兩腔級聯(lián)糾纏增強的理論分析*

周瑤瑤 田劍鋒 閆智輝 賈曉軍

1) (太原師范學院物理系,晉中 030619)

2) (山西大學光電研究所,量子光學與光量子器件國家重點實驗室,太原 030006)

3) (山西大學,極端光學協(xié)同創(chuàng)新中心,太原 030006)

(2018 年11 月22 日收到; 2019 年1 月22 日收到修改稿)

高糾纏度的糾纏源是實現(xiàn)高保真度量子信息傳輸與處理的保障,因為受到光學元器件自身性能不完美的限制,通過有效的操控手段來提高光場的糾纏度是十分必要的. 連續(xù)變量Einstein-Podolsky-Rosen 糾纏態(tài)光場可以利用工作在閾值以下的非簡并光學參量放大器來獲得. 將兩個非簡并光學參量放大器級聯(lián),可以利用第二個光學腔來操控第一個光學腔輸出的糾纏態(tài)光場,在一定條件下實現(xiàn)光場的糾纏增強. 本文通過理論分析設計出兩種光學腔級聯(lián)的實驗系統(tǒng),其中,糾纏產生裝置采用具有三共振結構的半整塊駐波腔,輸出到目前為止世界上單腔獲得兩組份糾纏態(tài)光場糾纏度的最高值,操控光學腔采用駐波腔或四鏡環(huán)形腔的結構.詳細對比分析了不同結構的操控腔對糾纏增強效果的影響,得出利用不同腔形作為操控腔的最佳實驗方案.同時分析了級聯(lián)腔輸出光場的糾纏度隨不同物理參量的變化關系,得出進一步優(yōu)化的最佳實驗系統(tǒng)參量,為實驗獲得更高糾纏度的糾纏態(tài)光場提供了依據(jù).

1 引 言

在量子信息發(fā)展的近幾十年中,不管是利用分離變量領域中量子比特的單光子還是利用連續(xù)變量領域中量子模式的光場來實現(xiàn)量子通信和量子計算,都展現(xiàn)出量子信息存在的巨大潛能和新奇優(yōu)勢[1?5],吸引著人們不斷地探索.

量子糾纏因其非局域性的特點,是進行量子信息研究的重要資源,連續(xù)變量Einstein-Podolsky-Rosen (EPR)糾纏態(tài)光場是連續(xù)變量量子資源中最基本的糾纏態(tài)光場,可以通過兩種光學實驗裝置來獲得. 一種實驗裝置是利用兩個含有一類非線性晶體的頻率簡并的光學參量放大器(degenerate optical parametric amplifier,DOPA)產生正交分量的單模壓縮態(tài)光場,然后將這兩束頻率相同的單模壓縮態(tài)光場以恒定的相位差在分束比例為50 : 50 的光學分束器上耦合,得到EPR 糾纏態(tài)光場[6?8].自1970 年Stoler[9]提出了正交分量壓縮態(tài)的概念之后,全世界各個研究小組陸續(xù)以不同的方法在實驗中獲得了壓縮態(tài)光場. 由于DOPA 中一類非線性晶體的非線性系數(shù)較高,德國的Schnabel 實驗小組已經多次獲得了壓縮度高于10 dB 的單模壓縮態(tài)光場[7,10?13],利用該方法制備的EPR 糾纏態(tài)光場也達到了10 dB 左右[7]. 另一種實驗裝置是含有二類非線性晶體的非簡并光學參量放大器(non-degenerate optical parametric amplifier,NOPA),其輸出的兩束光場頻率相同,偏振相互垂直,構成了連續(xù)變量EPR 糾纏態(tài)光場[14?17]. 因為僅僅利用一個光學腔就可以獲得EPR 糾纏態(tài)光場,實驗過程簡單易操作. 1992 年,美國的Kimble 實驗小組[18]利用該方法制備出了連續(xù)變量EPR 糾纏態(tài)光場.之后全世界各個實驗小組也利用NOPA 腔,通過讓其工作在不同的狀態(tài)獲得了不同關聯(lián)類型的EPR糾纏態(tài)光場[6,15,19?22]. 作為最基本的量子糾纏資源,EPR 糾纏態(tài)光場被用于完成了不同的量子信息實驗,比如量子離物傳態(tài)[1,2,23,24]、 量子密集編碼[25?28]等,但糾纏源的糾纏度卻在很長一段時間內一直保持在–4 dB 左右,大大影響了量子信息傳輸?shù)乃俾逝c效率. 于是提高糾纏源的糾纏度成為實現(xiàn)高保真度量子信息傳輸與處理中至關重要的問題[24].2010 年,山西大學國家重點實驗室通過對糾纏產生系統(tǒng)進行降噪處理,將糾纏度提高到了–6 dB[22].2015 年,我們小組利用具有三共振結構的NOPA腔,通過提高其有功輸出效率,獲得了單個腔輸出光場的糾纏度為–8.4 dB 的EPR 糾纏態(tài)光場[29].

