概念，在“畫”中感悟
——“倍的認識”教學實踐與思考

□ 傅愛蘭

【課前思考】

“倍的認識”是人教版教材三年級上冊第五單元的內(nèi)容。在學習“倍”之前，學生頭腦中建構(gòu)的關(guān)于比較兩個數(shù)量大小的方法是比較數(shù)量的多與少，即比較兩個數(shù)量的差，也就是常說的差比。在比較兩個數(shù)量關(guān)系時除了差比，還可以將一個量確定為標準量，通過判斷另一個量里面有多少個這樣的標準量，來比較兩者的比率關(guān)系，即我們常說的倍比。比率這一概念在數(shù)學學習中有著重要的作用，是學生學習比例的基礎。實際上，倍、分數(shù)（表示分率）、百分數(shù)、比等概念的本質(zhì)都是比率。

理解兩個數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系也是學生乘法認知結(jié)構(gòu)建立的重要方面，學生乘法認知結(jié)構(gòu)中的數(shù)學概念體系的建構(gòu)是按照整數(shù)—分數(shù)—比例的順序依次建構(gòu)的。對“整數(shù)倍”的學習是學生第一次接觸比率，小數(shù)倍、分數(shù)（表示分率）、百分數(shù)、比的內(nèi)容，都可以看作是對“整數(shù)倍”的擴展。

也就是說，教材的“倍比”教學還剛開始，那學生對“倍”的認知是不是零起點呢？帶著這樣的思考，課前筆者對本班40名學生進行前測：

學生反饋如下：

情況反饋人數(shù)畫2倍兩行同樣1 1畫3倍（多2倍）1 4第二行比第一行多2個5多4完全不懂題目意思6

通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，近半學生對“倍”的認識并不陌生，但教師通過對畫對的學生進行交流訪談，發(fā)現(xiàn)了很多問題。

問題1：“多2”和“2倍”混淆。

在畫對的11人中，有5人是“第一行畫2個，第二行畫4個”，只有1人比較明確地說明是以第一行為標準去看第二行有幾個第一行這么多。其他學生都是指多出來的2個圖形，在增加或減少第一行的個數(shù)時，學生瞬間變得一片茫然。

問題2：“1倍”和“多1倍”混淆。

由于受生活語言“成倍增長”的負遷移，很多學生認為：以第一行為標準，第二行比它多1份就認為第二行是第一行的1倍，多2份就是它的2倍?？梢姡瑢W生對“倍”的本質(zhì)理解還是有偏差的。

課前學情調(diào)查結(jié)果，為這節(jié)課的課堂教學開啟了一扇窗，學生的認知疑惑處便是這節(jié)課教學的最佳切入口。

【教學實踐】

“倍”是一個抽象的概念，而三年級學生還是以形象思維為主。面對學習內(nèi)容和認知能力的矛盾，我們選擇教學方法的唯一突破口就是如何將抽象內(nèi)容直觀化。

畫圖策略可以幫助學生在形象思維和抽象思維之間搭建橋梁，讓學生在學習理解數(shù)學過程中培養(yǎng)和發(fā)展幾何直觀能力，感悟初步的數(shù)形結(jié)合思想，從而促進數(shù)學能力的發(fā)展。教學中我們可以從“形”對于“數(shù)”的直觀性、“數(shù)”對“形”的深刻性這兩方面著手，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用，努力讓學生在“畫”中感悟“倍”的意義。

一、在“賞”畫中引出概念

1.看“畫”讀取數(shù)學信息

師：今天這節(jié)課我們一起來研究數(shù)學“畫”，想象一下你心目中的數(shù)學畫是怎么樣的。課前老師讓大家畫了一幅畫，現(xiàn)在我們一起來看看。

