《周髀算經(jīng)》“周公商高問(wèn)答”相關(guān)問(wèn)題的研究

俞求是

(教育部人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室 100081)

《周髀算經(jīng)》是我國(guó)最早的數(shù)學(xué)典籍，是研究中國(guó)數(shù)學(xué)史的重要文獻(xiàn)，其中第一篇“周公商高問(wèn)答”對(duì)于研究勾股定理具有重要價(jià)值，引起了研究者的重視.由于教材工作的原因，我近期研讀了《周髀算經(jīng)》及部分研究文獻(xiàn)，感到準(zhǔn)確估計(jì)和確定中國(guó)數(shù)學(xué)史中勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明的時(shí)間等問(wèn)題很重要，很值得研究，這些問(wèn)題的研究對(duì)于相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)也有一定的參考價(jià)值.

1 “周公商高問(wèn)答”原文

要論述有關(guān)問(wèn)題，先陳述“周公商高問(wèn)答”原文如下(原文是繁體字，現(xiàn)改用相應(yīng)簡(jiǎn)體字?jǐn)⑹?：

昔者周公問(wèn)于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請(qǐng)問(wèn)古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問(wèn)數(shù)安從出？”商高曰：“數(shù)之法，出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五.既方之外，半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五，兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩.故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也.”周公曰：“大哉言數(shù).請(qǐng)問(wèn)用矩之道？”商高曰：“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測(cè)深，臥矩以知遠(yuǎn)，環(huán)矩以為圓，合矩以為方.方屬地，圓屬天，天圓地方.方數(shù)為典，以方出圓.笠以寫天，天青黑，地黃赤.天數(shù)之為笠也，青黑為表，丹黃為里，以象天地之位.是故，知地者智，知天者圣.智出于勾，勾出于矩.夫矩之于數(shù)，其裁制萬(wàn)物，惟所為耳”.周公曰：“善哉！”

2 “周公商高問(wèn)答”的解讀

為了理解以上對(duì)話，先對(duì)其中的一些人物和詞句作注解和分析如下.

周公，姓姬名旦，為周武王之弟，周成王之叔.周武王死后，周成王年幼，周公攝政，多有建樹(shù).周公對(duì)于中國(guó)周代及后續(xù)時(shí)期的文化傳統(tǒng)產(chǎn)生重要影響.

文中“昔者”一詞說(shuō)明，《周髀算經(jīng)》寫作年代晚于周公、商高的時(shí)代.“商高與周公對(duì)話的時(shí)間已無(wú)可稽考，但周公去世之年已確知為公元前1105年[1].《周髀算經(jīng)》原稱《周髀》，是一部以“蓋天說(shuō)”宇宙模型為中心的天文學(xué)著作，其中用到了許多數(shù)學(xué)知識(shí)，所以也是一本數(shù)學(xué)著作.此書作者不詳，成書年代據(jù)考為西漢(前206—公元25)初[2].從數(shù)學(xué)上看，《周髀算經(jīng)》)主要的成就是分?jǐn)?shù)運(yùn)算、勾股定理及其在天文測(cè)量中的應(yīng)用.所謂蓋天說(shuō)，是中國(guó)古代一種宇宙模型，認(rèn)為“天象蓋笠，地似覆槃”[3].

商高，其生平未詳，趙爽注：“商高，周時(shí)賢大夫，善算者也.”西北大學(xué)李繼閔教授在“‘商高定理’辯證”一文中對(duì)于商高的生平作了詳盡的考證[4].

包犧，傳說(shuō)中遠(yuǎn)古的三皇之一，也寫作伏羲、庖犧、包犧.《易·系辭下》：“古者包犧氏之王天下，仰則觀象于天，俯則觀法于地.”相傳八卦由他所創(chuàng)，近年國(guó)內(nèi)的一些考古研究支持以上觀點(diǎn).立周天歷度，建立周天測(cè)量度數(shù)，建立古代歷法.這里的周天，估計(jì)用于時(shí)間或空間測(cè)量.

