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    數(shù)學(xué)實驗:數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)形成的有效路徑

    2019-04-09 05:22:06孫朝仁
    數(shù)學(xué)通報 2019年2期
    關(guān)鍵詞:概念素養(yǎng)實驗

    孫朝仁

    (江蘇省蘇州市教育科學(xué)研究院 215004)

    《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)將數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)學(xué)科的第一個素養(yǎng).《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出,“數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象,得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng).主要包括:從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并用數(shù)學(xué)語言予以表征”[1].可以說,數(shù)學(xué)抽象既是數(shù)學(xué)的基本思想,更是形成理性思維的重要基礎(chǔ).由于“數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象”而處于核心地位,因此,數(shù)學(xué)抽象不只是高中生的專屬素養(yǎng),也應(yīng)是初中生的必備素養(yǎng).

    史寧中教授將數(shù)學(xué)抽象劃分為感性抽象和理性抽象[2].其中,感性抽象是把現(xiàn)實中的一些與數(shù)量和圖形有關(guān)的東西引入數(shù)學(xué)內(nèi)部,形成數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)法則和數(shù)學(xué)模型;理性抽象是對感性抽象得到的思想材料進(jìn)行二次抽象,是從“此理性具體”到“彼理性具體”的思維過程.而數(shù)學(xué)實驗是學(xué)生通過動手動腦,以“做”為支架的數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動方式,是在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生運用有關(guān)工具,通過實際操作,在認(rèn)知與非認(rèn)知因素參與下進(jìn)行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、理解數(shù)學(xué)知識、驗證數(shù)學(xué)結(jié)論的思維活動,其中審美意識滲透于整個活動過程之中.顯然,數(shù)學(xué)實驗過程中的操作、思考、運用、審美的過程從某種意義上來說,正是“數(shù)學(xué)抽象”的過程.因此說,數(shù)學(xué)實驗是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)形成和發(fā)展的有效路徑.

    我們認(rèn)為,數(shù)學(xué)實驗過程中的“操作”與“思考”是感性抽象的通用技術(shù),影響概念本質(zhì)屬性的發(fā)生、發(fā)展與使用,以及客觀理想化抽象以及條件擴(kuò)張式抽象(弱抽象)的經(jīng)驗水平;而“運用”“審美”則是理性抽象的適應(yīng)性路徑,影響概念關(guān)系原型的建立,以及強(qiáng)化結(jié)構(gòu)式抽象以及聯(lián)結(jié)關(guān)系式抽象的能力水平.

    1 基于“操作”的理想化抽象,抽象概念屬性

    動手“做數(shù)學(xué)”是數(shù)學(xué)實驗的主體,是初中段學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本途徑,起于感官認(rèn)知理解,在揭示概念本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上,實現(xiàn)客觀理想化抽象.

    鄭毓信從數(shù)學(xué)實驗的客觀性出發(fā),確認(rèn)數(shù)學(xué)抽象具有理想化、精確化、模式化的特點[3].理想化數(shù)學(xué)抽象的基本含義是:一方面,數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實,包括數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論、數(shù)學(xué)方法是現(xiàn)實世界的反映產(chǎn)物;另一方面,數(shù)學(xué)高于現(xiàn)實,數(shù)學(xué)對象是抽象思維的產(chǎn)物,是理想化的知覺產(chǎn)物.如,各種球類、交叉路口等都給我們以“點”的印象.眾所周知,數(shù)學(xué)意義上的點源于千姿百態(tài)的生活實物中“點”的形象(如,起跳點等),但卻是去物理屬性的“點”,因此“點”沒有大小就是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果;還比如,數(shù)學(xué)研究范疇的線、面是沒有粗細(xì)之分、沒有厚薄之分的,這種去物理屬性的數(shù)學(xué)對象也是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果形態(tài).

