以“畫三角形”實驗課為例的“講中學”的探究①

戴 健

(江蘇省蘇州市振華中學校 215006)

所謂“講中學”就是讓學生通過“講概念、述想法”，來提高數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)智慧．“講中學”是本文作者在長期的初中數(shù)學教學實踐中所形成的教學風格，與呂傳漢先生的“三教”(教思考、教體驗、教表達)的教育思想相契合[1]．本文旨在探討形成“講中學”的教學前提，教學環(huán)境的創(chuàng)造，以及“講中學”的教學設計和評價.

1 “講中學”的教學前提

鮑建生指出，學生高層次思維的表現(xiàn)形式有：(1)對提出的問題，通過自己的獨立思考有所見解；(2)解答問題時，能用多種方式表達自己的見解；(3)在討論時，能向同伴提出有建設性的意見[2]．筆者所追求的正是：通過“講”的自信來培養(yǎng)對數(shù)學的興趣，形成對數(shù)學概念和思想方法的體驗，提高綜合能力．不難看出，“講”的過程是“數(shù)學化”、“再創(chuàng)造”，講的機理是“提高元認知水平”，講的標準是“嚴謹性”．但是，好的教育目標和教學行為未必具有普遍的適用性．“講中學”能夠落實到位，需要教師、學生和師生關系三個方面的條件．作為教師，筆者的緘默型教學知識主要來源于一直堅持的兩件事：備應答，比教材.

備應答是指在寫教學設計時不但要備提問、設計問題串，更要想好學生應答的多種可能，對學生的反饋及時糾錯、答疑或肯定，引導學生持續(xù)有效的交流．比教材是指把同一數(shù)學內(nèi)容相關的幾套數(shù)學教材的處理方法相比較，挖掘各自特色，為實現(xiàn)最佳教學設計尋找智慧.

本次“畫三角形”就是通過蘇科版和滬教版的教材比較找到靈感的．滬教版教材[3]在七(下)直接講三角形的邊、角關系和全等三角形，它在研究三角形時單獨安排《畫三角形》的一節(jié)課．這種單獨安排引起筆者的強烈興趣：以前也總會教學生畫三角形，關注的是三角形的形狀大小的確定性(蘇科版)，而滬教版是探究“以下三個元素能否確定三角形？”盡管探究的內(nèi)容并不完整，但筆者敏感到了這是所見到的“全等三角形判定”定理導出的最佳途徑．筆者于是打破常規(guī)，設計出一堂數(shù)學實驗課，探究“確定一個三角形需要哪些元素？”把單純的用尺規(guī)作圖畫三角形的教學與確定三角形的條件的深度思考進行整合，讓學生感受已知一個元素、二個元素畫三角形的不確定性，如何追加元素等等．通過畫三角形的實驗，真正感受到要確定三角形必須具備哪些元素．通過元素確定的實驗，再進行三角形全等的判定定理的教學只需簡單回顧實驗課結論，就沒有任何障礙.

筆者對不同時代的學生的心智進行了比較，以前強調(diào)學生接受數(shù)學概念需要設置科學的階梯，不能按數(shù)學結構的邏輯順序編寫教材，但事實是，近十年來，隨著現(xiàn)代媒體的強勢浸入，學生的幾何直觀能力都有更好的基礎，比如對圖形形狀大小的信息可以回答得十分準確．相反地，如果教材中把幾何公理變成“量一量、畫一畫、你能發(fā)現(xiàn)什么？”這樣的填空題，就會帶來一個問題：如果老師比較有經(jīng)驗，很嚴謹，就能夠給學生一個好的答案，如果老師不很嚴謹，口語化地幫學生回答，就會造成學生在解題中敘述不嚴謹?shù)谋撞?，他們也就會對“講”產(chǎn)生恐懼．因此，實施“講中學”首先需要營造良好的交流氛圍，樹立學生強烈的交流意識，再讓優(yōu)秀的語言表達能力和扎實的數(shù)學知識形成良性循環(huán).

2 營造“講中學”的教學環(huán)境

筆者對“講中學”的環(huán)境的營造問題進行了持續(xù)十多年的探討，形成了一套系統(tǒng)的方法.