矩，又稱曲尺，L型的木匠工具.古代“矩”指L型曲尺，由長(zhǎng)短兩根木條組成的直角(在兩條邊上也可按用途取相等之值)，短邊稱為勾，長(zhǎng)邊稱為股.“矩形”是“矩”衍生的長(zhǎng)方形.“矩”在商高時(shí)代有多種含義，除了曲尺、直角之外，矩有時(shí)也指正方形和長(zhǎng)方形的面積.

圓出于方，求圓的方法可由方的數(shù)理特性推導(dǎo).趙爽注：“方，周匝也.”引申為多邊形的周長(zhǎng).商高時(shí)代中國(guó)古代數(shù)學(xué)已創(chuàng)建出一個(gè)推算圓面積的方法，其步驟是“毀方而為圓，破圓而為方.”[3]

方出于矩，方的運(yùn)算方法可由矩的直角特性推導(dǎo).古文“方”指正方、長(zhǎng)方且有直角的含義[3],如“合矩以為方”，意思是指把兩個(gè)矩尺以適當(dāng)?shù)姆绞胶蠑[成正方形或長(zhǎng)方形.

“九九八十一”指乘法運(yùn)算，古代常以特例作名.如“九九”是中國(guó)古代對(duì)于乘法口訣的稱謂.中國(guó)古代的乘法口訣是從“九九八十一”開(kāi)始的，所以稱為“九九”，到宋、元時(shí)，九九乘法口訣的次序才顛倒過(guò)來(lái)從“一一得一”開(kāi)始[3].

故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五.趙爽注：“故者，申事之辭也”.折矩，將矩形沿對(duì)角線一折為二，得兩個(gè)全等的直角三角形.勾廣三，趙爽注：“應(yīng)圓之周，橫者謂之廣，勾亦廣.廣，短也.”股修四，趙爽注：“應(yīng)方之匝，從者謂之修，股亦修.修，長(zhǎng)也.”徑隅五，趙爽注：“徑，直；隅，角也.亦謂之弦.”這里的徑，指直角三角形的斜邊.整句意思是，如果勾為三，股為四，那么徑就是五.

由于斷句的不同,對(duì)于關(guān)鍵句子“既方之外，半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五，兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩”有不同的解讀.例如，李繼閔教授認(rèn)為，此處原文是：“既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五，兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩.”并對(duì)原文圖示(商高勾股圖一，見(jiàn)圖1)如下[4]：

圖1

再如，美國(guó)科學(xué)院院士程貞一教授認(rèn)為：原文開(kāi)頭一句是：“既方之外，半其一矩”，“既方之外”是指在勾股形之外以徑(斜邊)為邊作正方形；“半其一矩”指取半個(gè)長(zhǎng)方形.“環(huán)而共盤”指環(huán)繞正方形一周，共同組成一方盤(見(jiàn)圖2)，并稱所得的圖為“商高勾股圖二”.“如此所得之大方弦圖，正是趙爽弦圖的外弦圖(見(jiàn)圖3).”“得成三四五”：得以推出勾股定理[3].

圖2

圖3

對(duì)于“兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩.”趙爽注：“兩矩者，勾股各自乘之實(shí)，共長(zhǎng)者，并實(shí)之?dāng)?shù).”由此注理解：“兩矩共長(zhǎng)二十有五”即勾方和股方兩個(gè)矩形面積之和二十有五，也就是徑方的面積.即：

勾方+股方=徑方.

這就是勾股定理.

無(wú)論對(duì)《周髀算經(jīng)》此段原文如何理解，這段文字都是說(shuō)勾股定理的推導(dǎo)[3].“積矩法”肯定是利用圖形面積之間的關(guān)系來(lái)推證“勾股定理”的.

