基于數(shù)字鉆探的巖石c-φ參數(shù)測試方法

王 琦，秦 乾，高紅科，江 貝,3，許 碩

(1.山東大學(xué) 巖土與結(jié)構(gòu)工程研究中心，山東 濟南 250061; 2.中國礦業(yè)大學(xué)(北京) 深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點實驗室，北京 100083; 3.濟南大學(xué) 土木建筑學(xué)院，山東 濟南 250022)

巖石的黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ作為表征巖石強度性質(zhì)的最基本參數(shù)(以下簡稱c-φ參數(shù))，其準(zhǔn)確測試是進(jìn)行地下工程圍巖穩(wěn)定性分析和支護方案設(shè)計的基礎(chǔ)。巖石c-φ參數(shù)主要通過室內(nèi)三軸試驗方法確定，但該方法需采集現(xiàn)場巖樣，并運送至實驗室測試，周期長、成本高;對于開挖擾動后的圍巖，力學(xué)參數(shù)發(fā)生了變化，其變化規(guī)律對圍巖變形和支護受力影響顯著，但室內(nèi)試驗方法無法對其進(jìn)行及時測試。因此，需研究巖石c-φ參數(shù)快速測試方法。隨鉆參數(shù)是指鉆機鉆進(jìn)過程中的運行參數(shù)，包括鉆進(jìn)速率、轉(zhuǎn)速、扭矩及推進(jìn)力，通過數(shù)字鉆探測試技術(shù)[1-6]可對鉆進(jìn)過程中的隨鉆參數(shù)進(jìn)行監(jiān)測和部分參數(shù)定量控制。大量現(xiàn)場和室內(nèi)的數(shù)字鉆探試驗研究已證明，隨鉆參數(shù)與巖石力學(xué)參數(shù)具有密切的相關(guān)性[7-10]。上述研究成果為巖石c-φ參數(shù)的快速獲取提供了新思路。眾多學(xué)者利用統(tǒng)計學(xué)、智能算法和能量分析等方法，建立了隨鉆參數(shù)與巖石抗壓強度參數(shù)[11-14]及巖體結(jié)構(gòu)面參數(shù)[15-16]的關(guān)系，但對其與c-φ參數(shù)的關(guān)系研究較少，限制了數(shù)字鉆探測試技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展。

室內(nèi)試驗[17]和數(shù)值模擬[18-21]表明，鉆頭單列切削刃瞬時切削深度較小時，巖石為韌性破壞模式，即巖石c-φ參數(shù)對巖石切削破壞過程起控制作用。因此，基于巖石切削破壞過程的力學(xué)分析，建立隨鉆參數(shù)與巖石c-φ參數(shù)關(guān)系具有良好的可行性。筆者提出不預(yù)設(shè)破壞面的切削刃破巖力學(xué)模型，基于滑移線理論推導(dǎo)巖石極限切削力，進(jìn)而建立隨鉆參數(shù)與巖石c-φ參數(shù)的關(guān)系式(DP-cφ關(guān)系式)。并利用自主研發(fā)的巖體數(shù)字鉆探測試系統(tǒng)進(jìn)行室內(nèi)試驗，驗證了該模型的合理性。在此基礎(chǔ)上，提出了巖石c-φ參數(shù)數(shù)字鉆探測定方法，并通過室內(nèi)試驗驗證了該方法的可行性與有效性。該方法實施方便、快捷，可對巖石c-φ參數(shù)進(jìn)行有效測定，為地下工程圍巖穩(wěn)定性分析和支護參數(shù)設(shè)計提供依據(jù)。

1 巖石切削理論分析

1.1 理論基礎(chǔ)和基本假設(shè)

金剛石復(fù)合片鉆頭(PDC鉆頭)由金剛石復(fù)合片和胎體組成，金剛石復(fù)合片鑲嵌于胎體中，形成切削刃，起到破碎巖石的作用，如圖1所示。

圖1 PDC鉆頭切削巖石過程示意Fig.1 Three-dimensional schematic diagram of PDC drill bit

通過巖石切削試驗[19]和數(shù)值模擬[20-22]研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)鉆頭單列切削刃瞬時切削深度(以下簡稱切削深度H)較淺時，切削引起的巖石破壞遵循塑性破壞準(zhǔn)則。

鉆頭單列切削刃的切削寬度一般為其切削深度H的10倍以上，即切削寬度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于瞬時切削深度，所以每個切削巖石的循環(huán)，切削刃都可近似看作線性運動;另外，PRYHOROVSKA 等[23]研究表明，線性切削與旋轉(zhuǎn)切削沒有本質(zhì)上的區(qū)別。綜上所述，可將巖石切削問題簡化為平面應(yīng)變問題。