(1)提振自信

筆者接任每一個新班的第一個目標就是：所有的學生都不排斥上數(shù)學，而且要讓他們感到在上一個新的章節(jié)時能夠獲得新知，充滿戰(zhàn)斗的力量．學生排斥數(shù)學的原因主要是碎片化的教材形式造成的，拿三角形全等的判定來說，常規(guī)的教法是，今天教邊角邊，就演示——做題，明天教角邊角，再演示——做題，再研究兩邊一角、兩角一邊，看上去每節(jié)課的模式很正規(guī)，但學生的知識是很瑣碎的，只知道學到了一大堆判定定理、也不知道會不會有別的判定方法，就產(chǎn)生了畏懼感．所以，我們一方面要讓學生有一個總的概念鋪墊，使他們學得輕松、學得自信．另一方面要通過反復提問，把他們前幾年積累的“漏洞”自動補起來．

(2)培養(yǎng)習慣

形成習慣以前的學生在表述時最先都是指手畫腳、隨性而講的．比如講平行、講角平分線時大家都是講不清楚的，但只要方法適當，教學生“學會講話”并不難．講三角形全等的證明題時，筆者要求每個學生找一個(學生)“同伴老師”，這個老師聽懂了才允許把題目過程寫下來；又比如在講圓的切線概念時，足有一半學生講不清，筆者讓會的“同伴老師”指導不會的同學講，練兩天后大家就都能講得很好．幾何證明題的書寫是非常頭痛的，現(xiàn)在讓他們練“講”后，學生思維的嚴謹性、語言表達的流暢性一旦形成，書寫也就簡潔明快了.

(3)創(chuàng)造機會

因為應試，年輕的老師在課堂上往往會比較急躁，對(特別是新章節(jié))概念引入會一帶而過或者情景輔助．比如說三角形的一章，“三角形”的概念似乎不需要多講，但作為“平面上的最簡單的直線型封閉圖形”的語言描述，應該花時間去講，老師講了還要讓學生都會講，這樣才會自然地想到將多邊形分割到三角形這種最簡化的圖形，而不是到臨近中考時遇到壓軸題才想到“化繁為簡”、“轉(zhuǎn)化”等思想，數(shù)學的素養(yǎng)、思想方法都是要靠平時滲透的．更重要的是，抓住這種容易著手的概念，給學生以嚴謹表達的機會，非常重要.

(4)安靜思考

全班會“講”以后，就要培養(yǎng)“安靜的思考”． 比如探究“確定三角形”的條件，很安靜地給他們足夠時間去畫、去想表達方式：對于給定三個元素的問題，預設在10到15分鐘之間讓大家獨立思考，如果畫不出來，可以和周圍的同學探討一下，他所畫出來得到的結果比教師在講臺上的演示效果好得多，因為這是自己探討出來的．“做”、“講”、“寫”是三大輸出性學習方式，具有實踐性、探索性和創(chuàng)造性．課堂上盡量創(chuàng)設情景讓學生動手做實驗，并讓學生通過“講”表達想法、升華思維、經(jīng)受學習共同體的評判．

3 以“畫三角形”為例的實驗課設計和片斷回顧

《全等三角形判定》的傳統(tǒng)教法是，直接分類得出判定的幾個模式，然后每節(jié)課學習一種模式，通過題目的一定量的積累使學生找到判定的規(guī)律．筆者采取了相反的思路：通過學生的實驗，使學生親自產(chǎn)生更牢固的判定概念，“用有限的知識去解決無限的問題”；這種“確定性”的思維還可以為后續(xù)“平行四邊形”的學習打好基礎．

(1)教學目標

1)本節(jié)課先提出“完全確定一個三角形的形狀和大小需要給定這個三角形的幾個元素”的問題進行思考，再安排畫三角形的操作，為下一節(jié)課探究判定兩個三角形全等的條件儲備實驗感知.

2)通過創(chuàng)設良好的實驗環(huán)境和精確設問，讓學生體驗“操作實驗——歸納猜想——發(fā)現(xiàn)表達——說理證實”的數(shù)學研究過程．

(2)教學重點

整節(jié)課“畫三角形”的內(nèi)容，是圍繞問題：“確定一個三角形的形狀和大小，需要給定這個三角形的幾個元素？”而展開．要使所畫的三角形完全確定，關鍵是三角形三個頂點的相對位置必需確定，這是通過畫圖來探究這個問題關鍵的思考線索．

1)讓學生不但知道一個、二個元素的不確定性，還要會描述反例；

2)對已知“三個元素”條件的確定性和不確定性自覺分類；

3)對已知“四個元素”條件的確定性進行邏輯論證.