“故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也”，這也是非常關(guān)鍵的一句話.大禹治水十三年，三過(guò)家門而不入，大禹治水是中華民族遠(yuǎn)古時(shí)代的一件大事，治水成功的要旨是采用了疏導(dǎo)的方法，為此必須“望山川之形，定高下之勢(shì)”.根據(jù)《史記·夏本紀(jì)》，大禹在治水時(shí)“左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩”，說(shuō)明在治水中必須經(jīng)常與直角打交道，經(jīng)常要用圓規(guī)，用矩尺，這就為發(fā)現(xiàn)勾股定理提供了機(jī)會(huì)，在測(cè)量的實(shí)踐中，大禹時(shí)代的人，也許大禹本人，已積累了不少數(shù)學(xué)知識(shí)，包括用矩的經(jīng)驗(yàn)，為發(fā)現(xiàn)勾股弦關(guān)系打下了基礎(chǔ).據(jù)說(shuō)大禹治水巡視到會(huì)稽(即現(xiàn)浙江紹興)時(shí)因病而死，會(huì)稽山下的禹穴就是他的墓地，后人為了紀(jì)念他就在那里建立了禹陵碑和禹廟，這些古跡至今都保存著.大禹治水是不必懷疑的歷史事件. 大禹治水的故事，以及相關(guān)的勾股定理知識(shí)是如何在古代流傳下來(lái)的當(dāng)然是另外的問(wèn)題，文化具有代代相傳的特點(diǎn)，沒(méi)有非常特殊的外力破壞，重要的、優(yōu)秀的文化積累一定會(huì)代代傳承.唐代著名詩(shī)人李白也有詩(shī)句：“黃河西來(lái)決昆侖，咆哮萬(wàn)里觸龍門.波濤天，堯咨嗟.大禹理百川，子啼不窺家.”國(guó)家的治理，治水是一件大事，古今中外都是如此. 1998年，多位中央領(lǐng)導(dǎo)親臨全國(guó)各地抗洪現(xiàn)場(chǎng)領(lǐng)導(dǎo)抗擊特大洪水，抗洪救災(zāi)的干部、群眾和人民解放軍、武警官兵，日夜奮戰(zhàn)終于保住長(zhǎng)江大堤，否則將會(huì)造成極大的人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失，情況將不堪設(shè)想！我上中學(xué)時(shí)學(xué)校就多次組織學(xué)生參加水利基礎(chǔ)工程建設(shè)勞動(dòng).趙爽有注：“禹治洪水，決流江河，望山川之形，定高下之勢(shì)，除滔天之災(zāi)，釋昏墊之厄，使東注于海而無(wú)浸逆.乃勾股之所由生也.”李繼閔教授認(rèn)為：“中國(guó)古代以勾股定理為基礎(chǔ)的勾股術(shù)無(wú)疑產(chǎn)生于窺天測(cè)地.《史記·夏本紀(jì)》：‘(禹)陸行乘車，水行乘船，泥行乘橇，山行乘檋.左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩，載四時(shí)，以開(kāi)九州，通九道.’足見(jiàn)大禹治水使用規(guī)矩進(jìn)行測(cè)繪之說(shuō)流傳久遠(yuǎn)”，“此數(shù)指勾股之?dāng)?shù)‘三、四、五’，也泛指勾股定理所表的數(shù)量關(guān)系，依商高所說(shuō)，大禹治水得力于勾股術(shù)的應(yīng)用.”，可見(jiàn)，人們對(duì)于“故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也.”這句話的理解有兩種：第一種，勾股定理(或其特例)產(chǎn)生于大禹治水(公元前21世紀(jì))的過(guò)程中，趙爽注似乎更接近這個(gè)觀點(diǎn)；第二種，大禹治水的許多辦法是根據(jù)勾股定理(或其特例)而得到的.兩者必居其一.如果按照第二種理解，勾股定理的發(fā)現(xiàn)可能比大禹治水的時(shí)間還要早.無(wú)論怎樣去理解，都可以推知，大禹治水時(shí)人們一定已經(jīng)知道“勾三股四弦五”的特殊結(jié)論，還有可能知道勾股定理的一般結(jié)論.