根據(jù)上述對巖石切削破壞特征的描述，建立巖石切削力學(xué)模型時依據(jù)以下假設(shè):

(1)因切削寬度遠(yuǎn)大于切削深度，可將巖石切削問題簡化為平面應(yīng)變問題;

(2)切削刃與巖石的接觸面貼合緊密，對巖石施加均布斜向切削力;

(3)受切削區(qū)域巖石服從Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則;

(4)因被切削區(qū)域巖石重力遠(yuǎn)小于切削力，本模型不計巖石重力。

建立巖石切削力學(xué)分析模型，如圖2所示。其中，切削刃與巖石接觸面為x軸;κ為切削刃的后傾角;Ff為切削刃對其下方巖石的作用力;δ為作用力Ff與豎直方向的夾角，同時也是切削刃與巖石的摩擦角;η為切削刃面OA與巖石自由面OB的夾角;H為切削深度;q為巖石的極限切削力;γ為極限切削力傾角，表示極限切削力q與切削刃面法線方向的夾角;c為巖石黏聚力;φ為內(nèi)摩擦角。

圖2 巖石切削力學(xué)分析模型Fig.2 Rock cutting mechanics analysis model

1.2 滑移線基本方程與本文方向規(guī)定

本文應(yīng)力符號規(guī)定，正應(yīng)力以壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負(fù)，剪應(yīng)力以企圖使單元體發(fā)生逆時針旋轉(zhuǎn)為正。圖3中，塑性區(qū)中任一點E有α和β兩條滑移線，Sα和Sβ分別為滑移線α和β的弧長，兩條滑移線之間的夾角為2μ，μ=π/4-φ/2。

圖3 塑性區(qū)任一點E的α和β兩條滑移線Fig.3 Slip lines α and β at any point E in the plastic region

設(shè)最大主應(yīng)力σ1與x軸的夾角θ，并規(guī)定從x軸方向順時針旋轉(zhuǎn)到σ1方向轉(zhuǎn)角為正。無重巖石沿α線和β線的平衡方程為

(1)

(2)

其中，p=(σ1+σ3)/2;R=psinφ+ccosφ為莫爾圓的半徑，如圖4所示。因為2μ=π/2-φ，所以sin 2μ=cosφ。

式(1)，(2)可簡化為

在α線上:

lnσ-2θcot 2μ=const

(3)

在β線上:

lnσ+2θcot 2μ=const

(4)

式中，

σ=p+ccotφ

(5)

圖4 塑性區(qū)任一點E的極限應(yīng)力圓Fig.4 Limiting stress circle at any point E in the plastic region

1.3 應(yīng)力邊界條件

1.3.1 切削刃面OA邊界條件

邊界法向方向的正應(yīng)力為σn=qcosγ，切應(yīng)力為τn=qsinγ。邊界上任一點N應(yīng)力邊界條件值為pN和θN，則可繪制出該點的極限莫爾應(yīng)力圓，如圖5所示。

由極限莫爾應(yīng)力圓中的幾何關(guān)系可知:

(6)

τn=Rsin(π-2θN)

(7)

其中，R=[(pN+ccotφ)sinφ]，代入式(6)，(7)中得

pN=σn+csinφcosφ-

(8)

(9)

將σn=qcosγ，τn=qsinγ代入式(8)，得

(10)

將式(10)代入式(5)得

ccotφ

(11)

1.3.2 自由面OB邊界條件

OB邊界條件上任一點M，如圖2所示，其法向正應(yīng)力σn=0，切應(yīng)力τn=0?？衫L制該點的極限莫爾應(yīng)力圓，如圖6所示。由該點極限莫爾應(yīng)力圓幾何特征可知

(12)

θM=η

(13)

圖5 N點應(yīng)力邊界條件和極限莫爾應(yīng)力圓Fig.5 Stress boundary condition and the Limiting Mohr’s stress circle at point N

圖6 M點應(yīng)力邊界條件和極限莫爾應(yīng)力圓Fig.6 Stress boundary condition and the Limiting Mohr’s stress circle at point M

將式(12)代入式(5)得

(14)

1.4 巖石的極限切削力q求解

由式(4)可知，在一條β線上，存在特征關(guān)系lnσ+2θtanφ=const，對于OB邊界和OA邊界滿足在同一β線上兩點，存在:

lnσN+2θNtanφ=lnσM+2θMtanφ

(15)