出示學生數(shù)學前測作品：

圖1

師：從畫中你獲得了哪些數(shù)學信息？圓形和三角形在數(shù)量上有什么關(guān)系呢？

生1：三角形的個數(shù)比圓形多3個，也可以說圓形的個數(shù)比三角形少3個。

生2：三角形的個數(shù)是圓形的1倍。

生3：三角形的個數(shù)是圓形的2倍。

師：剛才你們都說到一個新名詞——“倍”（板書：倍），首先請××同學說說“1倍”你是怎么找的？

圖2

生2上臺邊圈邊說：我把第一行的3個圓形作為參照標準，第二行多了這樣的3個，所以第二行是第一行的1倍。

師：說得好像很有道理，那你的“2倍”又是怎么找的呢？（指向生3）

生3（上臺演示）：你看這里圓形是1個3，三角形有2個3，所以三角形的個數(shù)是圓形的2倍。

2.初識倍數(shù)關(guān)系

師：剛才兩位同學通過比一比、圈一圈，發(fā)現(xiàn)比較兩個數(shù)量，除了誰比誰多、誰比誰少這種相差關(guān)系外，還可以用倍數(shù)關(guān)系來表示，那到底三角形的個數(shù)是圓形的1倍還是2倍呢？一起看圖，他們兩位都是把圓形作為標準，我們把它看成“1份”，那么三角形的個數(shù)有幾個這么多？（生答2個）

圖3

師：我們把圓形的個數(shù)看作1份，再找三角形的個數(shù)有這樣的2份，在數(shù)學上，就說“三角形的個數(shù)是圓形的2倍”。（板書：三角形的個數(shù)是圓形的2倍）

[思考] 通過前測，真實了解學生的學情，教學中從學生的“問題”出發(fā)，通過討論辨析，矯正學生對“2倍”的認識偏差，讓學生在數(shù)形結(jié)合的比較中真正體驗“2倍”的認識過程，充分體現(xiàn)學生的主體性。

二、在“圈”中理解概念

1.出示前測收集的數(shù)學“畫”

圖4

2.圈出倍數(shù)關(guān)系

活動要求：

比一比，看上面畫中是不是2倍關(guān)系。

圈一圈，表示出圖中的倍數(shù)關(guān)系。

改一改，把不是2倍的改成2倍關(guān)系。

3.學生展示匯報

在師生、生生互動中進一步理解一個數(shù)是另一個數(shù)的2倍。

[思考] 利用學生的前測素材，讓學生進行二度思考，從課前的“盲目”到課中通過比一比、圈一圈進行自我調(diào)整。學生懂得要先確定標準，也就是第一行的1份是幾個，再找到第二行含有“2個幾”，有效地找到“2倍”關(guān)系。

4.比較概括

出示圖5。

圖5

圖6

師：仔細觀察這4幅“畫”，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：第一行畫的都是圓形，第二行畫的都是三角形。

生2：第二行的個數(shù)都是第一行的2倍。

師（追問）：他們畫的兩行圖形的個數(shù)各不相同，為什么都說三角形的個數(shù)是圓形的2倍呢？和你的同桌說一說。

生3：都是以第一行為標準，第二行有2個第一行這么多，所以就是第一行的2倍。

師：也就是說我們都是把第一行看成1份，第二行有這樣的2份（演示圖6的形成過程）。那這1份里面可以畫幾個？

生：想畫幾個就畫幾個，只要第二行畫2個第一行這么多。

師：太厲害了，我們把掌聲送給他。那只能畫三角形和圓形嗎？

生：我們只比較圖形的個數(shù)的關(guān)系，跟圖形的形狀沒有關(guān)系。

師：是的，倍數(shù)關(guān)系只比較圖形的個數(shù)，那如果第二行再增加1份，現(xiàn)在的倍數(shù)又會發(fā)生怎樣的變化？

生：如果再增加1份，那么第二行就是第一行的3倍。

師：要想第二行是第一行的10倍，想象一下它是怎樣的。

生：第一行畫3個五角星，第二行畫10個3，就是30個。

生：不管第一行畫幾個，只要第二行有10個第一行這么多。

師：你的一句話把所有的可能都概括了，太棒了！

[思考] “倍”是一個抽象的概念，教學中教師在學生初步感知“2倍”的基礎上，以形輔數(shù)，結(jié)合集合圖不斷深化“2倍”的意義，同時通過學生“2倍”的建模經(jīng)驗初步類推出“幾倍”的意義，培養(yǎng)學生舉一反三的能力。