    動手“做數(shù)學(xué)”,也即動手操作的本質(zhì)就是剔除概念物理屬性,獲得概念或概念本質(zhì)關(guān)系的過程.基于這一意義,可以說“操作”是實現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的一個起點,是獲得數(shù)學(xué)研究對象及其規(guī)律的思想前提.當(dāng)然,在初中階段 “做數(shù)學(xué)”與“基本活動經(jīng)驗”顯著相關(guān),“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在‘做’的過程和‘思考’的過程中積淀”.為此,“操作”需要做好三個層面的問題導(dǎo)學(xué)工作,方能達(dá)成理想化數(shù)學(xué)抽象的目標(biāo).一是“情境性”問題導(dǎo)學(xué),落實發(fā)生概念抽象的先行組織行為;二是“工具性”問題導(dǎo)學(xué),提高知覺概念發(fā)展的抽象水平;三是“關(guān)系性”問題導(dǎo)學(xué),建立全息數(shù)學(xué)結(jié)論的通用技術(shù).比如,在研究“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”的基本事實時,就是通過客觀理想化抽象實現(xiàn)對概念的把握.

    具體設(shè)計實施客觀理想化抽象過程如下:

    首先,讓學(xué)生研究“交通圖”(見圖1),在問題導(dǎo)學(xué)基礎(chǔ)上,抽象出平行線性質(zhì)的“存在性”和“唯一性”.其一是,說出圖中存在的近似平行的道路形象;其二是,過人民廣場與建設(shè)路平行的道路有哪幾條?其三是,過勞動路與青年路交叉點且與建設(shè)路平行的道路有哪幾條?在感知基礎(chǔ)上,基于生活經(jīng)驗還原平行事實的本來面貌,為概念事實性質(zhì)的發(fā)生提供情境支持體系.

    圖1

    其次,讓學(xué)生通過“折紙活動”,抽象出平行線性質(zhì)的“唯一性”.即用一張方格紙任意折平行線,說出你的發(fā)現(xiàn);在A4紙上任意確定一個點,過這個點,折出其中一邊的平行線,能折幾條?在A4紙上任意確定一個點,并折出一條斜線型折痕,過該點折出與斜線折痕平行的折痕.寫出你的發(fā)現(xiàn),由此你有怎樣的經(jīng)驗感悟?

    最后,讓學(xué)生通過“畫圖”,抽象出平行線的“唯一性”.其一是,利用方格紙的格點和格線,畫已知點和已知直線的平行線;其二是,在練習(xí)紙上,任意確定一個點和任意畫一條直線,使用“三角板+直尺”,畫出過已知點且與已知直線平行的直線,在抽象出畫圖經(jīng)驗的基礎(chǔ)上,表述平行線的基本事實;其三是,借助“直尺+三角板”驗證,進(jìn)一步感悟在較復(fù)雜圖形中存在的平行線的“唯一性”特征.

    之所以把“操作”作為初中段數(shù)學(xué)抽象的起點,是因為,一方面有助于知覺認(rèn)知抽象的適應(yīng)性發(fā)生,能讓學(xué)習(xí)者直覺感知概念的本體特征;另一方面有助于理想化抽象的理性發(fā)生,形成概念間的內(nèi)部邏輯關(guān)系.如果說,把“交通圖”中的平行關(guān)系事實作為情境抽象的載體,那么“折紙活動”就是工具抽象發(fā)生的行為,而“畫、說平行事實”則是數(shù)學(xué)關(guān)系抽象的一種可表現(xiàn)形式,終于理想化抽象對數(shù)學(xué)概念認(rèn)知的積極推動作用.

    2 基于“思考”的擴(kuò)張式抽象,抽象概念本質(zhì)

    在“做”的基礎(chǔ)上進(jìn)行“思考”,做思結(jié)合,有助于數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性的揭示.在這里,“思考”作為數(shù)學(xué)實驗教學(xué)不可或缺的一個重要元素,是概念得以同化的思維模塊,是擴(kuò)張式抽象(弱抽象)的思維“地基”.當(dāng)然,“直觀的看”對于抽象概念本質(zhì),探索問題解決的思路并預(yù)測結(jié)果,其作用也不可低估.