因為受到光學元件自身性能的限制,單個腔輸出光場的糾纏度不能只通過優(yōu)化光學元器件一味地提高. 利用操控的方法來實現(xiàn)糾纏增強是十分必要的[30?32],其中一種實現(xiàn)操控的方法是在第一個NOPA 后級聯(lián)第二個NOPA,利用第二個NOPA來操控第一個NOPA 輸出的糾纏態(tài)光場,在一定條件下實現(xiàn)糾纏態(tài)光場的糾纏增強. 為了更大程度地提高糾纏度,我們在理論上提出第一個NOPA采用本小組在2015 年實驗實現(xiàn)的能夠輸出8.4 dB EPR 糾纏態(tài)光場的糾纏產生裝置——帶楔角晶體的半整塊駐波腔,第二個NOPA 可以采用兩種不同的腔形——駐波腔結構或是四鏡環(huán)形腔結構. 根據(jù)第二個NOPA 的腔型,設計出兩種不同的光學腔級聯(lián)系統(tǒng),理論分析了各光學系統(tǒng)實現(xiàn)糾纏增強的效果以及最終輸出光場的糾纏度隨不同物理參量的變化關系,找到了級聯(lián)糾纏增強系統(tǒng)的最佳實驗方案以及最佳物理參量,為制備更高質量的糾纏源提供了依據(jù).

2 駐波腔與四鏡環(huán)形腔級聯(lián)糾纏增強的理論分析

依據(jù)參考文獻[32],利用光學腔級聯(lián)的方法可以實現(xiàn)連續(xù)變量EPR 糾纏態(tài)光場的糾纏增強. 這里考慮將兩個工作在參量反放大狀態(tài)的NOPA1和NOPA2 級聯(lián),研究NOPA2 對NOPA1 輸出光場的操控效果. 圖1 為駐波腔與四鏡環(huán)形腔級聯(lián)的光學系統(tǒng). 為了更大程度地提高級聯(lián)光學系統(tǒng)輸出糾纏態(tài)光場的糾纏度,NOPA1 的腔型選擇2015年本研究小組實驗設計的單個具有三共振結構的半整塊駐波腔,由帶1°楔角的非線性光學晶體KTP1和曲率半徑為50 mm的凹鏡M0組成,M0 對種子光場的透射率為12.5%,可以輸出高達8.4 dB 的EPR 糾纏態(tài)光場,是目前為止單個腔產生EPR 糾纏態(tài)光場中糾纏度最高的.

圖1 駐波腔與四鏡環(huán)形腔級聯(lián)的光學系統(tǒng)Fig. 1. Optical system of connecting a standing wave cavity and a four-mirror ring cavity in series.

對(1)式進行傅里葉變換,可以得到NOPA1內種子光場在頻域空間的運動方程:

其中,δ表示光場算符的交流分量; ω =2π?( ?是分析頻率的角頻率);k表示NOPA1的非線性轉換效率, 與腔內晶體的有效非線性系數(shù)和輸入抽運光場的能量有關;,分別表示NOPA1 的輸出信號光場和閑置光場.為了判斷光學腔輸出光場的糾纏特性, 根據(jù)文獻[33, 34]提出的EPR 糾纏態(tài)光場的判據(jù)—

為了判斷光學腔輸出光場的糾纏特性,根據(jù)文獻[33,34]提出的EPR 糾纏態(tài)光場的判據(jù)—需要計算工作在參量反放大狀態(tài)的NOPA 輸出光場正交振幅和和正交相位差的表達式或者數(shù)值分析結果. 如果輸出光場的正交分量關聯(lián)噪聲滿足該表達式,說明輸出的光場是糾纏的.

