潛心重構教材擺脫建構窘境的實踐與思考

呂學柱

(江蘇省灌南高級中學 222500)

在使用高中數(shù)學教材進行知識建構的教學和教研中，時常會接觸到“建構思路不自然”、“思維展開不流暢”、“求知欲望不強烈”、“似懂非懂”以及“學完尚存困惑”等教學現(xiàn)象.這些現(xiàn)象極易讓教學陷入窘境.其成因主要來自知識本身難度的影響，學生認知水平的不足，教材與教學的脫節(jié)，教師研究不深、重視不夠、方法不當?shù)鹊?而諸多因素中教師是解決問題的關鍵因素.筆者經(jīng)過深入的學習、研究、實踐與思考，認為可采取適當?shù)慕虒W策略重構教材，擺脫知識建構窘境.現(xiàn)將心得呈現(xiàn)，作為引玉之磚.

1 鋪路搭橋 打通聯(lián)系 讓知識自然生長

奧蘇貝爾認為“影響學習最主要的因素是學生已知的內容，弄清了這一點之后，再進行相應的教學.”只有當學生學習的新知識與其原有的認知相聯(lián)系，才能產生有意義的學習，進而形成新的認知結構.這種聯(lián)系越暢通，形成新的認知結構越自然、越穩(wěn)固.有些新知識與相關舊知識之間跨度較大，如果教師一味地“教教材”，不重視知識形成過程的教學，只能把新知識強行灌輸給學生，學生當然會感覺生硬、難以接受.教師只有注重知識形成過程的教學，在深入研究教材和學情的基礎上，創(chuàng)造性地重構教材，通過鋪路搭橋、適當鋪墊，打通已有認知與新的認知之間的聯(lián)系，才能讓新的認知成為在原有認知基礎上的自然生長.

如“任意角的三角函數(shù)”一節(jié)，學生已有認知是初中學過的銳角三角函數(shù)，新概念形成是本節(jié)的難點，這一難點的形成因素較多，抓住關鍵因素才能高效地消除疑難，并從根本上擺脫教學窘境.有的教師認為“坐標系引進”是關鍵因素，其教學設計則在坐標系引進的自然性上下功夫.有的教師認為“函數(shù)觀點認識新概念”是關鍵因素， 其教學設計則在“三角函數(shù)是角為自變量的函數(shù)”上做文章，著力于“比值與終邊上點的位置無關”.筆者經(jīng)過學情調查及分析研究后認為，“坐標系引進”并非關鍵因素，在“任意角”的學習中已經(jīng)將坐標系引進.對于普通的學生來說不構成障礙，教師無需在此發(fā)力.至于“函數(shù)觀點認識新概念”，教材內容已經(jīng)足以解決，教師無需在此費力.真正的關鍵是如何打通從“銳角三角函數(shù)”到“任意角的三角函數(shù)”的聯(lián)系.使學生跨越從“邊長比”到“坐標比”之間的這道坎.筆者以蘇教版教材為基礎[1]，汲取人教A版教材的養(yǎng)分[2]，對教材進行重構，將任意角的三角函數(shù)定義及三角函數(shù)線進行整體設計形成如下教學片斷.

案例1“任意角的三角函數(shù)”教學片斷

師：在平面直角坐標系中，P(x,y)為任意角α終邊上的一點，|OP|=r>0.(即原點O為圓心r為半徑的圓與終邊交于P).則(r,α)和(x,y)均可確定點P的位置，怎樣用數(shù)學模型刻畫二者之間的關系？在什么情況下二者關系我們容易研究？

師：從“邊長的比”到“坐標的比”對于α為銳角是沒有問題的，α超出了銳角的范圍，坐標未必是正數(shù)，邊長之比就沒有普適性了.比如α為鈍角，已學的銳角三角函數(shù)定義不再適用.看來需要對“銳角三角函數(shù)定義”重新認識.對銳角而言，沿著終邊從O到P行程r，鄰邊OM和對邊MP分別為行走產生的水平位移(x軸方向上)和豎直位移(y軸方向上)，銳角三角函數(shù)定義中的鄰邊和對邊分別是水平位移和豎直位移(此處位移為正，與邊長一致).下面我們看看鈍角三角函數(shù)，情況如何？

師：按照“位移”的想法，對于第一象限、第二象限的角銳角三角函數(shù)定義可以推廣嗎？第三象限角、第四象限角以及坐標軸上的角，情況又如何？

生：(略加思考后)依然可以，銳角三角函數(shù)定義可以推廣到任意角的情形.