    日常教學(xué)中,“數(shù)學(xué)閱讀”“賞析圖片”“畫板演示”等都是以獲得概念本質(zhì)為特征的擴(kuò)張式抽象的一個個具體行為.換句話說,擴(kuò)張式抽象就是研究對象的內(nèi)涵被不斷壓縮,而外延得以不斷擴(kuò)大,即“原型”思想產(chǎn)生式.像“正比例函數(shù)→一次函數(shù)→初等函數(shù)→函數(shù)→映射”“一元一次方程→整式方程→有理方程→方程”就是“函數(shù)”“方程”概念擴(kuò)張式抽象的基本鏈條.

    在數(shù)學(xué)家麥考萊恩看來[4],“數(shù)學(xué)的發(fā)展就是利用經(jīng)驗和直覺的洞察力去發(fā)現(xiàn)合適的形式結(jié)構(gòu),對這些結(jié)構(gòu)進(jìn)行演繹分析,并建立這些結(jié)構(gòu)之間的形式聯(lián)系.”也就是說,無論是經(jīng)驗利用、直覺洞察抑或結(jié)構(gòu)關(guān)系等,都是“思考”的支持系統(tǒng). 正是因為有了“數(shù)學(xué)思考”,才使得擴(kuò)張式抽象得以將知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu),進(jìn)而形成知識形態(tài)的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化.

    有研究[5]認(rèn)為,學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)能力發(fā)展存在差異,城區(qū)學(xué)校的學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展上好于鄉(xiāng)村學(xué)校的學(xué)生等.其實,造成這種差異的主要原因來自于自身的天然優(yōu)勢,城區(qū)學(xué)生有更多的數(shù)學(xué)實驗資源和裝備.當(dāng)然,這里的數(shù)學(xué)“抽象”,對處于從形象思維向抽象思維過渡期的初中學(xué)生來說,主要是條件性擴(kuò)張式抽象,關(guān)系到知識結(jié)構(gòu)的定量與知識形態(tài)的定性,在抽象水平上表現(xiàn)為知覺認(rèn)知水平的一致性原則.事實上,獲得數(shù)學(xué)“原型”的過程就是擴(kuò)張式抽象再抽象的過程,貫穿于數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中.

    為此,數(shù)學(xué)實驗教學(xué)要做好三個維度的擴(kuò)張式抽象工作:一是基于已有經(jīng)驗,實施“前抽象”反應(yīng)塊,建立概念層級關(guān)系;二是基于數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)系,執(zhí)行“主抽象”行為,實現(xiàn)模型順應(yīng);三是基于知識的重組關(guān)系,建立“后抽象”支架,落實知識結(jié)構(gòu)性目標(biāo),終于數(shù)學(xué)抽象整體水平的提升.

    例如,在探討“一元二次方程”與“基本圖形”的概念關(guān)系時,通過設(shè)計“思維反應(yīng)組塊”,可以實現(xiàn)擴(kuò)張式數(shù)學(xué)抽象.

    問題導(dǎo)學(xué):某學(xué)校九年級數(shù)學(xué)興趣小組對線段上的動點問題進(jìn)行探究.如圖1,已知AB=8,點P為線段AB上的一個動點,分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC與正方形PBFE.(1)在點P運動時,這兩個正方形面積之和能否是32?24呢?如果是,求出AP的長;若不是,請說明理由;(2)分別連接AD、DF、AF,AF交DP于點K,當(dāng)點P運動時,在△APK、△ADK、△DFK中,是否存在兩個面積始終相等的三角形?請說明理由;(3)如圖2,以AB為邊作正方形ABCD,動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動,且PQ=8.若點P從點A出發(fā),沿A→B→C→D的線路,向D點運動,在點P從A到D的運動過程中,求出PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長.

    分析問題不難看出,問題(1)是對方程原型的抽象,是關(guān)于方程求解與解釋及其根的判別式的使用問題;問題(2)是對基本圖形的運動與構(gòu)造,需要運用分類思想,是關(guān)于圖形關(guān)系的結(jié)構(gòu)性變化的問題;問題(3)是數(shù)形結(jié)合的基本方法,關(guān)系到學(xué)生的擴(kuò)張式抽象能力,以及對動態(tài)過程的把握問題.