根據(jù)產生和湮滅算符的定義

得到了正交振幅算符和正交相位算符的表達式:

將(2)—(5)式相結合,得到了NOPA1 輸出信號光場和閑置光場正交振幅分量以及正交相位分量的表達式:

圖1 中的NOPA2 為四鏡環(huán)形腔,由兩片曲率半徑為100 mm 的凹鏡M3 和M4,兩片平鏡M1 和M2,以及非線性光學晶體KTP2 組成. 通常情況下,其各腔鏡的鍍膜參數(shù)都是針對光線與鏡片法線夾角為0°的情況,顯然NOPA2 中光學鏡片的法線與其作用光線之間的夾角大于0°,導致鏡片對偏振相互垂直的光場的透過率不同,最終表現(xiàn)為輸出耦合鏡對偏振相互垂直的光場透過率不同. 設NOPA2 的輸出鏡對信號光場的耦合效率為(透射率為T1),對閑置光場的耦合效率為(透射率為T2),那么NOPA2 內的信號光場(t) 和閑置光場(t) 的運動方程為

為了與NOPA1 區(qū)別開來,NOPA2 中的光場算符和物理參數(shù)在表示過程中均在其右上角加“′”,兩個光學腔中的算符及物理參數(shù)的含義相同.表示NOPA2 輸出鏡對信號光場的總損耗耦合效率表示NOPA2 輸出鏡對閑置光場的總損耗耦合效率.

對(8)式進行傅里葉變換,可以得到NOPA2內種子光場在頻域空間的運動方程:

其中k1和k2分別表示不同透射率下的非線性轉換效率.

NOPA2 的輸入糾纏態(tài)光場和輸出糾纏態(tài)光場之間滿足以下關系:

將(4)—(10)式相結合,根據(jù)實際的實驗參數(shù),取四鏡環(huán)形腔的腔長為557 mm,內腔損耗為=0.4%,頻譜分析頻率為2 MHz,在輸出鏡對信號光場的透射率一定的情況下,通過數(shù)值計算(因為透射率不同時,輸出光場正交振幅和和正交相位差的表達式太過復雜),分析NOPA2 輸出光場正交分量之間的關聯(lián)噪聲隨輸出鏡對信號光場和閑置光場的透射率之差g的變化關系,結果如圖2 所示.曲線1 為歸一化的散粒噪聲極限,當曲線呈現(xiàn)的關聯(lián)噪聲小于該值時,說明輸出兩束偏振相互垂直的光場之間是相互糾纏的; 曲 線2,3,4分別表示NOPA2 的輸出鏡對信號光場的透射率T1為5%,7%和10%時,輸出光場的量子關聯(lián)噪聲隨g的變化關系; 曲線5 表示輸入NOPA2 的EPR 糾纏態(tài)光場的量子關聯(lián)噪聲

對應的糾纏度為8.4 dB,若曲線呈現(xiàn)的關聯(lián)噪聲小于該值,說明操控腔增強了NOPA1 輸出光場的糾纏度. 由于曲線2 和3 所示關聯(lián)噪聲的最小值點均在曲線5 之上,所以透射率為5%和7%的操控腔無法增強NOPA1 輸出的8.4 dB 的EPR糾纏態(tài)光場,應選用透射率較大的四鏡環(huán)形操控腔來實現(xiàn)光場的糾纏增強.

曲線2,3,4 的變化趨勢相同,在g=0 時呈現(xiàn)輸出光場量子關聯(lián)噪聲的最小值,且隨著g絕對值的逐漸增大,量子關聯(lián)噪聲也逐漸增大,甚至大于散粒噪聲極限,出現(xiàn)沒有糾纏的情況. 這意味著輸出鏡對信號光場和閑置光場的透射率差值越大,級聯(lián)系統(tǒng)輸出光場的糾纏度就越低.