根據(jù)世界數(shù)學(xué)史的普遍規(guī)律，許多數(shù)學(xué)知識(shí)，尤其是幾何知識(shí)，往往產(chǎn)生于在洪水泛濫以后各地土地劃分整治的過(guò)程中.在中華大地上，許多數(shù)學(xué)知識(shí)，特別像勾股定理一般結(jié)論或者特殊結(jié)論的幾何知識(shí)也會(huì)產(chǎn)生于治理大自然的過(guò)程中的觀點(diǎn)還是比較可信的，比較符合數(shù)學(xué)發(fā)展的普遍規(guī)律.所以，不管“故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也.”這句話應(yīng)該怎樣去理解，可以相信，在中國(guó)，勾股定理(或其特例)也是產(chǎn)生于像大禹治水這樣的生產(chǎn)活動(dòng)過(guò)程中，或者就直接產(chǎn)生于大禹治水的過(guò)程中，也就是說(shuō)，在大禹治水的過(guò)程中或者更早的類似活動(dòng)中，人們就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一般結(jié)論，或者，發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的特殊結(jié)論，兩者必居其一.

至此，似乎可以斷定一些結(jié)論了.但是，從邏輯嚴(yán)密要求出發(fā)，數(shù)學(xué)史專家們認(rèn)為仍有漏洞.“《周髀》所引商高和陳子的話及禹之治天下為數(shù)之所由生是真有其事，還有假托，無(wú)法確定.這就牽涉到像勾股定理這樣重要數(shù)學(xué)成果的獲得年代問(wèn)題.這條定理肯定不會(huì)是在西漢時(shí)期突然出現(xiàn)的，必然有一個(gè)相當(dāng)長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程.”[5]以上論述中提出的疑問(wèn)有所謂疑古主義的傾向，從邏輯上來(lái)說(shuō)提出的疑問(wèn)是無(wú)可厚非的，憑《周髀算經(jīng)》一家之言，缺乏考古學(xué)、歷史學(xué)嚴(yán)密的論證，結(jié)論確實(shí)還不足以確立.不過(guò)，另一方面，《周髀算經(jīng)》以后并沒(méi)有另外典籍去批駁此書的記載，所以，根據(jù)《周髀算經(jīng)》的記述推斷出大禹治水時(shí)期就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)勾股定理的特例結(jié)論，或者已經(jīng)發(fā)現(xiàn)勾股定理的一般結(jié)論，既還不能完全肯定，也還無(wú)法否定，基本上是可信的. 對(duì)照世界數(shù)學(xué)史的類似情況，我認(rèn)為可以有很大把握作出一個(gè)判斷：在古代中國(guó)，至遲在大禹治水時(shí)期人們就已經(jīng)知道勾股定理“勾三股四弦五”的特例結(jié)論，或者直接知道勾股定理一般結(jié)論；另外，由于《周髀算經(jīng)》周公與商高的對(duì)話中已經(jīng)記錄下定理證明方法，我國(guó)古代證明勾股定理的最晚時(shí)間肯定不會(huì)晚于《周髀算經(jīng)》寫作的時(shí)間，后來(lái)趙爽在為此書作注時(shí)作“勾股圓方圖”對(duì)定理給出了圖解.

商高曰：“平矩以正繩，偃矩以望高，……”這一段話，前一部分回答周公用矩之道的問(wèn)題，后一部分主要是所謂“蓋天說(shuō)”的一段論述，與勾股定理聯(lián)系較弱.