    圖1

    圖2

    懷特海在《教育的目的》一書中指出,數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)是“學(xué)生能夠通曉抽象思維,能夠認(rèn)識到它是如何應(yīng)用于特殊而具體的環(huán)境,應(yīng)該知道怎樣在合乎邏輯的調(diào)查研究中使用一般的方法.”數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的三大能力之一,是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵目標(biāo).這里的“具體應(yīng)用→合乎邏輯”是模型使用到結(jié)構(gòu)關(guān)系建立的表現(xiàn)形式,反映擴(kuò)張式數(shù)學(xué)抽象的基本特征,有助于學(xué)生形成知識體系.

    3 基于“運用”的結(jié)構(gòu)式抽象,抽象概念關(guān)系

    “學(xué)習(xí)的最終目的在于運用”.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,“運用”是最高境界,是數(shù)學(xué)抽象后的轉(zhuǎn)化,有助于概念關(guān)系的深度把握.而深刻認(rèn)識概念的本質(zhì)關(guān)系,離不開數(shù)學(xué)“強(qiáng)化結(jié)構(gòu)式抽象”(簡稱“強(qiáng)抽象”)行為的支持.強(qiáng)抽象的特點是研究對象的外延不斷縮小,而內(nèi)涵不斷擴(kuò)大,有助于把握某一具體事物的某一方面特征,對于概念特征的把握具有不可替代的作用,與“弱抽象”一樣都是認(rèn)識事物的基本方式.

    從思維行為來說,弱抽象與強(qiáng)抽象都帶有“特殊與一般”的關(guān)系特征.如,“四邊形→梯形→平行四邊形→矩形或菱形→正方形”以及“映射→函數(shù)→初等函數(shù)→一次函數(shù)→正比例函數(shù)”的概念鏈條,通過強(qiáng)抽象,可以使學(xué)生更深刻地認(rèn)識“子概念”的某一方面特征.比如,平行四邊形的對角線互相平分,矩形的對角線互相平分且相等,菱形的對角線互相平分且垂直,正方形的對角線互相平分、互相垂直且相等,等等.通過這些局部特征就能很好地認(rèn)識基本圖形的性質(zhì)和類型,凸顯數(shù)學(xué)抽象的作用和認(rèn)識事物的價值.

    按照抽象的程度不同,史寧中教授把數(shù)學(xué)抽象分為約簡階段、符號階段、普適階段.對于“運用”數(shù)學(xué)來說涵蓋兩方面的強(qiáng)抽象,一方面,認(rèn)識到現(xiàn)實生活中蘊(yùn)含大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題,這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題(約簡階段),用數(shù)學(xué)的方法予以解決(符號階段);另一方面,有意識利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象,解決現(xiàn)實世界中的問題(普適階段).基于強(qiáng)抽象的這些作用,數(shù)學(xué)實驗要做好三個維度的抽象工作:一是在“約簡概念或形成概念”中,把握概念的本質(zhì)特征,落實強(qiáng)抽象的具體化功能;二是在“符號化概念或使用概念”中,構(gòu)造概念關(guān)系特征,提升強(qiáng)抽象的素養(yǎng)水平;三是在“普適概念或使用套路”中,擴(kuò)充解法體系結(jié)構(gòu),提升問題解決水平和思維抽象修養(yǎng),給學(xué)生在課堂留下更多的“帶得走的東西”.

    例如,“圓”概念起始課的教學(xué),基于“強(qiáng)化結(jié)構(gòu)式抽象”的一般原則,具體可從三條主線進(jìn)行研究.第一是,讓學(xué)生任意剪一個圓形紙片,交流剪法且觀察旋轉(zhuǎn)中的圓形紙片,描述靜態(tài)圓和動態(tài)圓的特征,并舉例說明生活中存在的各種各樣圓的形態(tài)本質(zhì);第二是,讓學(xué)生在剪出的圓形紙片上標(biāo)出圓心,并在此圓所在的平面上任取一點,連接該點與圓心,通過度量的方式探究半徑與圓心距的大小關(guān)系.在交流互動的基礎(chǔ)上,抽象出點與圓的位置關(guān)系;第三是,在問題解決中感受點與圓的位置關(guān)系的基本屬性,在折疊圓形紙片中抽象出垂徑定理,在畫圖中認(rèn)識“集合概念”的一般意義.這些子概念的內(nèi)涵特征的把握與形成就源自于強(qiáng)化結(jié)構(gòu)式抽象的反復(fù)作用.