則式(15)可化簡為

(16)

將式(11)和式(14)代入式(16)并化簡得

(17)

式(17)是一個關(guān)于q的非線性方程，可利用迭代法求解，ξ=c/q一般小于0.3，為方便求解，可先設(shè)ξ=0.1，根據(jù)式(17)求得q值，然后求得ξ，再將ξ代入式(17)中，依次反復(fù)迭代求解直至達(dá)到需要精度，可得到巖石的極限切削力q。

2 隨鉆參數(shù)與巖石c-φ參數(shù)的關(guān)系

2.1 鉆頭扭矩M求解

鉆頭鉆進(jìn)巖體過程中，轉(zhuǎn)速N、鉆進(jìn)速率v、扭矩M和推進(jìn)力F可由鉆機傳感器實時測定。根據(jù)鉆頭組成結(jié)構(gòu)與鉆進(jìn)巖體過程特征，由圖1和圖2分析可得切削深度H為

(18)

式中，m為鉆頭切削刃列數(shù)。

則由圖2可得，切削刃截面的線荷載Fc為

(19)

式中，κ為切削刃的后傾角，如圖2所示。

M包含兩部分，切削扭矩Mc和摩阻扭矩Mf。如圖3所示，Mc是由鉆機提供用于切削巖石的力矩，通過Fc水平方向的分量對鉆頭中心取矩得到;Mf是由鉆機提供用于克服鉆頭與其下方巖石摩擦作用的力矩，通過Ff水平方向的分量對鉆頭中心取矩得到。

如圖7所示，鉆頭的半徑為R，具有3列切削刃，第i列切削刃的長度為Li，某列切削刃任一截面距鉆頭中心O的長度為r，取任意微段dr，其上的作用力對鉆頭產(chǎn)生的扭矩:

dM=dMc+dMf=Fcrcos(κ+γ)dr+Ffrsinδdr

(20)

其中，F(xiàn)f為孔底巖石與切削刃間的作用力;δ為鉆頭切削刃與巖石間的摩擦角，即tanδ為摩擦因數(shù)，則孔底巖石與切削刃間的摩擦力為Ffcosδtanδ=Ffsinδ。

將微段產(chǎn)生的力矩dM沿切削刃長度方向積分，并將所有列切削刃的力矩疊加得到鉆機總扭矩M:

(21)

圖7 鉆頭和任一列切削刃的示意Fig.7 Drill cross section and section of a cutting edge

2.2 推進(jìn)力F求解

F是由鉆機提供用于克服切削線荷載Fc和作用力

Ff的豎向分力。對于任意微段，鉆頭上的推進(jìn)力為

dF=[Fcsin(κ+γ)+Ffcosδ]dt

(22)

將微段產(chǎn)生的推進(jìn)力dF沿切削刃長度方向積分，并將所有列切削刃的推進(jìn)力疊加得到鉆機總推進(jìn)力F:

F=[Fcsin(κ+γ)+Ffcosδ](L1+L2+L3)(23)

2.3 隨鉆參數(shù)與巖石c-φ參數(shù)關(guān)系式

聯(lián)立式(21),(23)消去未知力Ff得

(24)

將式(19)代入式(24)，結(jié)合m=3得

(25)

將式(17)代入式(25)，得隨鉆參數(shù)與巖石c-φ參數(shù)關(guān)系式:

(26)

3 室內(nèi)試驗驗證

3.1 試驗儀器和試驗材料

為研究隨鉆參數(shù)與巖石力學(xué)參數(shù)的關(guān)系，筆者研發(fā)了巖體數(shù)字鉆探測試系統(tǒng)，如圖8所示。

圖8 巖體數(shù)字鉆探測試系統(tǒng)和本文研發(fā)的PDC鉆頭Fig.8 Rock mass digital drilling test system and the PDC bit

該系統(tǒng)包括鉆機裝置、壓力室、控制系統(tǒng)和液壓泵站。當(dāng)選用一種控制與監(jiān)測模式，例如選擇控制轉(zhuǎn)速100 r/min、鉆進(jìn)速率100 mm/min，控制系統(tǒng)可自動繪制出隨鉆參數(shù)曲線。

本次試驗所用鉆頭為本文研發(fā)的金剛石復(fù)合片鉆頭，如圖8所示。采用方形的復(fù)合片制作鉆頭切削刃，使得鉆進(jìn)過程中復(fù)合片即使有磨損也不會改變切削刃形狀和受力特征，盡量減少復(fù)合片磨損對測試數(shù)據(jù)的影響，采用方形復(fù)合片也使得與本文的理論假設(shè)更為符合。