三、在“畫”中強化概念

師：相信每個學生心中都有一幅與眾不同的“畫”，現(xiàn)在請你把它畫出來。

1.畫圖

出示學習要求：

想：自己最喜歡的倍數(shù)關(guān)系。

畫：簡單、清楚且與眾不同。

說：（ ）是（ ）的幾倍。

2.學生展示匯報

在師生、生生互動中理解若干倍數(shù)關(guān)系。

3.想象建模

如果減少2份還是倍數(shù)關(guān)系嗎？如果增加1個這么多就是幾倍關(guān)系？100個呢？

[思考] 教師創(chuàng)造機會放手讓學生“畫”，讓學生在操作中積累豐富的表象認識，使抽象知識具體化、形象化。通過畫一畫、圈一圈、說一說等活動，讓學生將操作、理解概念、表述數(shù)理有機地結(jié)合起來，讓學生看自己畫的“畫”來說數(shù)理，降低了數(shù)理表述的難度。我們發(fā)現(xiàn)“數(shù)學畫”能讓“高冷”的數(shù)理瞬間變得那么親切，數(shù)學課因此也變得更加地自然、和諧、智慧。

四、在“比”中深化概念

1.獨立完成學習單

2.互動交流

（1）手鏈中的倍數(shù)。

圖7

師：有倍數(shù)關(guān)系嗎？你是怎么找的？

生：我把4個紅珠子看成1份，藍珠子的個數(shù)有2個1，所以藍珠子的個數(shù)是紅珠子的2倍。

師：如果同意的給予掌聲支持。如果像這樣增加1串（如圖7），現(xiàn)在又是幾倍關(guān)系？

生1：現(xiàn)在藍珠子的個數(shù)是紅珠子的4倍。

生2（沒等生1說完就激動地說）：不對，還是2倍。

師：現(xiàn)在有兩種答案，我們統(tǒng)計一下支持2倍的同學舉手（一半以上的學生舉手），剩下的都認為是4倍嗎？數(shù)學是講道理的，現(xiàn)在看看哪方的道理能說服我們！

生3：我也認為是4倍關(guān)系。剛才已經(jīng)是2倍，現(xiàn)在藍色珠子增加了8個，等于增加了2倍，所以就是4倍。

生4（迫不及待地反駁）：但是藍珠子個數(shù)增加了，紅珠子的個數(shù)也增加了，現(xiàn)在我們看紅珠子有8個，藍珠子的個數(shù)是16個，16里面有2個8，所以藍珠子的個數(shù)是紅珠子的2倍。

師：大家覺得哪方講得更有道理？（齊答：2倍）這道題我們發(fā)現(xiàn)紅珠子和藍珠子的個數(shù)都在成倍增加，但是它們之間的倍數(shù)關(guān)系是不變的。

[思考] 函數(shù)的核心就是“把握并刻畫變化中的不變，其中變化的是過程，不變的是規(guī)律”。學生樂意去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能將規(guī)律表述出來。這個環(huán)節(jié)設計“一串手鏈中藍珠子的個數(shù)是紅珠子的2倍，為什么2串手鏈中藍珠子的個數(shù)也是紅珠子的2倍呢？”這樣的追問，再通過數(shù)形結(jié)合的辨析演示，讓學生既可以更全面更深入地認識倍，又可以在觀察中體會數(shù)據(jù)一一對應的關(guān)系，感受到一個數(shù)據(jù)隨著另一個數(shù)據(jù)的變化而變化的過程，這就是函數(shù)思想在教學中的滲透。

