“立方根”概念的問(wèn)題鏈教學(xué)探索*

浙江省臺(tái)州市白云中學(xué)(318000) 胡艷

浙江省浙江師范大學(xué)(321004) 唐恒鈞

1、引言

概念是數(shù)學(xué)知識(shí)最基本的組成元素,因此概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有不容忽視的地位.受應(yīng)試教育的影響,數(shù)學(xué)概念教學(xué)在實(shí)踐中未引起充分的重視,甚至存在一些片面的理解.比如,有觀點(diǎn)認(rèn)為一些具體的表征形式就是概念本身,故學(xué)生只需記憶概念及其實(shí)例即可.還有一些課把概念的定義當(dāng)做教學(xué)的起點(diǎn),忽略了概念形成的自然性和隱藏在概念背后內(nèi)在邏輯.因此很多學(xué)生會(huì)覺(jué)得數(shù)學(xué)是封閉的,呆板的,從而影響了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情.問(wèn)題是驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考并主動(dòng)建構(gòu)新知的重要手段.但課堂上常見的是教師所提出的問(wèn)題零散而缺乏關(guān)聯(lián),學(xué)生的思考也往往缺乏脈絡(luò),這影響了知識(shí)建構(gòu)的效果.“問(wèn)題鏈”可以讓學(xué)生進(jìn)行系列的、連續(xù)的思維活動(dòng),使學(xué)生的思維不斷攀升到新的高度.

“問(wèn)題鏈”是從學(xué)生的認(rèn)知心理和認(rèn)知水平出發(fā),針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中可能產(chǎn)生的困惑,將教材知識(shí)轉(zhuǎn)化為層次鮮明且具有系統(tǒng)性的一連串的數(shù)學(xué)問(wèn)題.問(wèn)題鏈教學(xué),一方面為學(xué)生提供思考的問(wèn)題,在內(nèi)容上引導(dǎo)學(xué)生獲得較為深入的數(shù)學(xué);另一方面問(wèn)題與問(wèn)題之間的跨度為學(xué)生多樣的思維與探索提供了可能性;強(qiáng)調(diào)知識(shí)、方法、視角等多層面的關(guān)聯(lián)是問(wèn)題鏈教學(xué)的核心.[1]在概念教學(xué)中,以“問(wèn)題鏈”為載體,學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題,提出問(wèn)題”的循環(huán)模式,并及時(shí)反思,逐步將概念精致化.本文以人教版“立方根”為例,嘗試用類比的思想實(shí)現(xiàn)知識(shí)、方法和視角上的關(guān)聯(lián),用問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)學(xué)生自主探究、形成概念.

2、教學(xué)案例設(shè)計(jì)

2.1 立足數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí),使概念發(fā)現(xiàn)更自然

問(wèn)題1關(guān)于平方根我們研究了哪些內(nèi)容? 請(qǐng)你多角度地談?wù)勀銓?duì)平方根的認(rèn)識(shí).

生1: 按照學(xué)習(xí)的順序分別是: 平方根的定義,開平方的定義,性質(zhì),符號(hào)表示,應(yīng)用.

生2: 已知一個(gè)數(shù)x 的平方等于a, 那么x 叫a 的平方根,若x2=a,則

生3: 從方程的角度看x2=a,x 是二次方程的解也叫方程的根,因此x 叫a 的二次方根或平方根.

生5: 開平方和平方互為逆運(yùn)算.

……

師: 大家其實(shí)從定義,方程,運(yùn)算,符號(hào)等角度對(duì)平方根進(jìn)行了回顧.

教學(xué)意圖問(wèn)題1 作為起點(diǎn)性問(wèn)題,使后續(xù)探究活動(dòng)具有一定指向性.數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是一個(gè)學(xué)生主體主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程,而且在建構(gòu)的過(guò)程中,主體已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)揮了特別重要的作用.在此之前,學(xué)生對(duì)平方根的研究方法和研究思路已經(jīng)有了充分的體驗(yàn),為下面新知探究提供了一個(gè)明確的研究框架.

問(wèn)題2我們?cè)趯W(xué)完數(shù)的平方后,還學(xué)習(xí)了立方,以及乘方,體現(xiàn)了從特殊到一般的思想方法.類似地,在學(xué)完平方根后,你認(rèn)為還可以研究什么?

生: 如果一個(gè)數(shù)x 的平方等于a,即x2= a,那么x 叫a的平方根,那假如已知一個(gè)數(shù)x 的立方、(四次方及n 次方)等于a,那么x 叫a 的?