試驗選用同一批花崗巖試件，如圖9所示，試件尺寸為150 mm×150 mm×200 mm，對巖石實施室內(nèi)三軸和單軸試驗，測定其巖石力學(xué)參數(shù)，見表1。

表1 試驗所用花崗巖力學(xué)參數(shù)Table 1 Properties of the granite used for the experiments

圖9 鉆進(jìn)前后花崗巖試件Fig.9 Limestone and sandstone specimens before drilling and after drilling

3.2 試驗方案設(shè)計

本次試驗采用控制鉆進(jìn)速率v和轉(zhuǎn)速N、采集扭矩M和推進(jìn)力F的控制與監(jiān)測模式，設(shè)計5種試驗方案，方案編號為n(n=1,2,3,4,5)，鉆進(jìn)速率控制在110，140 mm/min，轉(zhuǎn)速控制在200，250，300 r/min，具體試驗方案見表2。

表2 具體試驗方案Table 2 Specific Laboratory test scheme

3.3 試驗結(jié)果與理論計算對比

3.3.1 試驗結(jié)果及切削扭矩取值

以方案1中典型試驗數(shù)據(jù)為例，鉆進(jìn)速率v和轉(zhuǎn)速N為被控制量，分別為110，200 r/min。圖10為扭矩M和推進(jìn)力F隨鉆進(jìn)深度D變化曲線。

如圖10所示，花崗巖不同方案下，M和F隨Dh變化規(guī)律相似，可分為2個階段:

圖10 監(jiān)測扭矩M和監(jiān)測推進(jìn)力F隨鉆進(jìn)深度D變化曲線Fig.10 Variation of total torque M and Thrust F with the drill bit depth D as measured by the Laboratory test

(1)在鉆頭沒接觸巖石前，M較小，接觸巖石后，M在較小的D內(nèi)急劇上升，此為上升階段;

(2)在鉆頭鉆進(jìn)較小的深度后(大約在0.8 cm位置)，M進(jìn)入一個穩(wěn)定階段，隨著D的增加，M在穩(wěn)定值附近小幅度上下波動，這可能與巖石材質(zhì)不均勻和復(fù)合片切削巖石所處階段交替變化有關(guān)。

每塊試件M和F的試驗值取值方法相同，都取同一個試件數(shù)據(jù)穩(wěn)定階段的平均值。

3.3.2 理論分析參數(shù)選擇

γ根據(jù)RICHARD[19]和HUANG等[20]的研究結(jié)果進(jìn)行取值，κ對γ影響顯著，κ越大，γ越小，本文所用鉆頭κ=15°，γ取18°;δ根據(jù)YAHIAOUI等[24]的研究成果取值為12°。

黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ取試件的三軸試驗測定值，見表1。如圖7所示，本文設(shè)計的鉆頭半徑R=30 mm，具有3列切削刃，切削刃長度L1=18 mm，L2=18 mm，L3=27 mm，κ=15°，由圖2可知，兩邊界的夾角η=90°+κ=105°，鉆進(jìn)速率v和轉(zhuǎn)速N選用每個方案的設(shè)定值，見表2。將上述參數(shù)以及推進(jìn)力F代入式(26)，得到理論扭矩M。

3.3.3 理論分析與室內(nèi)試驗結(jié)果的對比與評價

繪制各方案室內(nèi)試驗和理論分析的扭矩M對比圖，如圖11所示。從圖11可以看出，花崗巖各方案室內(nèi)試驗測得的扭矩M與理論值大致相符。

圖11 各方案室內(nèi)試驗和理論分析扭矩M對比Fig.11 Comparison of torque M between Lab results and theoretical results with various schemes n

為定量評價本文提出的理論或方法和常規(guī)試驗方法測定結(jié)果的差異，現(xiàn)定義差異率指標(biāo)ξ:

(27)

其中，thR為本文提出的理論或方法結(jié)果;exR為常規(guī)試驗結(jié)果。該指標(biāo)也將在本文其他章節(jié)繼續(xù)沿用，含義相同。

由圖11可知，各方案室內(nèi)試驗扭矩與理論值大致相符，兩者平均差異率為8.44%。理論分析值一般比室內(nèi)試驗值偏小，這可能與室內(nèi)試驗扭矩取值時沒有考慮鉆頭與孔壁的摩擦有關(guān)。室內(nèi)試驗與理論分析的對比結(jié)果說明了巖石切削力學(xué)模型以及隨鉆參數(shù)與巖石c-φ參數(shù)關(guān)系式的合理性和有效性。