參考程貞一教授《〈周髀算經(jīng)〉譯注》一書，我嘗試用意譯方法作出對(duì)“周公商高問(wèn)答”的今譯：

從前，周公問(wèn)算數(shù)于商高說(shuō)：“我早已聽(tīng)說(shuō)大夫您是位擅長(zhǎng)于數(shù)學(xué)的人.請(qǐng)問(wèn)古時(shí)伏羲建立周天測(cè)量度數(shù)，可是天沒(méi)有臺(tái)階可供攀登，地也不適合以尺去度量尺寸，請(qǐng)問(wèn)這些數(shù)是從何處得來(lái)的？”商高說(shuō)：“數(shù)學(xué)的方法出于圓和方的數(shù)理特性.圓可由方的數(shù)理特性推導(dǎo)，方可由矩的直角數(shù)理特性推導(dǎo)，矩的數(shù)理原理出于乘法法則.所以，將矩形沿對(duì)角線一折為二得兩個(gè)相等的直角三角形，那么，勾方加股方就等于徑方.例如，如果勾(即短邊)等于三，股(即長(zhǎng)邊)等于四，那么所得直角三角形的徑(即弦，斜邊之長(zhǎng))就等于五(這三四五這三個(gè)數(shù)按九九表來(lái)計(jì)算有三三加四四等于五五的關(guān)系).為什么呢？您看，在直角三角形之外，以徑(斜邊)為邊作正方形，然后每次取半個(gè)矩形，四次就可以環(huán)繞正方形一周，這就形成一個(gè)大的方盤了.由此推導(dǎo)，就可以得出成立“三四五”的數(shù)理關(guān)系了.因?yàn)橛蓸?gòu)圖得，由兩個(gè)矩形分成的四個(gè)直角三角形圍成的徑方的面積等于大的方盤面積(七七四十九)減去兩個(gè)矩形的面積(三四一十二的兩倍二十四)，從而推導(dǎo)得徑方面積等于二十五，這恰好等于勾方的面積九加股方的面積十六，得到徑等于五，這就是所說(shuō)的勾三股四徑五.這種推導(dǎo)法就是所謂的‘積矩’法.大禹之所以能夠(由治水而)治天下，就得力于以上的數(shù)量關(guān)系(這句，也許另一種理解：以上的數(shù)量關(guān)系來(lái)自于大禹(治水而)治天下的過(guò)程中，不過(guò)，這樣理解，之所以三字似乎講不通).”周公說(shuō)：“照你這么說(shuō)，研究數(shù)學(xué)其意義可是相當(dāng)重要！那我再向你請(qǐng)教一下用矩的方法.”商高答道：“您看，利用矩的直角邊和重垂線，可確定水平面.把矩仰立放，可測(cè)高度.把矩倒置，可測(cè)深度.把矩臥放與地面平行，可測(cè)水平距離的長(zhǎng)度.把矩環(huán)旋一周，可以得到圓形.將兩矩相合，可得方形.方的數(shù)理應(yīng)用于觀測(cè)地，圓的數(shù)理應(yīng)用于觀測(cè)天，人們常說(shuō)天圓地方.以方的數(shù)理為基礎(chǔ)，以處理方的方法推導(dǎo)出圓之?dāng)?shù)理.笠可用來(lái)寫意天的功能與表現(xiàn)天的形態(tài).天色青黑，地色黃赤.以笠來(lái)寫意天的數(shù)理特質(zhì)，天色青黑為其外表，地色黃赤為其里面,用來(lái)象征天地方位.所以說(shuō)，通曉地上事物的是智者，理解天上事物的是圣人.智出自善于設(shè)勾測(cè)量的才華，把矩固定作表，可以測(cè)量出勾影.矩對(duì)于算數(shù)應(yīng)用的重要性，在于測(cè)算制作萬(wàn)物，用起來(lái)得心應(yīng)手.”周公說(shuō)：“好極了！”

3 相關(guān)問(wèn)題的研究

從“商高曰：數(shù)之法，出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.”可以看出，在商高看來(lái)，數(shù)學(xué)知識(shí)之間并非互相孤立、互不相干，而是存在密切關(guān)系，從一些基本事實(shí)、基本結(jié)論出發(fā)，可以推出復(fù)雜圖形的性質(zhì).在以上敘述看，最基本的根據(jù)是“九九八十一”，是算術(shù)基本知識(shí).矩的有關(guān)計(jì)算就是用自然數(shù)的乘法法則.由此看來(lái)，在數(shù)學(xué)中應(yīng)用邏輯推理是古代中國(guó)很早就有的事情了，這是很了不起的.另外，上面“圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”中的圓、方、矩等顯然是極簡(jiǎn)的表達(dá)，可以肯定，它們代表了相應(yīng)圖形一系列幾何性質(zhì).由此可以推斷，在中國(guó)，早在商高時(shí)代甚至遠(yuǎn)在商高時(shí)代之前，人們就已經(jīng)專門研究了這些圖形的幾何性質(zhì).