曲線4 與曲線5 相交于–0.34%和0.38%兩個臨界點,即當–0.34%

實際實驗中,四鏡環(huán)形光學腔的輸出耦合鏡的法線與輸出光場之間的夾角大約為5°,該角度下輸出鏡對信號光場和閑置光場的透射率之差約為0.2%[35](圖2 中的短虛線). 當g=±0.2%時,輸出光場的量子關聯(lián)噪聲約為0.134,對應糾纏度為–8.7 dB,對比g=0 時輸出光場的糾纏度,降低了約0.2 dB,影響了級聯(lián)糾纏增強的效果.

圖2 輸出光場的量子關聯(lián)噪聲隨輸出鏡對信號光場和閑置光場透射率之差的變化Fig. 2. Quantum correlation variances of two output beams versus the transmissivity differences of the output coupler for idle and signal fields.

為了避免腔鏡的法線與輸出光場之間存在夾角而影響最終級聯(lián)糾纏增強的效果,NOPA2 可以選擇駐波腔的結構,將在第3 部分做出詳細分析.

圖3 兩駐波腔級聯(lián)的光學系統(tǒng)Fig. 3. Optical system of two cascaded standing wave optical cavities.

3 兩駐波腔級聯(lián)糾纏增強的理論分析

當NOPA2 為駐波光學腔結構時,其輸出鏡的法線與輸出光場之間的夾角為0°,認為輸出鏡對信號光場和閑置光場的透射率是相等的,即第二部分的理論分析中,取此時NOPA2輸出光場正交分量之間的量子關聯(lián)噪聲可以寫為

式中r表示NOPA1 輸出糾纏態(tài)光場的壓縮參量;系數(shù)m和n的取值分別為

為了防止糾纏態(tài)光場的反饋影響光學腔的穩(wěn)定運轉,需要在NOPA1 和NOPA2 之間加入光學隔離器ISO,如圖3 所示,為理論設計的利用兩個駐波腔級聯(lián)研究糾纏增強的光學系統(tǒng). 假設光場兩次通過光學隔離器的傳輸效率相等,用η表示,那么NOPA1 的輸出光場經過隔離器后的光場,以及NOPA2 的輸出光場經過隔離器后的光場可以表示為

4 兩種級聯(lián)光學系統(tǒng)的對比分析

圖4 輸出光場的糾纏度隨光學隔離器傳輸效率的變化Fig. 4. Dependences of correlation degree of output optical fields on transmission efficiency of the optical isolator.

當NOPA1 輸出光場的糾纏度為8.4 dB (對應壓縮參量r=0.97),駐波腔NOPA2 的內腔損耗為= 0.2%時,根據(jù)(14)式,并結合系數(shù)m和n的表達式,得到了如圖4 所示的兩個駐波腔級聯(lián)光學系統(tǒng)輸出光場的糾纏度隨光學隔離器傳輸效率η的變化曲線. 曲線1,2,3 分別對應操控腔輸出耦合鏡的透過率為5%,7%和10%,三條曲線的變化趨勢相同,隨著傳輸效率η的增加,輸出光場的糾纏度也隨之增加. 這是因為光學隔離器的傳輸效率越高,級聯(lián)光學系統(tǒng)的傳輸損耗越小,最終得到糾纏態(tài)光場的糾纏度也越高. 三條曲線對比發(fā)現(xiàn),對于相同的傳輸效率,透射率越大,輸出光場的糾纏度越高. 這意味著在圖3 所示的光學系統(tǒng)中,高的傳輸效率和高的輸出耦合效率可以得到更高質量的糾纏態(tài)光場.

虛線4 表示輸入EPR 糾纏態(tài)光場的糾纏度大小,與曲線1,2,3 分別相交于三個不同的傳輸效率臨界點. 當η大于各個透射率所對應的臨界點時,操控腔可以增強NOPA1 輸出光場的糾纏度; 反之,輸出光場的糾纏度則小于輸入光場的糾纏度,NOPA2 失去糾纏增強的能力. 對比駐波腔與四鏡環(huán)形腔級聯(lián)的光學系統(tǒng),如果傳輸效率足夠高,兩駐波腔級聯(lián)的系統(tǒng)在透射率較小的情況下也能實現(xiàn)8.4 dB 糾纏態(tài)光場的糾纏增強.