4 巖石c-φ參數(shù)數(shù)字鉆探測定方法

4.1 方法的提出

基于本文建立的隨鉆參數(shù)與巖石c-φ參數(shù)關(guān)系式，現(xiàn)提出巖石c-φ參數(shù)數(shù)字鉆探測定方法。該方法的實施將遵循以下3個步驟:

(1)利用數(shù)字鉆進(jìn)測定方法對巖石實施鉆進(jìn)試驗，根據(jù)得到的隨鉆參數(shù)計算巖石極限切削力q。其中q由式(25)得到，計算公式為

(28)

(2)基于巖體數(shù)字鉆探試驗，得到單軸抗壓強度Rc。

大量對比試驗結(jié)果表明，巖石單軸抗壓強度可通過數(shù)字鉆探試驗獲得[11-13]。在莫爾-庫倫屈服準(zhǔn)則體系下，巖石單軸抗壓強度Rc與c-φ參數(shù)的關(guān)系為

(29)

(3)結(jié)合上述兩步驟得到的q和Rc，計算巖石內(nèi)摩擦角φ和黏聚力c。

其中，內(nèi)摩擦角φ和黏聚力c計算由式(17)和式(29)聯(lián)立得到:

(30)

4.2 方法的驗證

利用本文第4節(jié)巖體數(shù)字鉆探測試系統(tǒng)鉆進(jìn)花崗巖試塊得到的隨鉆參數(shù)數(shù)據(jù)(圖10)和巖石單軸抗壓強度數(shù)據(jù)(表1)，對上述數(shù)字鉆探測定方法進(jìn)行驗證。

根據(jù)式(30)計算花崗巖各方案下數(shù)字鉆進(jìn)測定方法測定的內(nèi)摩擦角φd和黏聚力cd，結(jié)合該巖石通過三軸試驗獲取的φ和c(表1)和式(27)，得到兩種方法內(nèi)摩擦角差異率ξφ以及黏聚力差異率ξc，分析結(jié)果見表3。

表3 花崗巖c-φ參數(shù)測定對比分析Table 3 Comparison and analysis of the c-φ parameters acquired by different methods

由表3可知，在轉(zhuǎn)速和推進(jìn)速度沒有巨大差別的情況下，不同轉(zhuǎn)速和鉆進(jìn)速率組合的各方案，花崗巖數(shù)字鉆進(jìn)測定方法與三軸方法得到的內(nèi)摩擦角差異率為4.25%～10.80%，平均差異率ξφ=7.89%，黏聚力的差異率為5.28%～12.83%，平均差異率ξc=9.49%，總體差異率均較小，驗證了本文提出的數(shù)字鉆探測定方法的合理性和有效性;同時表明，鉆頭的轉(zhuǎn)速N和鉆進(jìn)速率V對測定結(jié)果產(chǎn)生的影響較小，基于上述測定方法，采用不同轉(zhuǎn)速N和鉆進(jìn)速率V的組合，均可較準(zhǔn)確的測定出巖石的c-φ參數(shù)。

5 結(jié) 論

(1)根據(jù)巖石切削破碎特征，提出一種不預(yù)設(shè)破壞面的巖石切削力學(xué)模型。本模型彌補了已有的巖石切削力學(xué)模型將破壞面假設(shè)為平面，從而與巖石受切削時實際的破壞面特征存在差異的不足。基于滑移線理論推導(dǎo)巖石的極限切削力，以此建立DP-cφ關(guān)系式。

(2)利用巖體數(shù)字鉆探測試系統(tǒng)鉆進(jìn)花崗巖試件，將得到的隨鉆數(shù)據(jù)與理論分析結(jié)果對比，兩者平均差異率為8.44%，驗證了巖石切削力學(xué)模型和DP-cφ關(guān)系式的合理性。

(3)基于隨鉆參數(shù)與巖石c-φ參數(shù)關(guān)系式，提出了巖石c-φ參數(shù)數(shù)字鉆探測定方法，并進(jìn)行了該方法與傳統(tǒng)三軸方法測定結(jié)果的對比分析，結(jié)果表明:兩方法得到的黏聚力和內(nèi)摩擦角平均差異率均小于10%，證明了本文提出的數(shù)字鉆探測定方法的有效性和可行性。

(4)本文提出的巖石c-φ參數(shù)數(shù)字鉆探測定方法實施方便、準(zhǔn)確度高，可對巖石c-φ參數(shù)進(jìn)行有效測定。