正多面體的歷史及其現(xiàn)代教育價值

張曉雪 代 欽

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 010022) (內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院 010022)

1 前言

古希臘賢哲們觀察和探索自然時發(fā)現(xiàn)了正多面體的存在并給出了正多面體只有五種的證明．柏拉圖等哲學(xué)家將正多面體作為描述自然本原存在的基本幾何形式．中世紀(jì)后，開普勒亦將正多面體和球體結(jié)合的幾何模型作為行星運(yùn)動的宇宙模型．用正多面體刻畫自然和宇宙是否符合科學(xué)，我們在這里不作討論．重要的是，人們已普遍認(rèn)可正多面體的存在是神圣的．對哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、藝術(shù)家和科學(xué)家來講，它們的存在具有無限的魅力．我們在想象正多面體的時候，腦海里便浮現(xiàn)出畢達(dá)哥拉斯、柏拉圖、歐幾里得、笛卡兒、開普勒、伽羅瓦、埃舍爾、帕喬利、達(dá)芬奇、達(dá)利等一長串偉大人物的名字．

自古以來，正多面體在學(xué)校數(shù)學(xué)教育中亦具有不可低估的價值．正多面體作為特殊的多面體是幾何學(xué)從二維空間過渡到三維空間的重要內(nèi)容，對于剛剛接觸空間幾何體的學(xué)生來講，自然是一個適宜的橋梁．它們不僅幫助學(xué)生更容易地從平面過渡到三維空間，還能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和探索數(shù)學(xué)奧秘的熱情．這些都可以從它們的歷史發(fā)展脈絡(luò)以及各國教科書中的呈現(xiàn)得以表征．

2 正多面體歷史概述

人類最初通過礦物結(jié)晶的形狀了解到了正四面體、正六面體、正八面體和近似的正十二面體，而人工制作的正十二面體，是在二千幾百年前埃特利亞(意大利中部的古國)遺物中以青銅器的形狀出現(xiàn)．近幾十年人們發(fā)現(xiàn)很多散射蟲的結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出正多面體的形狀．而且有一種病毒的結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出了正二十面體的形狀，晶體硼(B12)的結(jié)構(gòu)單元也正是正二十面體，如圖1．

圖1

對于三維空間內(nèi)只有五種正多面體的歷史可以追溯到古希臘時期．據(jù)說此時埃及人已經(jīng)知道了正四面體、正六面體和正八面體．畢達(dá)哥拉斯定理、無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)者、萬物皆數(shù)思想的倡導(dǎo)者古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras,BC580-500)及其學(xué)派已研究得出正多面體只有五種的結(jié)論，如圖2，即由全等的正三角形生成的正四面體、正八面體和正二十面體以及由全等的正方形生成的正六面體、由全等的正五邊形生成的正十二面體．而由其它全等的正多邊形是不能生成正多面體的．并且他們認(rèn)為五種正多面體除正十二面體以外的四種分別構(gòu)成宇宙的四要素，即火、土、氣和水．而正十二面體可以認(rèn)為是牽強(qiáng)的與宇宙相關(guān)聯(lián)在一起．

圖2

進(jìn)一步發(fā)展這種正多面體宇宙觀的是古希臘哲學(xué)家和教育家柏拉圖(Plato，公元前427-347)．柏拉圖在其《蒂邁歐篇》中詳細(xì)討論了在理智的宇宙結(jié)構(gòu)中正多面體扮演的角色[注]柏拉圖.柏拉圖全集第三卷[M].王曉朝，譯.北京:人民出版社，2003：265.．他設(shè)想宇宙起始只有兩種三角形，一種是底角為45°角的等腰直角三角形，一種是底角分別為30°和60°角的直角三角形，由這兩種三角形就可構(gòu)成四種正多面體，它們分別對應(yīng)構(gòu)成宇宙五種微粒中的四種．火微粒是正四面體，氣微粒是正八面體，水微粒是正二十面體，土微粒是正六面體，而正十二面體則構(gòu)成第五種元素，柏拉圖稱其為精英[注][英]斯蒂芬·F·梅森.自然科學(xué)史[M].上海：上海譯文出版社，1980:27.．正多面體也因此被稱為柏拉圖多面體或柏拉圖立體．

而與柏拉圖同時期的古希臘數(shù)學(xué)家泰阿泰德(Theatetus，具體生卒年不詳)被一般認(rèn)為是第一個證明了只存在五種正多面體的人．其證明的依據(jù)是構(gòu)成一個立體角的所有角之和要小于360°．

繼泰阿泰德之后的集古希臘古典數(shù)學(xué)之大成者——?dú)W幾里得(Euclid,公元前330-260)，他著成了世界數(shù)學(xué)史上第一個數(shù)學(xué)公理體系著作《幾何原本》，其第13卷18個命題以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理，詳細(xì)論述了正多面體相關(guān)問題．