(3)過程設計

1)問題提出：一個三角形三邊三角六個元素，要完全確定一個三角形的形狀和大小，需要給定這個三角形的幾個元素？

2)數(shù)學實驗1：給定三角形的兩個元素，畫出的三角形的形狀和大小是否確定？

(a)已知三角形的兩條邊的長分別為3cm，4cm；

(b)已知三角形的兩個內(nèi)角分別為45°，60°；

(c)已知三角形的一個內(nèi)角為45°，一條邊長4cm.

3)數(shù)學實驗2：在下列條件下畫三角形，所畫的三角形的形狀和大小是否確定？

(a)畫△ABC，使AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm；

(b)畫△ABC，使∠B=50°，∠C=70°，BC=4cm；

(c)畫△ABC，使∠B=50°，∠C=70°，AB=3cm；

(d)畫△ABC，使AB=3cm，AC=2cm，∠A=45°；

(e)畫△ABC，使AB=3cm，BC=2.5cm，∠A=45°.

4)實驗發(fā)現(xiàn)(討論)要使所畫的三角形完全確定，關鍵是什么？

5)既然三個元素未必可以確定一個三角形，那么四個元素能否完全確定呢(論證)？

(4)片斷回顧

片斷1(確定性條件的提出和分類)

首先回顧任何一個三角形有6個元素(3個角和3條邊).

師：給定一個角，能否確定一個三角形呢(生答：不能)？請舉反例.

生：比如說兩塊三角板，都有一個角是90°，但一塊板的另兩個角是45°、45°，而另一塊板的另兩個角是30°、60°，明顯不一樣.

師：那么如果給定三角形的三個元素，又會有幾種情況呢？

眾生：三邊、三角、二邊一角、二角一邊.

兩位學生上臺圖示后眾生細分出六種情況：三邊、三角、兩角及其夾邊、兩角及一角的對邊、兩邊及其夾角、兩邊及一邊的對角．筆者取出事先準備好的(a)-(e)五個實驗題，并要求邊畫邊思考“在這樣的條件下畫三角形，所畫的三角形的形狀和大小是否確定？”

十二分鐘后，全班六個小組都完成實驗．筆者要求同學講清為什么題(e)有兩種情況(如圖1).

圖1 已知元素“兩邊及其中一對角”的兩個圖

生：我先畫AB=3cm，再作∠A=45°，以B點為圓心，2.5cm為半徑畫圓弧，可以作出兩個交點，所以會有兩種三角形.

……

師：在你們畫圖的過程中，能確定三角形的形狀和大小的關鍵是什么？

生：關鍵是要確定三個頂點的位置.

生：在三個條件中，至少要有一個邊長的條件.

片斷2(對“已知四個元素”的討論)

師：我現(xiàn)在還有個問題，要畫出確定形狀和大小的三角形，還需要給出更多的元素嗎？……所以，如果任意給出四個元素，怎么樣(生眾：一定行！)……那么五個條件呢(生眾：一定行！).

用反例驗證和實驗中的不確定性，學會“思維嚴謹”；從先畫再講、手口相輔的經(jīng)歷中體驗“自我評價”；在對分類討論的不斷問答中學會“急中生智”．在實驗活動過程中，學生人人參與、獨立思考、自主探究，數(shù)學分類、數(shù)學表達以及合作交流的能力都得到有效提升.

4 小結

“講中學”首先需要教師積累“充實后的教學知識”，將學科知識與學生、教學、課程有機結合．要營造教學互動的良性循環(huán)氛圍，讓所學的不再是單純的數(shù)學知識，而是清晰表達的綜合素養(yǎng)和數(shù)學交流中的智慧.

為了培養(yǎng)有素養(yǎng)、有智慧的學生，“講中學”的深入探討具有廣闊的前景．一方面，“講中學”成為具有元認知訓練意義的、既經(jīng)濟又有效的教學行為，讓學生在自我認識、自覺反思、獲得信念和動力的同時，在溝通交流、數(shù)學化能力、推理論證、制定策略等素養(yǎng)上不斷飛躍．另一方面，“講中學”通過教師課前設計和現(xiàn)場調(diào)適，給學生以智慧的熏陶，有益于學生的終身發(fā)展．“講中學”既是提升素養(yǎng)的技術途徑，又是探究性教學的典型形式，為學生賦予廣闊的思維空間，點亮鮮活的思維火花[4]．