追問(wèn): 你認(rèn)為這樣的x 可以叫什么?

問(wèn)題3根據(jù)平方根的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),你認(rèn)為可以怎樣研究立方根?

生: 類比平方根的學(xué)習(xí),我們需要研立方根的定義,開立方的定義,性質(zhì),符號(hào)表示,應(yīng)用.

教學(xué)意圖立方根在現(xiàn)實(shí)生活中存在大量的實(shí)例,人教版課本中也是采用具體實(shí)例引入,直接抽象出立方根的概念,引出課題.但從學(xué)情考慮,學(xué)生已經(jīng)掌握了算術(shù)平方根和平方根的概念,這為立方根的概念產(chǎn)生提供了充分的認(rèn)知“固著點(diǎn)”;從數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的聯(lián)系看,平方與開平方是互逆的運(yùn)算,類比乘方學(xué)習(xí)中特殊到一般的研究思路,立方根的概念是由數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展需要產(chǎn)生的.基于這樣的知識(shí)起點(diǎn)設(shè)置問(wèn)題鏈,驅(qū)動(dòng)學(xué)生深層次地思考數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的聯(lián)系,在舊知基礎(chǔ)上猜想可研究的新問(wèn)題.同時(shí)類比平方根的研究過(guò)程,自然生成立方根的學(xué)習(xí)方式.在建立新舊概念之間聯(lián)系性的認(rèn)識(shí)中,學(xué)生逐步積累類比的思維方法.

2.2 從過(guò)程到對(duì)象,使概念精致化

問(wèn)題4由立方根的定義,你能做什么?

生1: 求一個(gè)數(shù)的立方根,比如2 的立方等于8,那么8的立方根就是2,比如3 的立方等于27,那么27 的立方根就是3.

追問(wèn): 生活中有立方根的例子嗎?

生2: 比如一個(gè)正方體形狀的水池體積為125cm3,水池的邊長(zhǎng)是多少?

……

問(wèn)題5同學(xué)們其實(shí)都是將定義中的x 和a 賦予了具體的數(shù)? 你們都舉了些正整數(shù),那這里的x 和a 能表示什么數(shù)?為什么?

生: x 能表示任何有理數(shù),a 也能表示任何有理數(shù),比如23=8,(-2)3=-8,03=0.

生: 類比平方根,也將數(shù)按符號(hào)分成正數(shù),0 和負(fù)數(shù)分別考慮.發(fā)現(xiàn)正數(shù)的立方根是正數(shù),負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù),0 的立方根是0.

追問(wèn): 立方根和平方根的性質(zhì)一樣嗎? 是什么導(dǎo)致了它們(不)一樣?

生: 不一樣,平方有非負(fù)性,但立方的結(jié)果可以是任何數(shù).

問(wèn)題623= 8,(-2)3= -8,03= 0,從左邊到右邊是什么運(yùn)算? 那( )3=8,( )3 =27,從右邊到左邊又是什么運(yùn)算? 這兩種運(yùn)算有著什么樣的關(guān)系?

問(wèn)題7立方根是對(duì)一個(gè)數(shù)進(jìn)行開立方的結(jié)果,我們知道8 的立方根是2,那2 的立方根該如何表示呢? 你是怎么想到的?

生: 類比平方根,用符號(hào)表示.

3.2 會(huì)陰評(píng)估 目前，大多數(shù)文獻(xiàn)［9-12］在會(huì)陰評(píng)估方面均是進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，缺乏明確的評(píng)估體系，只是對(duì)臨床助產(chǎn)提出可行會(huì)陰保護(hù)方式，這將導(dǎo)致助產(chǎn)士無(wú)證可循，只能繼續(xù)憑借自己的工作經(jīng)驗(yàn)采取相應(yīng)會(huì)陰保護(hù)措施。確立分娩時(shí)產(chǎn)婦綜合評(píng)估指標(biāo)及內(nèi)容，建立統(tǒng)一的評(píng)估體系不僅使得助產(chǎn)士有證可循，有據(jù)可依，也為正確地應(yīng)用保護(hù)方式，合理地使用會(huì)陰切開術(shù)提供了依據(jù)，避免會(huì)陰嚴(yán)重撕裂的發(fā)生，且能夠促進(jìn)助產(chǎn)士不斷地提高助產(chǎn)技術(shù)，提高產(chǎn)科質(zhì)量。

教學(xué)意圖數(shù)學(xué)概念具有過(guò)程與對(duì)象的兩重性,概念的過(guò)程和對(duì)象這兩個(gè)側(cè)面有著緊密的依賴關(guān)系,形成一個(gè)概念往往要經(jīng)歷由過(guò)程開始,然后轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)象的認(rèn)知過(guò)程[2].本節(jié)課從數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)得到立方根的概念.立方根的概念描述了一個(gè)動(dòng)態(tài)的計(jì)算過(guò)程,通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生自己舉例,充分體驗(yàn)由x3= a 來(lái)求立方根的程序性算法,也為自然地引出開立方定義做鋪墊.問(wèn)題4 讓學(xué)生自己列舉立方根具體的數(shù)學(xué)例子和生活實(shí)例,實(shí)現(xiàn)概念的具體化、生活化.在問(wèn)題7中,由于2 的立方根無(wú)法用已有的數(shù)表示,產(chǎn)生認(rèn)知沖突,引出立方根符號(hào).學(xué)生只有掌握了實(shí)物、文字、數(shù)學(xué)符號(hào)等多種表征方式來(lái)理解立方根,才算把新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)建立起實(shí)質(zhì)性聯(lián)系.比如立方根概念中, 能明白“已知x3=a,求x 的值”,“求a 的立方根”,和“已知一個(gè)正方體的包裝盒體積是a,求正方體的邊長(zhǎng)”這些問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián),這種關(guān)聯(lián)就是實(shí)質(zhì)性關(guān)聯(lián),從而使概念理解逐步精細(xì)、豐滿.

問(wèn)題8請(qǐng)你類比平方根的符號(hào),思考下列式子的意義并寫出結(jié)果,并說(shuō)一說(shuō)這里的作用:

生: 可以,只不過(guò)這個(gè)結(jié)果沒(méi)有化簡(jiǎn)而已.

教學(xué)意圖這一符號(hào)具有雙重作用,既可以表示運(yùn)算,又可以表示結(jié)果(數(shù)).而學(xué)生更習(xí)慣于它的“操作性”,總希望通過(guò)運(yùn)算得到一個(gè)“確定”的結(jié)果,比如的結(jié)果2這個(gè)數(shù)對(duì)他們來(lái)說(shuō)更熟悉,更確定.因此對(duì)于這一符號(hào)的理解困難主要是沒(méi)有實(shí)施相關(guān)運(yùn)算的情況下,將看成一個(gè)結(jié)果或者說(shuō)是一個(gè)真正的數(shù).由于這一性質(zhì)的抽象性,教師設(shè)計(jì)了三個(gè)層層遞進(jìn)的問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生思考和中符號(hào)的區(qū)別和聯(lián)系,體悟這一符號(hào)的雙重作用.只有習(xí)慣將立方根看成相對(duì)獨(dú)立的數(shù)學(xué)對(duì)象,我們才能對(duì)概念的應(yīng)用才從知覺(jué)水平逐步提升到思維水平.

2.3 反思提升,使概念結(jié)構(gòu)化

問(wèn)題9(1)請(qǐng)你從不同的角度談?wù)剬?duì)“立方根”的理解.(2)請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)平方根和立方根的區(qū)別和聯(lián)系.(3)學(xué)習(xí)了平方根,立方根后,你還想研究什么? 可以怎么研究?

圖1

教學(xué)意圖三個(gè)問(wèn)題,層層遞進(jìn),驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維的發(fā)散和求異,引導(dǎo)學(xué)生有效反思總結(jié).在知識(shí)上,學(xué)生加深了對(duì)于立方根和平方根的理解,在方法上,體會(huì)到一般化和類比的思想,在視角上,理清了這一類方根的基本研究套路,真正實(shí)現(xiàn)概念教學(xué)由知識(shí)向思維的過(guò)渡.第一個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的進(jìn)行回顧,類比平方根,從定義,方程,運(yùn)算,符號(hào)等多角度地理解立方根的概念,將零散的知識(shí)及時(shí)整合.平方根和立方根是奇次方根和偶次方根的典型代表,通過(guò)第二問(wèn)題將立方根和平方根概念進(jìn)行橫向比較,一方面與已有的概念建立廣泛的聯(lián)系,擴(kuò)展對(duì)新概念的理解;另一方面,學(xué)生在解決當(dāng)下的問(wèn)題后,還能由此提出新的問(wèn)題(即第三個(gè)問(wèn)題),并用類似的數(shù)學(xué)方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)去解決,形成自己的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)(如圖1),實(shí)現(xiàn)概念的擴(kuò)展和應(yīng)用.

3、若干反思

3.1 立足現(xiàn)實(shí),自然引出概念

章建躍先生曾指出,對(duì)“從現(xiàn)實(shí)引入”的更全面認(rèn)識(shí),應(yīng)從數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程需要來(lái)考慮,這個(gè)“現(xiàn)實(shí)”既可以是“生活的現(xiàn)實(shí)”,也可以是“數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)”.[3]生活現(xiàn)實(shí)往往從一些實(shí)際情境引入,再抽象出數(shù)學(xué)對(duì)象,而數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)則是在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展過(guò)程中自然而然提出的問(wèn)題.當(dāng)然,我們應(yīng)立足學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)來(lái)選擇合適的方法,以便“跳一跳能摘到桃”.上述案例的引入中,我們選擇基于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”,將新舊概念的聯(lián)系點(diǎn)設(shè)計(jì)成問(wèn)題鏈,引導(dǎo)學(xué)生建立起新舊知識(shí)間的聯(lián)系,使舊知識(shí)有延伸的活力、新知識(shí)有生長(zhǎng)的根基[4].

3.2 類比舊知,自主建構(gòu)概念

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論中的“以問(wèn)題為中心”的探究性學(xué)習(xí),就是學(xué)習(xí)者通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題而建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程.而問(wèn)題鏈?zhǔn)且贿B串具有脈絡(luò)的問(wèn)題,學(xué)生需按照“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—解決問(wèn)題”這個(gè)模式循環(huán)往復(fù)的進(jìn)行知識(shí)建構(gòu),旨在將課本上靜態(tài)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的思維活動(dòng).每個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)不流于形式,而是實(shí)實(shí)在在地引發(fā)學(xué)習(xí)認(rèn)知沖突、產(chǎn)生思維碰撞.立方根概念的建構(gòu)過(guò)程,主要利用類比和一般化的思想,在知識(shí)、方法和視角的關(guān)聯(lián)基礎(chǔ)上來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈.知識(shí)上,兩者的定義,開立方和開平方的運(yùn)算,符號(hào)表征等都是通過(guò)問(wèn)題鏈類比得到;方法上,兩者都采用“觀察,舉例,歸納,總結(jié)”等,設(shè)置了探究型的問(wèn)題鏈.如問(wèn)題8,推動(dòng)學(xué)生多層次的反復(fù)思考立方根符號(hào)的雙重作用.研究視角上,兩者都是按照“定義—開方運(yùn)算—性質(zhì)—符號(hào)—運(yùn)算”的思考框架進(jìn)行,所以設(shè)置了遞進(jìn)式的問(wèn)題1—問(wèn)題3: 先回顧平方根的研究框架,然后類比建構(gòu)立方根的研究框架.

3.3 重視反思,提升思維品質(zhì)

鄭毓信先生認(rèn)為:“在課堂的各個(gè)環(huán)節(jié),不只是‘課尾’,我們都應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生不斷做出新的思考,包括對(duì)原先的問(wèn)題與實(shí)際的解題過(guò)程作出必要的回顧與總結(jié),及我們又如何依據(jù)新的‘形勢(shì)’提出另外一些值得深入研究的問(wèn)題.”[5]作為教師需明白的是,僅僅教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)是不夠的.因?yàn)樵谟邢薜臅r(shí)間內(nèi),學(xué)生能學(xué)到的知識(shí)、解決的問(wèn)題是有限的.學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中通過(guò)不斷反思,才能獲得能力的提升與思維習(xí)慣的養(yǎng)成.立方根教學(xué)中,除了課尾明顯的反思性問(wèn)題外,反思活動(dòng)其實(shí)貫穿于概念學(xué)習(xí)的每一個(gè)環(huán)節(jié).因?yàn)閷W(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—解決問(wèn)題”的循環(huán)模式,反思是后一個(gè)環(huán)節(jié)得以產(chǎn)生并順利實(shí)施的關(guān)鍵.

本文是以問(wèn)題鏈為載體開展數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個(gè)案例.從中可以看到問(wèn)題鏈在學(xué)生概念學(xué)習(xí)中的一些價(jià)值.但這方面的研究還比較少,有待進(jìn)一步深入的分析與更多的實(shí)踐探索.