（2）組合圖形中的倍數(shù)。

思考：涂色部分是沒涂色部分的幾倍？

圖8

圖9

學生通過觀察比較迅速地找到圖中兩部分的倍數(shù)關(guān)系，于是教師追問：如果擦掉1塊呢？（出示圖8）

生：我們把沒涂色部分看成1份，涂色部分和沒涂色的同樣多，所以涂色部分是沒涂色的1倍。

生：現(xiàn)在兩部分同樣多，我們也可以把涂色部分看成1份，沒涂色部分是涂色部分的1倍。

師：當比較的兩個量同樣多時，我們可以把任意1個量看成標準，另一個量就是它的1倍。繼續(xù)擦1塊（出示圖9）。

生（由于受到前面圖形的負遷移，不假思索地說）：涂色部分是沒涂色部分的3倍。

生（聽后馬上激動起來）：現(xiàn)在是涂色的部分少沒涂色部分多，應該以涂色的部分為標準，所以應該說沒涂色部分是涂色部分的3倍。

大部分學生恍然大悟，教室里頓時響起雷鳴般的掌聲。

師：剛才在變化的過程中，雖然正方形的總數(shù)不變，但是涂色和沒涂色的倍數(shù)在不知不覺中發(fā)生了變化。如果我們以小數(shù)為標準，那么比出來的就是“整數(shù)倍”，那如果以大數(shù)為標準能找到倍數(shù)關(guān)系嗎?

生：不能，以大數(shù)為標準，小數(shù)里面1份都不到，所以就沒有倍數(shù)關(guān)系。

師：其實除了整數(shù)，還有分數(shù)、小數(shù)，大家學了第八單元就知道謎底了。

[思考] 借助“形”直觀體驗變化的規(guī)律：總數(shù)不變，但是其中的倍數(shù)關(guān)系發(fā)生變化的過程。而更為精彩的是：當沒涂色部分多于涂色部分時追問“還能以沒涂色部分為標準嗎？”從“整數(shù)比”引出“分數(shù)比”，為今后學習分數(shù)做好鋪墊。

（3）線段中的倍數(shù)。

圖10

生：我認為掃地的人數(shù)是擦桌子的4倍。

師：哪兒來的4倍呀？

生：我以表示擦桌子人數(shù)的線段為標準，它的長度剛好一個食指這么長，而掃地人數(shù)的這條線段剛好有4個這么長，所以，掃地的人數(shù)是擦桌子人數(shù)的4倍。

生：我發(fā)現(xiàn)擦桌子的人數(shù)剛好是一塊橡皮這么長，掃地的人數(shù)有4塊橡皮的長度。

生：我通過量一量，得出表示擦桌子的這條線段是2厘米，表示掃地的這條線段是8厘米，8里面有4個2，所以我也認為掃地的人數(shù)是擦桌子的4倍。

師：剛才我們通過估一估、比一比、量一量等方法，得出掃地的人數(shù)是擦桌子的4倍。我們一起來驗證一下你們的想法（出示圖10）。

[思考] 跳出直接“比”，先讓學生估一估：“掃地的人數(shù)是擦桌子人數(shù)的幾倍。”我們會發(fā)現(xiàn)學生思維的閘門馬上打開了：借助橡皮、手指、尺子進行度量?？梢妼W生已經(jīng)擺脫最初的圈，直接去找“第二行有幾個第一行”，在不知不覺中已經(jīng)建立起“幾個幾就是幾倍”的模型。

五、在“聯(lián)”中溝通概念

1.比較

師：同學們，以前我們在比較兩個數(shù)“多”和“少”的關(guān)系時是怎樣比較的？

生：兩個數(shù)去掉相同的部分后，剩下的就是“多”或“少”部分。（電腦演示圖11）

師：今天研究的倍，我們是怎么進行比較的？

生：我們是把第一行看成1份，第二行有這樣的2份，就說第二行是第一行的2倍。（電腦演示圖12）

圖11

圖12

2.小結(jié)