程貞一教授有一個(gè)重要觀點(diǎn)：這里的“三四五”是指直角三角形勾、股和徑(即弦)的數(shù)理關(guān)系，即現(xiàn)稱的勾股定理，這是商高篇中以特例為名的又一實(shí)例[3].可以想象，古時(shí)表述數(shù)量關(guān)系缺乏一套簡(jiǎn)便的符號(hào)、語(yǔ)言體系，所以用“勾、股、弦”表達(dá)直角三角形的三條邊，以3，4，5之間所具有的平方關(guān)系代表勾股弦的一般關(guān)系，這是極簡(jiǎn)的敘述.勾、股、弦的關(guān)系當(dāng)然并不限于整數(shù)，推導(dǎo)方法也可推廣，用“三四五”的名稱清楚說(shuō)明了圖形性質(zhì).

另外，商高在將矩形沿對(duì)角線一折為二得兩個(gè)相等的直角三角形(折矩)之初，并不要求此矩形的短邊和長(zhǎng)邊分別等于3和4，也許能說(shuō)明，他對(duì)于矩形的選擇是隨意的.為了能夠更簡(jiǎn)明地給周公說(shuō)清道理，便先選擇了“三四五”特例，這是很高超的.商高既知道一般結(jié)論，又熟悉特殊結(jié)論.