    強(qiáng)抽象是形成數(shù)學(xué)概念的核心.盡管目前義務(wù)教育階段還沒有明確確立數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)地位,僅在高中課程標(biāo)準(zhǔn)中給出明確的說明.但是“使學(xué)生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程”的宗旨就是數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)地位得以確立的標(biāo)志.

    柯朗在《什么是數(shù)學(xué)》一書中指出,“一切數(shù)學(xué)的發(fā)展在心理學(xué)上都或多或少地基于實際的,但是理論一旦在實際的需要中出現(xiàn),就不可避免的會使它自身獲得發(fā)展的動力,并超越出直接實用的局面.”這里的“心理實際范疇”與運用數(shù)學(xué)高度相關(guān).一方面,數(shù)學(xué)實驗的本質(zhì)是一種具有實際意義的心理活動,促進(jìn)概念認(rèn)知理解;另一方面,數(shù)學(xué)實驗在抽象與被抽象中獲得自支持性發(fā)展,讓概念抽象性有了具體可觸特征.

    在抽象“圓”這一概念中,“剪出+旋轉(zhuǎn)”圓形紙片的行為是約簡概念階段,確立“點與圓的位置關(guān)系”的實驗過程是符號概念抽象過程,三個維度運用數(shù)學(xué)概念是普適概念的抽象階段.事實上,三個階段抽象本身就是一種強(qiáng)抽象—弱抽象—強(qiáng)抽象的思維邏輯順序,是對概念的思考與再思考的過程.

    4 基于“審美”的關(guān)系式抽象,抽象概念原型

    “數(shù)學(xué)是這樣一門科學(xué),在其中我們既不知道說的是什么,也不知道說的是否為真.”(羅素語);“數(shù)學(xué)是唯一的這樣一門學(xué)科,在其中我們確切知道自己在說什么,并能肯定自己是否為真.”(波萊爾語)前者可以看作是“自然要求多樣性”的審美行為,而后者可以看作是對“理性要求一體性”的思維本義,反映數(shù)學(xué)實驗審美屬性的兩個側(cè)面.一方面,是數(shù)學(xué)抽象對象所反映出的自然美;另一方面,是數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)關(guān)系所體現(xiàn)出的理性美,二者在用“審美”中由對立走向統(tǒng)一,這就是數(shù)學(xué)實驗的獨特價值.

    數(shù)學(xué)實驗過程中的“情境創(chuàng)設(shè)”(由拼紙片得到因式分解公式就是一個典型的情境創(chuàng)設(shè)范例)就是自然美的一種使用原則,而從數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)系(如,基于多項式乘法運算的逆思考建構(gòu)因式分解概念則是解析二者內(nèi)部關(guān)系的典型范例)建設(shè)概念關(guān)系則是理性美的一種具象.從某種意義上來說,數(shù)學(xué)實驗的創(chuàng)新就是表現(xiàn)在將數(shù)學(xué)對象的自然屬性與理性屬性并軌,體現(xiàn)數(shù)學(xué)實驗的審美價值.一般地,學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ),獨立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心,歸納概括得到猜想和規(guī)律并加以驗證則是創(chuàng)新的重要方法.事實上,創(chuàng)新的基礎(chǔ)、方法以及核心,都與比格斯(John Biggs)教授提出的SOLO(Structure of the Observed Learning Outcome,觀察到的學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu))評價理論[6]高度相關(guān),突出“抽象拓展結(jié)構(gòu)水平”(Extended Abstract Level)(需要通過推理、演繹的理性,提出具有普遍意義的猜想)審美的一般屬性特征.

    在史寧中教授看來,初中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),就是“用數(shù)學(xué)的眼光觀察數(shù)學(xué)世界,用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)數(shù)學(xué)世界.”[7]這里的“觀察-分析-表達(dá)”恰是數(shù)學(xué)實驗的一般審美秩序.因此,數(shù)學(xué)實驗的“審美”本身既是原型抽象,又是關(guān)系聯(lián)結(jié),終于直觀與抽象,理性與自然的哲學(xué)審美合一.

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