師：這樣任意角的三角函數(shù)定義就形成了(師生共同給出定義).如果不用兩個量的比，而只有一個量你能表示三角函數(shù)嗎？如何表示？

生：這個容易，分母為1就可以了，r=1，正弦、余弦分別是y和x，也就是位移MP和OM，正切是y(x=1時).

(教師引導對正切的情形進行修正，可準確自然地建構三角函數(shù)線的知識，限于篇幅不再展開)

注將“邊長”改造成“位移”，架起了“銳角三角函數(shù)”與“任意角三角函數(shù)”之間的橋梁，再將“位移”輕松改造成 “有向線段的數(shù)量”，“三角函數(shù)線”也就水到渠成了.這樣一來，任意角三角函數(shù)和三角函數(shù)線都成了在銳角三角函數(shù)基礎上的自然生長.

2 因勢利導 整合方法 讓思維流暢展開

發(fā)現(xiàn)法作為一種嚴格意義的教學法是由布魯納(美國心理學家)在《教育過程》一書中提出的.這種方法要求學生在教師的引導下能象科學家發(fā)現(xiàn)真理那樣，通過獨立思考去探索新知識，從而發(fā)現(xiàn)新知識的奧秘.而高中數(shù)學新知識的絕大部分是可以讓學生在適當條件下“發(fā)現(xiàn)”的，這就決定了發(fā)現(xiàn)法在高中數(shù)學知識建構中所處的突出地位.

在教學中如果教師一味“認準”發(fā)現(xiàn)法甚至其中的具體方式，不加整合，不善變通，則會造成學生思維受阻、課堂效益低下的尷尬局面.因此，在運用發(fā)現(xiàn)法進行教學時教師必須因勢利導，從直覺感知、歸納猜想、類比遷移、邏輯推演等“發(fā)現(xiàn)”方式中適當選擇，與其它教學方法有機整合，并結合學情重構教材，才能讓學生的思維流暢地展開，獲得滿意的教學效益.

案例2“二項式定理”教學片斷

師：我們已經(jīng)知道：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,試計算 (a+b)4和(a+b)5，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

生：容易發(fā)現(xiàn)展開式的項數(shù)比指數(shù)多1，各項次數(shù)與指數(shù)相同，按a降冪排列，系數(shù)對稱，兩端系數(shù)為1等等.

(師生互動，系數(shù)列出后形成三角形即“楊輝三角”，系數(shù)規(guī)律尚不透徹.)

師：既然歸納法不能完成一般規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，我們不妨換換方法.(稍頃)我們來演繹一下怎么樣？ (a+b)n是(a+b)自乘n次，看系數(shù)是怎么產生的，還是沒轍.不妨再“退”到簡單的情況.

師：很好！(a+b)n展開式中an-rbr系數(shù)是什么？為什么？

師：非常好！現(xiàn)在我們就完成了一般規(guī)律(二項式定理)的發(fā)現(xiàn)，并且也獲得了推導.這個規(guī)律是偉大的數(shù)學家(物理學家)牛頓在1664年發(fā)現(xiàn)的，而楊輝三角首見于南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算術》一書，在歐洲稱為帕斯卡三角(1654年發(fā)現(xiàn))，牛頓的發(fā)現(xiàn)距帕斯卡三角10年，距楊輝三角400多年.難怪我們的探究道路曲折.