歷史上，是先發(fā)現(xiàn)勾股定理“三四五”特例，還是先發(fā)現(xiàn)勾股定理一般結(jié)論，是一個(gè)值得研究思考的問(wèn)題.這個(gè)時(shí)間順序依賴于發(fā)現(xiàn)勾股定理的具體情境和途徑.當(dāng)然只有兩種可能，一是先現(xiàn)特例再發(fā)現(xiàn)一般結(jié)論，另一種是先發(fā)現(xiàn)一般結(jié)論，再發(fā)現(xiàn)特殊結(jié)論.可以設(shè)想古人研究過(guò)程中的可能情境.有一種情境可能是研究是否存在三條整數(shù)邊長(zhǎng)的直角三角形，這是容易通過(guò)試驗(yàn)得到一些猜想的命題，當(dāng)排除一些容易排除的特殊情況以后，就得到一個(gè)了猜想：一個(gè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為三和四，其斜邊長(zhǎng)極可能就等于五.一個(gè)新問(wèn)題就擺在面前了！這個(gè)問(wèn)題只依靠簡(jiǎn)單的長(zhǎng)度或者角度的測(cè)量都是不能說(shuō)明問(wèn)題的.于是，人們可能想到了一個(gè)極妙的辦法，就是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的一個(gè)問(wèn)題，把長(zhǎng)度測(cè)量的困難問(wèn)題轉(zhuǎn)化成面積關(guān)系的探究，這是極其重要而極巧妙的想法.要證明某邊長(zhǎng)是5，只要證明某正方形的面積等于25！而這是可以借助圖形之間關(guān)系來(lái)加以說(shuō)明的！(這里也許說(shuō)明了人們?yōu)槭裁聪氲酵ǔＳ妹娣e去證明勾股定理，勾股定理可是關(guān)于邊長(zhǎng)的結(jié)論啊！).也許人們?cè)?jīng)同時(shí)研究過(guò)兩個(gè)問(wèn)題：三邊長(zhǎng)分別為三、四、五的三角形是直角三角形嗎？如果一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別為三和四，第三邊的長(zhǎng)是五嗎？根據(jù)初等幾何理論可知，從邏輯關(guān)系去分析，這是兩個(gè)完全等價(jià)的命題.于是，問(wèn)題可以歸結(jié)為研究：如果一個(gè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為三和四，斜邊長(zhǎng)是五嗎？又轉(zhuǎn)化等價(jià)命題為：如果一個(gè)直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為三和四，以斜邊為邊的正方形的面積是二十五嗎？經(jīng)過(guò)研究可以得到結(jié)論，存在三邊長(zhǎng)分別為三四五的直角三角形.通常人們說(shuō)“勾三股四弦五”，其實(shí)這究竟指什么具體的數(shù)學(xué)命題是有些含糊的，顯然有一種理解就是：存在三邊長(zhǎng)分別為三四五(勾三股四弦五)的直角三角形.應(yīng)該注意，這個(gè)結(jié)論還不是勾股定理的特殊情況，因?yàn)楣垂啥ɡ碇赋龅氖沁呴L(zhǎng)的平方關(guān)系.也許經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)時(shí)期，人們又發(fā)現(xiàn)了3，4，5這三個(gè)數(shù)之間的平方關(guān)系，于是就得到了勾股定理的特例了.由于平方關(guān)系從幾何上看是面積關(guān)系，這種關(guān)系對(duì)一般直角三角形也可以同樣推證出來(lái)，于是就得到了一般形式的結(jié)論.如果歷史上是按照這樣的路徑和順序發(fā)現(xiàn)了特殊結(jié)論和一般結(jié)論，那么，這兩個(gè)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)時(shí)間間隔應(yīng)該不會(huì)很長(zhǎng)，而且，特殊結(jié)論先于一般結(jié)論被發(fā)現(xiàn).在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，或者在數(shù)學(xué)史的研究中常常認(rèn)為勾股定理特殊結(jié)論“勾三股四弦五”(此處指存在邊的平方關(guān)系)和一般定理這兩個(gè)結(jié)論是先后獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的.究竟這兩個(gè)結(jié)論是獨(dú)立地有先后地出現(xiàn)在數(shù)學(xué)歷史中，還是基本同時(shí)被發(fā)現(xiàn)的呢？這當(dāng)然是值得思考的一個(gè)問(wèn)題.進(jìn)一步的思考，應(yīng)該可以得到判斷：“勾三股四弦五”的特殊結(jié)論應(yīng)該不會(huì)與勾股定理一般結(jié)論相差很長(zhǎng)時(shí)間得到.因?yàn)?，“勾三股四弦五”特殊結(jié)論離開(kāi)了一般結(jié)論基本上是不能立足的.沒(méi)有一般結(jié)論的觀念，大概也不會(huì)有特殊結(jié)論的觀念.如前所述，也許人們?cè)?jīng)研究過(guò)是否存在三邊都是整數(shù)邊長(zhǎng)的直角三角形的問(wèn)題，由于測(cè)量精度原因，不能從一個(gè)直角三角形有兩邊分別是三和四，通過(guò)測(cè)量確認(rèn)另一條邊就是五，因?yàn)闇y(cè)量存在誤差問(wèn)題.也許正是這個(gè)原因，并發(fā)現(xiàn)3，4，5三個(gè)數(shù)之間特殊的平方關(guān)系，人們猜想到一般結(jié)論.當(dāng)然，從猜想到證明一般結(jié)論，應(yīng)該需要一段時(shí)間.不過(guò)，如果想到了面積方法，大概證明就很快可以得到了，到現(xiàn)代，人們對(duì)于勾股定理，已經(jīng)有幾百種證明方法了，在這些方法中發(fā)現(xiàn)幾種證明方法并非難事！所以，可以認(rèn)為，從猜想有“勾三股四弦五”邊長(zhǎng)平方關(guān)系結(jié)論，到得到勾股定理一般結(jié)論，時(shí)間不會(huì)太長(zhǎng)；或者相反的方向，有了一般結(jié)論，另加一個(gè)邊長(zhǎng)是整數(shù)的特殊要求，也就很快能夠得到特殊結(jié)論.從數(shù)學(xué)史幾千年這么大的時(shí)間跨度來(lái)看，可以認(rèn)為，一般結(jié)論和特殊結(jié)論應(yīng)該是幾乎同時(shí)得到的.這個(gè)基本而重要的幾何結(jié)論的發(fā)現(xiàn)確實(shí)是應(yīng)該好好慶祝一下的，無(wú)論是在中國(guó)，還是在希臘，都可列入重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)，這么基本，這么美妙！三四五，太美妙了！也許當(dāng)時(shí)還沒(méi)有太好的命名方法去稱呼這個(gè)結(jié)論，那就把這個(gè)結(jié)論簡(jiǎn)稱為“三四五”吧！這樣稱呼也挺好！

