究出來(lái)的問(wèn)題，既可以教師直接提出，也可以啟發(fā)學(xué)生自行設(shè)置;既可以在課堂與學(xué)生共同完成一部分，還可以留一些問(wèn)題作為課后思考與練習(xí)用以加強(qiáng)與鞏固，總之，利用GGB進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出設(shè)想，通過(guò)演算驗(yàn)證，從而設(shè)置出恰當(dāng)?shù)牧?xí)題，既能提高教師備課效率，又能提高課堂效率，解放學(xué)生，在教學(xué)中，教師不妨遇到有價(jià)值的習(xí)題，多利用信息技術(shù)工具進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，在不斷地研究過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，與學(xué)生共享新的發(fā)現(xiàn)，將課堂提升為探究式的、研究性的新型課堂教學(xué)模式，