注二項式定理的建構如果一味采用歸納法，將楊輝三角中的數(shù)據(jù)改為相應的組合數(shù)呈現(xiàn)給學生，表面上看教學程序流暢了，但這個發(fā)現(xiàn)明顯是老師灌輸?shù)?，是“偽發(fā)現(xiàn)”.如果一味地采用演繹法，學生會感覺不自然，很生硬，探究熱情不高，課堂效益低下.要讓學生的思維流暢地展開，必須進行教材教法的整合.

3 循循善誘 植入文化 讓素養(yǎng)悄然提升

課程標準指出：數(shù)學是人類文化的重要組成部分.數(shù)學課程應當適當反映數(shù)學的歷史、應用和發(fā)展趨勢，數(shù)學對推動社會發(fā)展的作用，數(shù)學的社會需求，社會發(fā)展對數(shù)學發(fā)展的推動作用，數(shù)學科學的思想體系，數(shù)學的美學價值，數(shù)學家的創(chuàng)新精神[3].“體現(xiàn)數(shù)學的文化價值”不僅符合新課程的基本理念，在知識建構中有時可以發(fā)揮無可替代的作用.

比如“數(shù)系的擴充”一節(jié)，教材(蘇教版選修2-2)介紹了社會需要及數(shù)學內部矛盾兩個方面在數(shù)系擴充過程中的作用，做到了科學性與量力性的有機統(tǒng)一，較好地體現(xiàn)了數(shù)學的文化價值.盡管如此，如果照本宣科“教教材”，學生對“虛數(shù)”還是存在排斥、疑惑等負面情緒，而且缺乏學習激情.有的教師認為數(shù)學史上數(shù)學家是在解三次方程中“發(fā)現(xiàn)”虛數(shù)的，教學中沿著歷史上數(shù)學家的足跡“急速行走”，學習激情上升了，但排斥、疑惑等負面情緒猶在，而且由于學生對當初數(shù)學家所用的三次方程解法一無所知，教學中反而平添了一個疑點.只有按照“學情”對教材和數(shù)學史進行整合重構，才能借助數(shù)學文化的力量，促進新知識的建構,促進數(shù)學素養(yǎng)的提升.

案例3“數(shù)系的擴充”教學片斷

教師：甲的做法中假如x存在，其結果應該是對的，x一定是超出實數(shù)范圍的一種“新數(shù)”，這種“新數(shù)”會是什么樣子呢？

教師：大家閱讀教材，并對數(shù)的概念的發(fā)展和數(shù)系的擴充過程進行回顧和歸納.

(在師生互動中引入虛數(shù)單位、虛數(shù)、復數(shù)的概念，實現(xiàn)數(shù)系的新的擴充)

教師；我們用分分鐘的時間，就發(fā)現(xiàn)了“虛數(shù)”，真是了不起.公元前500年古希臘數(shù)學家希伯斯發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)之后，數(shù)學家對于數(shù)的研究大約2000年未能突破實數(shù)的范圍.1484年，法國數(shù)學家在解二次方程x2+4=3x時，結果用到負數(shù)的平方根，但仍聲明這是不可能的.到1545年，意大利數(shù)學家在解三次方程時得到類似的結果，引入負數(shù)的平方根，并稱它為“詭辯量”.后來，經(jīng)過笛卡爾、歐拉等數(shù)學家的努力，到1837完成了從實數(shù)系向復數(shù)系的擴充.這項工作歷經(jīng)近300年才得以大功告成.如果讓我們穿越“時空隧道”進入“16世紀歐洲”，我們都會是世界一流的數(shù)學家.我們用一節(jié)課解決那個時代世界頂級數(shù)學家百年的困惑，如果我們還有點困惑算得了什么？再用幾節(jié)課，我們在領略經(jīng)過近300年形成的“復數(shù)”的風光中，將會不斷消除困惑，享受怡人美景.

注由簡單問題引發(fā)學生的認知沖突，認識數(shù)系擴充的必要性，提高數(shù)學探究的熱情.適當植入數(shù)學文化帶給學生探索精神和奮斗動力，幫助學生增強信心、消除疑慮、提升素養(yǎng).