此外，程貞一教授認(rèn)為：“商高積矩推導(dǎo)法的一個(gè)主要成就是把數(shù)學(xué)由經(jīng)驗(yàn)層次發(fā)展為推導(dǎo)證明的層次，從而奠定了中國(guó)理論數(shù)學(xué)的基石.”“商高所敘述的證明勾股定理的方法是世界數(shù)學(xué)史現(xiàn)存最早證明勾股定理的記載.”“這些成就奠定了《商高篇》在世界數(shù)學(xué)史應(yīng)有的地位.”[3]他的觀點(diǎn)具有重要意義.

對(duì)于畢達(dá)哥位斯學(xué)派怎樣發(fā)現(xiàn)定理的，目前普遍認(rèn)為是畢達(dá)哥位斯學(xué)派甚至也許是畢達(dá)哥拉斯本人在研究地磚圖案中的面積關(guān)系時(shí)，先發(fā)現(xiàn)了等腰直角三角形的特殊情形下的勾股定理結(jié)論，進(jìn)而研究一般情形下的結(jié)論，導(dǎo)致定理的發(fā)現(xiàn).這是一個(gè)比較符合邏輯的過(guò)程.也是目前多數(shù)中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中引入的情境.從教學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，確實(shí)是可以接受的一種設(shè)計(jì).不過(guò)，數(shù)學(xué)史的考證研究是另外一會(huì)事.實(shí)際上，許多研究者認(rèn)為，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是否真正發(fā)現(xiàn)并證明了勾股定理本身并沒(méi)有確鑿的證據(jù).

4 主要結(jié)論

綜合本文以上分析，我們有很大的把握得出以下主要結(jié)論：

(1)在我國(guó)，早在大禹治水時(shí)期(公元前21世紀(jì))或者更早，人們就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了(此處發(fā)現(xiàn)指已經(jīng)能夠推理論證)一般形式的勾股定理，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)了(此處發(fā)現(xiàn)也指已經(jīng)能夠推理論證)“勾三股四弦五”特例結(jié)論，并把結(jié)論用到生產(chǎn)實(shí)踐之中；在中國(guó)最早有文字記錄與勾股定理有關(guān)的歷史人物是大禹.時(shí)間遠(yuǎn)早于畢達(dá)哥拉斯(約公元前6世紀(jì))；

(2)到西周的周公時(shí)(約公元前1100年左右)，數(shù)學(xué)家商高不但能夠清晰地說(shuō)明勾股定理，而且能極清晰地用“勾三股四弦五”的特例來(lái)講述一般數(shù)量關(guān)系，能夠用積矩法證明勾股定理的一般結(jié)論，這是中國(guó)有文字記載的最早的勾股定理證明方法.這一時(shí)間也遠(yuǎn)早于畢達(dá)哥拉斯(約公元前6世紀(jì)),但商高不是最早得到勾股定理的中國(guó)人；

(3)在我國(guó)，最遲到《周髀算經(jīng)》成書的時(shí)代，即不晚于西漢時(shí)期(從公元前206年到公元25年)，《周髀算經(jīng)》記錄了推證勾股定理的思想方法；

(4)在我國(guó)，到三國(guó)時(shí)吳國(guó)人趙爽在約公元222年前后為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)，作“勾股圓方圖”，畫出了前人證明勾股定理的圖形，并給出了新的證法.趙爽的證法是極直觀而簡(jiǎn)捷的.