求函數(shù)的值域方法種種

李寶賢

摘 要：函數(shù)的值域在函數(shù)的應用中占有非常重要的地位.因此，準確選擇恰當?shù)姆椒@得十分重要.本文結(jié)合具體的例題說明了求函數(shù)值域的方法.

關鍵詞：函數(shù) 值域 方法

函數(shù)的值域在函數(shù)的應用中占有非常重要的地位.近年來的高考題中，一般不直接考查函數(shù)的值域，往往作為綜合題的一部分來考查.而求函數(shù)的值域是一個比較復雜的問題.因此，準確選擇恰當?shù)姆椒@得十分重要.下面舉例說明求函數(shù)值域的方法，供參考.

一、直接法

有點函數(shù)結(jié)構并不復雜，可以通過基本初等函數(shù)的值域及不等式性質(zhì)直接觀察得出函數(shù)的值域.

例1：求函數(shù) 的值域

解：∵ ∴ ∴ ，即

∴函數(shù) 的值域為

二、中間變量法

對于一些特殊的函數(shù)，通過一定的變換，借助于中間變量的范圍來達到求原函數(shù)的值域.

例2：求函數(shù) 的值域

解：∵

∴

又∵ ，∴ 且

∴ ，∴

∴函數(shù)的值域為

三、換元法

運用代數(shù)或者三角代換，將所給函數(shù)轉(zhuǎn)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域.形如 （a，b，c，d均為常數(shù)，且ac≠0）的函數(shù)常用此法求值域

例3：求函數(shù) 的值域

解：

令 ，則 ，

∵ ，∴函數(shù)在[0，+ ∝）上是增函數(shù)

∴當 即 時， ，無最大值.

∴所求函數(shù)的值域為[1，+ ∝）

例4：求函數(shù) 的值域

解：∵函數(shù)的定義域為

∴令x= ，

則

∵ ，∴

∴ ，

即

∴所求函數(shù)的值域為 .

四、配方法

對于二次函數(shù)或可化為形如 的函數(shù)值域問題，均可用配方法.用此法求函數(shù)值域一定要注意定義域.

例5：已知 ，求函數(shù) 的值域

解：

∵ ， ∴ .

∴

=

=

=

∵ . ∴當 時， ，

當 時，

∴所求函數(shù)的值域為

五、不等式法求值域：利用均值不等式

例6：求函數(shù) 的值域

解：∵函數(shù)的定義域為

∴當 時，

當 時，

∴原函數(shù)的值域為

六、判別式法求值域

把函數(shù)轉(zhuǎn)化成 關于的二次方程 ，通過方程有實根，判別式△≥0，從而求得原函數(shù)的值域。

形如 不同時為0）的函數(shù)的值域常用此法。

例7：求函數(shù) 的值域

解：此函數(shù)的定義域為R，由 得

①當 時， ， 符合題意

②當 時，△=

∴

綜上所述，原函數(shù)的值域為

七、利用函數(shù)的單調(diào)性求值域

確定函數(shù)在定義域（或某個定義域的子集上）的單調(diào)性求出函數(shù)的值域的方法稱為單調(diào)性法.常見的有二次函數(shù)在某個區(qū)間上求值域，對號函數(shù)[ ]在某個區(qū)間上求值域，在利用重要不等式求值域失效（符號不滿足）的情況下，可采用單調(diào)性求值域.

例8：求函數(shù) 的值域

錯解：∵ >0

∴有均值不等式

∴ ， ∴函數(shù)的值域為

錯因：利用均值不等式時，一定要注意條件“一正二定三相等”，而此題不滿足均值不等式的條件，等號不能成立

（∵當 時. ， ）

正解：令 ，則 ，

由 在 上單調(diào)遞增

∴當 即 時，

∴函數(shù)的值域為

八、數(shù)形結(jié)合法求值域

數(shù)形結(jié)合法就是利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖像來求函數(shù)的值域。

例9：已知實數(shù)x，y滿足 ，求 的取值范圍

解：將 看成橢圓 上的動點（x，y）

與定點P（0，—4）的連線的斜率，過點P引橢圓的兩條切線PA，PB，設切線方程為 ，如圖所示

由 得

則△

∴ ，∴ ，

∴所求函數(shù)的值域為

九、函數(shù)的有界性求值域

形如

（或 或 ）型函數(shù)常用此法。

例10：求函數(shù) 的值域

解：原函數(shù)可變形為 ，即

∵ ，∴ ，

∴ ∴所求函數(shù)的值域為

此題還可以看成是過定點P（2，2）和圓 上一點的直線斜率，應用數(shù)形結(jié)合法，如圖

十、導數(shù)法：多項式函數(shù)在閉區(qū)間上求值域多用此法

例11：求函數(shù) 在區(qū)間 的值域

解：∵ =

令 得

當 時， ， 為增函數(shù)

當 時， ， 為減函數(shù)

當 時， ， 為增函數(shù)

∴ 在 處取得極大值，在 處取得極小值

而 ， ， ，

∴

∴函數(shù) 在區(qū)間 的值域為