虛線5 表示在圖1 所示的光學系統(tǒng)中,輸出鏡的透射率為10%時,輸出光場的糾纏度大小,與曲線3 相交于η=94.2%的臨界點. 當傳輸效率η >94.2%時,使用兩駐波腔級聯(lián)的光學系統(tǒng)可以得到更高糾纏度的糾纏態(tài)光場; 反之,應選擇駐波腔與四鏡環(huán)形腔級聯(lián)的光學系統(tǒng)來獲得更好的糾纏態(tài)光場.

圖5 所示為操控腔輸出耦合鏡的透射率為10%時,兩種不同的光學腔級聯(lián)系統(tǒng)輸出光場的糾纏度隨輸入光場糾纏度的變化,曲線1 和2 分別對應駐波腔和四鏡環(huán)形腔級聯(lián)以及兩個駐波腔級聯(lián)的糾纏增強系統(tǒng),兩系統(tǒng)中操控腔的內腔損耗分別為= 0.4%和=0.2%,光學隔離器的傳輸效率取為96%. 從圖5 可以看出,每條曲線都對應一個輸入光場糾纏度的上限值: –8.9 dB 和–9.4 dB (圖5中虛線),此處,NOPA2 的輸入光場和輸出光場的量子關聯(lián)噪聲是相等的,當輸入光場的糾纏度大于該上限值時,輸出光場的糾纏度將不再繼續(xù)增加,即NOPA2 的糾纏增強能力不再存在. 這是因為輸入光場的糾纏度越高,其反關聯(lián)噪聲也越高,受到相位鎖定系統(tǒng)中相位噪聲的影響,反關聯(lián)噪聲被耦合到關聯(lián)噪聲中,降低了最終輸出光場的糾纏度.

圖6 所示為兩種光學級聯(lián)系統(tǒng)輸出光場的糾纏度隨操控腔內腔損耗的變化,同樣取光學隔離器的傳輸效率為96%. 曲線1 和2 分別對應兩個駐波腔級聯(lián)以及駐波腔和四鏡環(huán)形腔級聯(lián)的糾纏增強系統(tǒng),顯然在內腔損耗較小的情況下,級聯(lián)系統(tǒng)實現(xiàn)糾纏增強的能力更強.

圖5 輸出光場的糾纏度隨輸入EPR 糾纏態(tài)光場糾纏度的變化Fig. 5. Dependences of correlation degree of output optical fields on correlation degree of input EPR entanglement optical fields.

圖6 輸出光場的糾纏度隨內腔損耗的變化Fig. 6. Dependences of correlation degree of output optical fields on intracavity loss.

5 結 論

利用級聯(lián)的方法可以增強輸出糾纏態(tài)光場的糾纏度,為了更大程度地獲得高質量的糾纏態(tài)光場,提出了選擇具有三共振結構的半整塊駐波腔作為第一個糾纏產生裝置,可得到糾纏度高達8.4 dB的EPR 糾纏態(tài)光場,級聯(lián)的光學腔既可選擇同樣具有三共振結構的半整塊駐波腔,也可以選擇鏡片法線與腔內光線有一定夾角的四鏡環(huán)形腔. 本文結合操控腔的兩種腔形,設計出不同的光學腔級聯(lián)系統(tǒng),理論分析得出兩種系統(tǒng)均能不同程度地實現(xiàn)光場的糾纏增強,詳細對比分析了這兩種光學系統(tǒng)實現(xiàn)糾纏增強的效果以及系統(tǒng)輸出光場的糾纏度隨不同物理參量的變化關系. 結果表明: 當輸出鏡的透射率較小時,四鏡環(huán)形結構的操控腔無法增強輸入光場的糾纏度,應選用操控腔為駐波腔且隔離器傳輸效率較高的光學系統(tǒng); 當輸出鏡的透射率較大且隔離器的傳輸效率較高時,使用兩駐波腔級聯(lián)的光學系統(tǒng)能得到更好的糾纏態(tài)光場,相反,當隔離器的傳輸效率較低時,選擇駐波腔與四鏡環(huán)形腔級聯(lián)的光學系統(tǒng)能夠獲得更好的糾纏態(tài)光場. 如果實驗上能進一步提高光學腔的輸入輸出耦合效率,提高光學隔離器的傳輸效率,降低光學腔的內腔損耗,可以獲得更高糾纏度的EPR 糾纏態(tài)光場,為量子信息的研究提供更優(yōu)質的量子資源.