師：“倍”和我們以前學習的“多”和“少”一樣，都是比出來的，不同的是“倍”在比較時把標準量看作1份，看另一個數(shù)有這樣的幾份。（板書：比出來的——倍）。

[思考] 選擇學生最初最容易混淆的一幅“畫”讓學生進行“差比”和“倍比”的比較，既徹底地將學生帶出認知盲區(qū)，又溝通新舊知識的聯(lián)系，幫助學生重新梳理知識，形成知識網(wǎng)絡。

六、在“用”中拓展概念

師：生活中還有很多地方也存在倍數(shù)關(guān)系，比如人體結(jié)構(gòu)中就是以“頭長”為基本單位，那與“六頭身”存在怎樣的倍數(shù)關(guān)系呢？請打開閱讀材料開始閱讀。

1.獨立閱讀思考：什么是“六頭身”

2.交流反饋

生：“六頭身”表示身長是頭長的6倍。

師：其他年齡階段頭長和身長又是幾倍關(guān)系？

生1：1～2歲身長是頭長的4倍。

生2：3～5歲身長是頭長的5倍。

……

師：看來人隨著年齡的增長，頭長和身長的倍數(shù)也會隨之變化，據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，“八頭身”是男女青年的理想身材，請你利用今天學過的知識畫出“八頭身”！

[思考] 溝通數(shù)學和生活的聯(lián)系，用數(shù)學“畫”表示生活中的倍數(shù)關(guān)系，揭示人體結(jié)構(gòu)的秘密，深刻感受數(shù)學的生活性、藝術(shù)性，激發(fā)學生不斷探究數(shù)學秘密的興趣。

【教后思考】

對于“倍的認識”這一課，教師利用數(shù)與圖之間的對應和轉(zhuǎn)化，搭建抽象思維和形象思維之間的橋梁，瞬間讓數(shù)學問題由抽象變直觀、由難變易。這節(jié)課，筆者開展了集“主體性、實踐性、數(shù)學味”于一體的“畫倍數(shù)”的活動，學生在自主互助的探究中深刻感悟“倍”的意義。

一、學生是“畫”的創(chuàng)造者

這節(jié)課中不管是課前的讓學生畫“2倍”的活動，還是課中畫“與眾不同的倍數(shù)”的活動，都是要讓學生充分暴露認知上的“錯誤”和“不完善”，然后，緊緊抓住學生畫中的“不完美”元素組織討論交流，讓“倍的意義”越辯越明。整堂課，每個學生都經(jīng)歷了從一開始“盲目地畫”到后來“有計劃地畫”再到最后“快樂地賞”的過程，學生始終處于積極主動探究的活動中，他們是課堂教學材料和課堂活動的主動創(chuàng)造者。

二、數(shù)學化是“畫”的魂

整節(jié)課，教師放手讓學生在畫、賞、圈等活動中找到“1份數(shù)”和“幾份數(shù)”，學生在直觀圖中積累豐富的認知經(jīng)驗，此時，教師通過及時追問“他們畫的兩行圖形的個數(shù)各不相同，為什么都說三角形的個數(shù)是圓形的2倍呢？”“如果第二行是第一行的10倍，請你想象一下，畫出來的圖是怎樣的？”“如果以大數(shù)為標準還能找到倍數(shù)關(guān)系嗎？”等問題，促使學生不斷思考和分析，感悟“幾個幾就是幾倍”。課堂中學生充分經(jīng)歷了從最初的“直觀圖”到后來的“集合圖”和“線段圖”的數(shù)學化過程，實現(xiàn)了認知從“操作層面”向“結(jié)構(gòu)層面”的升華。