活躍在不等式試題中的幾個重要不等式

安徽省樅陽縣宏實中學(246700) 江保兵

在中學數(shù)學期刊雜志中如《數(shù)學通報》、《數(shù)學通訊》、《數(shù)學教學》等等每期都推出幾道的不等式試題, 不等式問題專家安振平先生每天在新浪博客中都推出幾道新穎的不等式試題,這些精美的不等式,往往使人絞盡腦汁,但又讓人愛不釋手.在敬佩、感嘆之余,人們心中往往產(chǎn)生一個疑惑: 這些不等式是怎么想到的? 可有什么命制試題的方法?筆者發(fā)現(xiàn),無論是期刊上的征解試題,還是安振平先生博客中的不等式試題,有幾個重要的不等式在試題命制時使用的頻率較高,因此我們非常有必要對這些不等式有所了解.

1.琴生不等式

琴生不等式是丹麥數(shù)學家琴生在1905年至1906年間所建立的,具體內(nèi)容如下:

若函數(shù)f(x) 為區(qū)間I 上的凸函數(shù), 則對任意xi∈I,λi>0(i=1,2,··· ,n),且λ1+λ2+···+λn=1,則有:

若函數(shù)f(x)為區(qū)間I 上的凹函數(shù),上述不等式反向.

例1(《數(shù)學通訊》2018年第七期問題征解361題) 已知正實數(shù)x,y,z 滿足x+y+z=1, 若不等式恒成立,求M 的最小值.

解構(gòu)造函數(shù):即為定義域上的凹函數(shù),由琴生不等式:

所以M 的最小值為1.

例2(《數(shù)學通訊》2018年第七期問題征解364 題)已知正數(shù)ai(i=1,2,··· ,n,2n ∈N?)滿足a1a2···an=1,求證:

證明不妨設(shè)a1a2···an,則:由排序原理:

其中最后一步應(yīng)用了均值不等式:

下面不等式的命制方法也是根據(jù)琴生不等式來命制的,讀者不妨體會一下.

(1) (安振平新浪博客不等式問題4499 題) 設(shè)a,b,c ∈R+且a+b+c=1,求證:

2.嵌入不等式

首先介紹一下嵌入不等式: 設(shè)A,B,C 為任意三角形的三個內(nèi)角, x,y,z 為任意實數(shù).則有: x2+y2+z22xy cos C+2yz cos A+2zx cos B.

簡證x2+y2+z2?(2xy cos C+2yz cos A+2zx cos B)=(x?y cos C?z cos B)2+(y sin C?z sin B)20.

例3( 2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽安徽省初賽第11題)(1) 求證: 對于任意實數(shù)x,y,z,都有: x2+2y2 +3z2

簡析從試題的結(jié)構(gòu),我們一眼就能看出來,這道試題是利用嵌入不等式來命制的.解題時先從第二問入手,即解決問題的一般情形: 即是否存在實數(shù)使得對于任意實數(shù)x,y,z,x2+2y2+3z2k(xy+yz+zx)恒成立? 結(jié)合嵌入不等式:

其中A,B,C 為任意三角形的三個內(nèi)角.所以有:

又由三角形恒等式:得: k3+6k2?24=0 且由得k2?8 < 0.構(gòu)造存在實數(shù)使得k2?8<0,k3+6k2?24=0,從而結(jié)論成立.即存在實數(shù)使得對任意實數(shù)x,y,z,x2+2y2+3z2k(xy+yz+zx)恒成立.

例4(安振平不等式問題4528), 設(shè)正實數(shù)x,y,z 滿足: xy+yz+zx+xyz=4, a,b,c 為任意實數(shù), 求證:a2x+b2y+c2zabxy+bcyz+cazx.

證明由條件得:

結(jié)合三角形恒等式:

故可設(shè):

其中A,B,C 為銳角三角形的三個內(nèi)角, 解得: x =

要證:

即證:

由嵌入不等式, 上式成立.所以: a2x+b2y+c2zabxy+bcyz+cazx.

下面不等式的命制方法也是根據(jù)嵌入不等式來命制的,讀者不妨體會一下.

(2) (安振平不等式問題4529) 設(shè)正實數(shù)a,b,c 滿足: a2+b2+c2+abc=4, x,y,z 為任意實數(shù), 求證:ayz+bzx+cxyx2+y2+z2.

(3) (安振平不等式問題4527)設(shè)a,b,c > 0,x,y,z > 0,a2yz+b2zx+c2xy+abcxyz4,求證:

3.舒爾不等式

這就是著名的舒爾不等式, 我們經(jīng)常所看到的是它的特殊形式, 即r=1 時的情形: x,y,z0, 則x(x?y)(x?z)+y(y?x)(y?z)+z(z?x)(z?y)0.

簡證不妨設(shè)xyz.

舒爾不等式還有幾種常見的變式,證明的過程交給讀者.

變式一x3+y3+z3+3xyzx2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).

變式二xyz(x+y?z)(x+z?y)(z+y?x).

變式三(x+y+z)3+9xyz4(xy+yz+zx)(x+y+z).

變式四?(x2+y2+z2).

變式五

例5(《數(shù)學通訊》2013年第1-2 期問題征解124 題)設(shè)a,b,c > 0, abc=a+b+c+2, 求證: a+b+c

證明

由舒爾不等式: (a+b+c)3+9abc4(ab+bc+ca)(a+b+c),只需證: (a+b+c)2abc(a+b+c)3+9abc, 由abc =a+b+c+2,所以原不等式等價于:

例6(《數(shù)學通訊》2018年第7 期問題征解354 題)已知a,b,c 為非負實數(shù),且ab+bc+ca=a+b+c>0,求證:

證明?a+b+c+5abc由舒爾不等式:

變形:

所以

下面不等式的命制方法也是根據(jù)舒爾不等式來命制的,讀者不妨體會一下.

(4) (安振平不等式問題4477)已知a,b,c>0,求證: