關(guān)于費耶算子逼近定理的一種簡化證明

高 義

(北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，寧夏銀川 750021)

0 引言

一個周期為2π且連續(xù)的函數(shù)f(x)，在它的連續(xù)點x0，并不能保證其傅立葉級數(shù)收斂到f(x0).為此，數(shù)學(xué)教材[1]在討論傅立葉級數(shù)的收斂性時引進了費耶算子(亦稱費耶和，1904年由匈牙利數(shù)學(xué)家費耶首次提出)：

(1)

其中f(x)∈C2π，C2π表示以2π為周期的連續(xù)函數(shù)全體.該算子可以彌補某個連續(xù)函數(shù)f(x)的傅立葉級數(shù)未必收斂到f(x)的缺憾.事實上，費耶算子是傅立葉級數(shù)部分和的算術(shù)平均.為方便讀者，本文將費耶算子由傅立葉級數(shù)部分和的算術(shù)平均生成的推導(dǎo)過程重復(fù)如下(細(xì)節(jié)可參考文獻[1]).若f(x)∈C2π，則f(x)可以展開成傅立葉級數(shù)(本文只討論連續(xù)函數(shù)的情形，事實上，只要f(x)在[-π,π]絕對可積亦可以展開成傅立葉級數(shù))，即

其中

若傅立葉級數(shù)的部分和記作

將ak，bk代入到Sn(f;x)中，得

(2)

注意到

(3)

則函數(shù)f(x)的傅立葉和為

(4)

為此，定義費耶和為

(5)

由式(4)，得

注意到

(6)

則費耶和可以寫作為式(1)的形式.

若記

不難得到

人們稱Dn(x)為狄利克雷核，Kn(x)為費耶核.從卷積[2]的觀點看，傅立葉和是f(x)與Dn(x)的卷積，而費耶算子是f(x)與Kn(x)的卷積.教材[1]用分析的方法證明了費耶算子的逼近定理，即如下的定理.

定理1若f(x)∈C2π，則

即費耶算子σn(f;x)在實軸上一致收斂于f(x)，其中

本文利用柯羅夫金定理[3]給出定理1的另外一種簡化的證明.

1 準(zhǔn)備知識

為證明定理1，需作如下的準(zhǔn)備知識.

定義1[4]假設(shè)L是映某個函數(shù)空間S到自身的映照，如果它將S中每一個正的元素都映照為正的元素，那么說L是一個正算子.另外，如果對于S中的任意兩個元素f1和f2以及實數(shù)α,β∈，有

L(αf1+βf2)=αL(f1)+βL(f2)，

則稱L是一個線性正算子.

容易驗證σn(f;x)是C2π到其自身的線性正算子.

定理2[3](柯羅夫金定理)設(shè)Ln(f;x)是C2π上的線性正算子序列，下列三條件滿足：

Ln(1;x)=1+αn(x)，

Ln(cost;x)=cosx+βn(x)，

Ln(sint;x)=sinx+γn(x)，

其中αn(x),βn(x),γn(x)在全實軸上一致收斂于零，那么對于任一f(x)∈C2π，Ln(f;x)在全實軸上也一致收斂于f(x).

2 定理的證明

為證明定理1，根據(jù)柯羅夫金定理，只需證明σn(1;x),σn(cost;x),σn(sint;x)在全實軸上分別一致收斂于1, cosx, sinx即可.

引理1設(shè)σn(f;x)是費耶算子，則

(i)σn(1;x)=1，

證明：(i)注意到Sk(1;x)=1,k=0,1,2,...,n，由式(5)，不難得到

下證明(ii)和(iii).結(jié)合式(3)和(6)，有

因此根據(jù)三角函數(shù)系的正交性，得

同理，有

定理3σn(fk;x)在全實軸上分別一致收斂于fk(x),k=0,1,2，

其中f0(x)=1,f1(x)=cosx,f2(x)=sinx.

證明：由引理1即得.

定理1的成功證明意味著魏爾斯特拉斯第二定理的獲證，即為證明魏爾斯特拉斯第二定理提供了一種構(gòu)造性的證明方法，所以定理1的意義非同尋常.這里，將魏爾斯特拉斯第二定理也寫出.

定理4[4,5]若f(x)∈C2π，則對于任意給定的正數(shù)ε，都存在三角多項式t(x)滿足不等式

‖f-t‖C2π<ε.

再回到傅立葉級數(shù)收斂性的問題上，盡管f(x)的傅立葉和Sn(f;x)在其連續(xù)點上未必收斂到f(x)，但文獻[4]給出了Sn(f;x)逼近f(x)最壞情況的估計.

定理5[4]若f(x)∈C2π，則

‖Sn(f)-f‖C2π

定理5說明較傅立葉和逼近連續(xù)函數(shù)時，費耶算子逼近連續(xù)函數(shù)的性能更佳.關(guān)于二者更加精細(xì)的逼近刻畫可參見文獻[4].

3 結(jié)論

本文在引進線性正算子定義的基礎(chǔ)上，首先說明費耶算子是正線性算子.其次借助柯羅夫金定理證明費耶算子在全實軸上一致收斂.最后，以傅立葉和的逼近度展示了費耶算子在逼近連續(xù)函數(shù)的優(yōu)越性.