有意思的函數(shù)

張澤玲

1 數(shù)字“0”

數(shù)字“0”不過是一個非正非負(fù)的整數(shù)，在某些情況下需要單獨討論，好像沒什么特別的。但實際上，它卻有十分重要的意義。

在人類歷史上，各個文明并不是一開始就意識到0的必要性。比如說漢字中的“零”被創(chuàng)造出來時意思是零星落下的雨滴，也就是只跟“整”相對，只表示“零碎”“不多”的意思，并非數(shù)學(xué)意義上的“零”。古希臘哲學(xué)家也覺得，既然“零”表示“沒有”和“虛無”，那么好像也沒必要用一個符號來表示。但隨著人類文明的發(fā)展，各個文明都覺得十進(jìn)制非常好用，但十進(jìn)制的計數(shù)方法里如果沒有零，就會變得非常麻煩。比如中國古代的算籌計數(shù)，只是把數(shù)字為0的地方空出來，但這樣在抄寫記錄的時候很容易丟失混淆?！?”的字體發(fā)明始于印度，而關(guān)于這個數(shù)字的概念，則是很早在其他很多地區(qū)就有了：巴比倫人、埃及人、瑪雅人以及印度人分別獨立發(fā)明了“零”，并傳播影響著別的古文明也來使用。等到計算機(jī)發(fā)明以后，0在二進(jìn)制中比在十進(jìn)制中還要重要。

0本身的意思是“沒有”，但其對于數(shù)學(xué)的意義卻是重大而深遠(yuǎn)的。缺失了0的數(shù)學(xué)，理論一定是有重大缺陷的。

2虛數(shù)i

說起虛數(shù)i的意義，可能你的第一反應(yīng)就是-1的平方根，除此之外再無其他。其實很多數(shù)學(xué)家在發(fā)現(xiàn)虛數(shù)時感覺也和你一樣。16世紀(jì)意大利米蘭學(xué)者卡爾達(dá)諾在1545年發(fā)表的《重要的藝術(shù)》（Arsmagna）一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡爾達(dá)諾公式”。他是第一個把負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學(xué)家，盡管他認(rèn)為這個表示是沒有意義的，是想象的、虛無縹緲的。給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾，他在《幾何學(xué)》（1637年）中將其命名為nombreimaginaire（虛構(gòu)的數(shù)），成為虛數(shù)（imaginary number，imaginary在英文里意思是“想象出來的”）一詞的由來。

在虛數(shù)剛進(jìn)入數(shù)的領(lǐng)域時，人們對它的用處幾乎一無所知，實際生活中也沒有用復(fù)數(shù)來表示的量，因而，最初人們對虛數(shù)的態(tài)度是懷疑而不肯接受的。萊布尼茨稱虛數(shù)是既存在又不存在的兩棲物。歐拉盡管用它，但也認(rèn)為虛數(shù)是虛幻的。

測量學(xué)家維塞爾用a+bi表示平面上的點，讓虛數(shù)有了用武之地。后來，高斯建立了復(fù)平面的概念，使復(fù)數(shù)有了真正的立足之地，從此虛數(shù)就跟著復(fù)數(shù)一起在表示向量上大顯身手，在水力學(xué)、地圖學(xué)、航空學(xué)中有著日益廣泛的應(yīng)用，后續(xù)還在物理理論中，尤其是電磁學(xué)中，扮演了重要的角色。

算籌

就是古代的一種十進(jìn)制計算工具，起源于中國商代的占卜。

3 數(shù)學(xué)常數(shù)e

自然對數(shù)的底數(shù)e是個十分重要的無理數(shù)，但大多數(shù)人心目中最有名的無理數(shù)估計還是圓周率π和√2。這是因為，雖然e也會出現(xiàn)在很多公式中，但它并不是像π那樣能夠直接跟完美的圓形對應(yīng)起來。事實上，對于e的定義有很多種，常見的四種e的定義如下：

上面這四個定義里出現(xiàn)的公式本身有著廣泛的應(yīng)用。正是因為e的獨特性質(zhì)，作為常數(shù)存在于很多基本公式，才使得它顯得好像是自然中本身就存在的一樣。很多數(shù)學(xué)家和工程師心目中最完美的歐拉公式，就是完美結(jié)合了e，π，虛數(shù)i和整數(shù)，不僅看起來整齊簡潔，還在實際中有著重要的應(yīng)用。前面提到過的非常萬能的傅里葉變換，理論基礎(chǔ)之一就是歐拉公式。

4無理數(shù)

根據(jù)勾股定理，兩條直角邊長度為1的直角三角形，其斜邊的長度為√2。說起√2大家都不陌生，這是一個無限不循環(huán)小數(shù)，即無理數(shù)。然而正是這個簡單的無理數(shù)，卻引發(fā)了數(shù)學(xué)上的一個悲劇事件。

公元前5世紀(jì)的時候， 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“萬物皆數(shù)”，世界上只有整數(shù)和分?jǐn)?shù)（有理數(shù)）這種整齊而漂亮的數(shù)字。而畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的門徒希帕索斯在研究勾股定理時卻發(fā)現(xiàn)了令人震驚的“無限不循環(huán)小數(shù)”√2，令該學(xué)派其他人感到非常恐慌，并引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。有傳言說最終希帕索斯被自己的老師畢達(dá)哥拉斯判決淹死，也有說法是被學(xué)派門人丟進(jìn)海里淹死。

希帕索斯雖然遭此不幸，但并沒能阻擋人類在數(shù)學(xué)理論中引入無理數(shù)。因為除了√2，我們還有更重要的無理數(shù)：圓周率π和自然對數(shù)的底數(shù)e。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派

發(fā)現(xiàn)勾股定理的古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯和他的學(xué)生所組成的學(xué)派，他們非常崇尚數(shù)學(xué)。