“正交分解”在高中物理習(xí)題中的應(yīng)用

福建省安溪銘選中學(xué) 林澤煒

一、基本模型分解力

正交分解，是指把力沿著兩個(gè)選定的相互垂直的坐標(biāo)軸方向加以分解的方法，通過必修1的教學(xué)，學(xué)生已能使用正交分解分析水平面、豎直面和斜面上的物體，正交分解模型基本確立。

二、活化模型分解運(yùn)動(dòng)量

經(jīng)典問題1：用一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線一端系一小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，另一端固定在一個(gè)光滑錐頂上，如圖所示，錐面與豎直方向夾角為θ，小球沿著錐面在水平面內(nèi)做向心加速度為a的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若小球未離開斜面，試分析細(xì)線的張力FT和錐面的支持力N與a的關(guān)系。

本問題是要利用牛頓第二定律分析物體的圓周運(yùn)動(dòng)，按常規(guī)思路，應(yīng)將力沿平行半徑和垂直半徑的方向進(jìn)行分解，做法如下：

方法1：如圖甲，

水平：FT·sinθ-N·cosθ=ma①

豎直：FT·cosθ+N·sinθ=mg②

①×sinθ+②×cosθ得：FT=masinθ+mgcosθ

②×sinθ-①×cosθ得：N=mgsinθ-m·acosθ

這種方法格式固定、容易理解，但由于涉及比較巧妙的數(shù)學(xué)運(yùn)算，方程不易求解。如果這是一道選擇題，會(huì)列方程卻不會(huì)求解，做了也白做。根據(jù)獨(dú)立性原理，某方向上的力只會(huì)產(chǎn)生該方向上的加速度，這給我們分析問題提供了又一思路。

方法2：如圖乙，

沿錐面：FT-mg·cosθ=m·asinθ

垂直錐面：mg·sinθ-N=m·acosθ

移項(xiàng)即有：FT=masinθ+mgcosθ

N=mgsinθ-m·acosθ

這里，將力和向心加速度同時(shí)沿平行斜面和垂直斜面進(jìn)行分解，分方向列出牛頓第二定律后，移項(xiàng)即可得出答案。對(duì)于“斜面上”的物體，如果加速度沿水平或豎直方向，在分解力的同時(shí)“按需”分解加速度，往往能化繁為易，減小運(yùn)算量。

經(jīng)典問題2：水平面上固定一個(gè)傾角為α的斜面，將一個(gè)小球從斜面頂端以速度v0水平拋出，不計(jì)空氣阻力的影響，經(jīng)過時(shí)間t小球落在斜面上，求在這一運(yùn)動(dòng)過程中小球距斜面的最遠(yuǎn)距離hm=?

分析做平拋運(yùn)動(dòng)的物體時(shí)，正交分解因其“化曲為直”的優(yōu)點(diǎn)而被廣泛使用。本問題中，如果采用常規(guī)思路，把平拋分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體，我們很難找出最遠(yuǎn)距離同平拋的水平位移和豎直位移之間的幾何關(guān)系。如果把重力和初速度均沿平行斜面和垂直斜面進(jìn)行分解，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的等效性，平拋可視為平行斜面的勻加速直線運(yùn)動(dòng)（a1=gsinα）和垂直斜面的勻減速直線運(yùn)動(dòng)（a2=gcosα）的合運(yùn)動(dòng)，容易發(fā)現(xiàn)：當(dāng)垂直斜面的分速度減小為0，即：

這時(shí)，物體離斜面最遠(yuǎn)，這個(gè)最遠(yuǎn)距離恰好等于物體在該方向勻減速到0時(shí)前進(jìn)的位移，即：

像“物體在某個(gè)方向運(yùn)動(dòng)（這個(gè)方向稱為x方向，與之垂直的方向稱為y方向）的最大距離”一類的問題，把力和速度同時(shí)沿x 方向和y 方向進(jìn)行正交分解，抓住沿x方向減速到0的特征，思路就比較清晰。

三、深化物理模型分解電場(chǎng)強(qiáng)度

經(jīng)典問題3：如圖所示，A、B、C、D、E、F為勻強(qiáng)電場(chǎng)中一個(gè)邊長(zhǎng)為1m的正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)（勻強(qiáng)電場(chǎng)和六邊形所在平面平行），B、C、F三點(diǎn)電勢(shì)分別為1 V、2 V、3 V，該勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為______V/m。

大眾印象中，正交分解只是分析動(dòng)力學(xué)問題的“利器”，但實(shí)際上它也是解決其他矢量問題的有力工具。比如，勻強(qiáng)電場(chǎng)中，根據(jù)電場(chǎng)的特性，水平（豎直）方向的電場(chǎng)在豎直（水平）方向上不會(huì)產(chǎn)生電勢(shì)差，如果將電場(chǎng)正交分解為水平（x方向）和豎直（y方向）兩個(gè)相互垂直的方向的電場(chǎng)Ex 和Ey，那就可以理解為水平（豎直）方向的電場(chǎng)產(chǎn)生水平（豎直）方向的電勢(shì)差，于是有：Ex=Ux/dx；Ey=Uy/dy，其中Ex、Ux、dx（Ey、Uy、dy）分別對(duì)應(yīng)x方向（y方向）上兩點(diǎn)間的電場(chǎng)強(qiáng)度、電勢(shì)差和距離。

本題中，因UC-UB=UE-UF，則UE=4V；FC連線中點(diǎn)的電勢(shì)為U0=UCF/2=2.5V，則由UO-UC=UE-UD可知UD=3.5V，由UA-UB=UE-UD可知UA=1.5V；若將電場(chǎng)沿DC方向和DF方向進(jìn)行正交分解，容易求得：

水平分電場(chǎng)：

豎直分電場(chǎng)：

再根據(jù)矢量合成容易得出總電場(chǎng)強(qiáng)度：

可見，正交分解法有助于學(xué)生深入理解勻強(qiáng)電場(chǎng)U=Ed這一規(guī)律的本質(zhì)特征，對(duì)于分析已知某三個(gè)點(diǎn)電勢(shì)的勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)，能有效避開復(fù)雜的幾何分析。

四、結(jié)語(yǔ)

正交分解加速度、速度和電場(chǎng)強(qiáng)度，根據(jù)需要分解不同的物理量，選擇不同的分解方向，這種“按需”分解對(duì)于解決諸多矢量問題往往有事半功倍的奇效。這些問題的解決，活化了正交分解的方法，深化了正交分解的模型，豐富了正交分解的內(nèi)涵，也推動(dòng)了科學(xué)思維這一學(xué)科核心素養(yǎng)的有效滲透。