4 再造情境 激趣導入 讓建構暢快淋漓

教材對情境設置有生活的、歷史的以及學科知識的等多種背景.盡管如此，在教學中如果教師不能對它進行改造，常常與學生的生活、認知及情感脫節(jié)，不利于學習內驅力的激發(fā)和新知識的建構.教師只有根據(jù)“學情”和學習目標，再造情境，才能激發(fā)學生的學習興趣，讓知識建構暢快淋漓.

案例4“等比數(shù)列的前n項的和”教學片斷

教材(蘇教版必修5)中未設置情境，教師通過講述古印度國王西拉謨獎勵國際象棋發(fā)明者的經(jīng)典故事，引發(fā)學生認知沖突，激發(fā)學生探求新知識的熱情.

教材中對公式的推導只提供了“錯位相減法”，缺乏研究的教師也只能“教教材”，這樣產生的結果是知識和方法基本學會了，而“思路不自然”、“ 生硬”成為好多學生的內心感受.究其原因是這種方法與學生原有的認知脫節(jié).筆者作如下處理.

教師：Sn=a1+a2+a3+…+an，如何用基本量表達Sn？(稍頃)看來由于特點不同，等差數(shù)列的求和方法失效了.怎么辦？看特點！(適當啟發(fā))

生甲：Sn=Sn-1+an，Sn=a1+qSn-1,解方程組可得.(師生互動，分類討論，逐步完善)

生乙：Sn=a1+qSn-an+1,解方程就可以了.(完善方式同上)

教師：抓住式子的特點，運用常用數(shù)學思想(方程思想)，用自己的智慧獲得了公式及推導，非常好！我們再看看教材是如何推導的.(閱讀、交流后，教師點評)其實同樣是抓住式子的特點，只是表達形式不同而已，教材方法非常經(jīng)典，稱為“錯位相減法”，我們應當學會使用.(至此，新知識順暢建構，生硬感瞬間消失)

5 多元表征 變式深化 讓過程錦上添花

所謂知識的表征，是指人在自己的工作記憶和長時記憶中對信息的貯存、表示和再現(xiàn)方式.數(shù)學多元表征大致分為言語化表征和視覺化表征，前者如符號表征、文字表征等，后者如圖形表征、情境表征、操作表征等.多元表征指通過多種形式的表征及各表征之間的轉換，幫助學生對知識進行多角度、多層面認識，從而優(yōu)化已有的認知圖式.變式教學作為我國數(shù)學教育的優(yōu)良傳統(tǒng)在某種程度上與多元表征不謀而合[4].在概念學習中學生如果不能從多角度、多背景深入理解概念，那么一旦換一個側面去闡述同一個概念，他們就會不知所云.同樣，在命題學習中，如果學生沒有完善的命題域和命題系，那么在解決問題時他們就不能及時有效的調用適當?shù)哪Ｊ?，從而使欲解決的問題難度加大，甚至無法解決[5].由此可見，在高中數(shù)學知識建構中多元表征和變式教學是不可或缺的.

案例5“基本不等式”教學設計要點

基本不等式有多種表征形式，主要有下面幾種.

(4)語言表征 兩個非負數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術平均數(shù).

(6)圖形表征 構造AB為直徑的半圓O，點C把AB分成兩段，AC,BC長度分別為a,b.CD⊥AB交半圓于D，試比較半弦CD與半徑OD的大小.

知識運用從某種意義上說也是知識表征不同形式、不同層次之間的轉換.這一點與變式教學如出一轍.可針對學生思維水平設計適當?shù)摹斑\用”題組，使知識在運用中深化，讓建構過程錦上添花.(篇幅所限，題組略去)

綜上可知，教師只有摒棄單純“教教材”的教學行為，加強學習、研究和反思，針對學生認知水平和相關的學習目標，潛心重構教材、整合教法，才能擺脫知識建構中的種種窘境，提高課堂教學效益，提升課堂教學品位.