圖3

16世紀(jì)被譽(yù)為“天空立法者”的約翰·開普勒(Johann Kepler，1571-1630)將正多面體的研究從古希臘時期帶入了近代．開普勒從歐幾里得《幾何原本》中了解到，每一個正多面體都可以完美地內(nèi)接在一個球體中．于是在他《宇宙的奧秘》一書中記載著他對柏拉圖多面體與六大行星運(yùn)行軌道間和諧關(guān)系的驚喜發(fā)現(xiàn)．如圖3，即若土星運(yùn)行軌道在正六面體的外接球上，那么木星的運(yùn)行軌道就在正六面體的內(nèi)切球上．然后在正六面體內(nèi)切球內(nèi)，內(nèi)接一個正四面體，那么正四面體的內(nèi)切球就是火星的運(yùn)行軌道．依此方法就得到從外到內(nèi)的這樣一個順序：土星→正六面體→木星→正四面體→火星→正十二面體→地球→正二十面體→金星→正八面體→水星，最中心是太陽．

而此時法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家勒內(nèi)·笛卡兒(René Descartes，1596-1650)正在探尋能將正多面體統(tǒng)一描述的永恒真理．他通過研究五種正多面體頂點(diǎn)的數(shù)量、面的數(shù)量和邊的數(shù)量間的關(guān)系，最終得出了v-e+f=2，其中v為頂點(diǎn)數(shù)，e為邊數(shù)，f為面數(shù)，笛卡兒終于解開了它們的神秘面紗，而且這個公式可以適用于所有多面體．遺憾的是，最后出于對宗教的忌憚，笛卡兒并沒有將這個重要發(fā)現(xiàn)公諸于世[注]AMIR D.ACZEL.DESCARTES’ SECRET NOTEBOOK[M].NEW YORK:Broadway Books,2005:227.．我們今天知道這個公式被稱為歐拉公式．在笛卡兒之后，德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家歐拉(Euler,1707-1783)也獨(dú)自發(fā)現(xiàn)了一般多面體意義下的這個公式，流傳至今．

19世紀(jì)后半期開始了在四維以上空間內(nèi)研究正多面體，在期刊“American Journal of Mathematics”創(chuàng)刊號(1879年)上刊登著一篇重要文章，它介紹了四維空間中正多面體有六種，星形正多面體有十種等重要發(fā)現(xiàn)．

正多面體不僅在幾何學(xué)中有重要地位，在代數(shù)學(xué)中也扮演著重要角色．如代數(shù)中的重要內(nèi)容——群，其中五次對稱群分解的一個特殊群Ⅰ與正二十面體有著相對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)對稱性，而這個特殊群“Ⅰ”正是取自正二十面體英文單詞“icosahedron”的首字母．[注][日]大栗博司.用數(shù)學(xué)的語言看世界[M].尤斌斌，譯.北京：人民郵電出版社，2017：227.

3 數(shù)學(xué)教科書中的正多面體

正多面體歷史悠久，這也使它承載著豐富的教育內(nèi)容，蘊(yùn)含著深刻的教育價值．而教科書是直接反映正多面體重要教育價值的載體．教科書是人類一代一代傳承知識與智慧的基本工具．在歷史上的幾何學(xué)教科書中正多面體也占據(jù)著一席之地．

3.1 歷史上數(shù)學(xué)教科書中正多面體簡述

歐幾里得《幾何原本》這部偉大著作也是毫無變動地被使用了兩千多年的教科書．正如前文所言，其第13卷中的18個命題全部圍繞正多面體相關(guān)問題敘述．其中命題13-17分別論述了五種正多面體的作圖問題，主要通過在球內(nèi)建立正多面體，而該卷最后一個命題也是整部《幾何原本》465個命題中的最后一個命題，命題18證明了只存在五種正多面體．顯然這是一個完美的收尾．

在18、19世紀(jì)西方教育改革中大大簡化了《幾何原本》內(nèi)容，之后如雨后春筍般地出現(xiàn)了新的幾何學(xué)教科書．即使是在新幾何教科書中，正多面體亦有不同程度的體現(xiàn)．

1888年美國GEORGE WENTWORTH和DAVID EUGENE SMITH所著的教科書《PLANE AND SOLID GEOMETRY》在先介紹了多面體概念后給出正多面體定義，即一個多面體的面是連續(xù)的正多邊形，且它的多面角相等，這樣的多面體叫做正多面體．接著進(jìn)一步介紹只有五種正多面體的證明，并探究如何用平面圖形(展開圖)制作正多面體．

1920年美國HERBERT E.HAWKES、WILLIAM A.LUBY和FRANK C.TOUTON所著的教科書《PLANE AND SOLID GEOMETRY》中給出的正多面體定義是：“一個凸多面體，如果它的面都是全等正多邊形，且它的多面角都是全等的，那么它就是正多面體．”其后給出只有五種正多面體的解釋．

1903年英國H.S.HALL和F.H.STEVENS所著的教科書《A SCHOOL GEOMETRY》中并沒有明確給出正多面體的定義，而是在介紹歐拉公式之后，引出只有五種正多面體的證明，并結(jié)合展開圖進(jìn)行介紹．

呂乃剛先生譯，張奠宙先生作序的1998年俄羅斯數(shù)學(xué)教科書《直觀幾何》有專門一節(jié)內(nèi)容介紹正多面體．通過考察五種正多面體的形狀特征給出正多面體概念性的描述，即每一個正多面體的所有面都是相同的正多邊形，在每一個頂點(diǎn)集聚著同樣數(shù)量的棱，而相鄰的面在相等角下毗連．然后對五個正多面體的頂點(diǎn)、邊和面間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行討論，探究出歐拉公式，而后探討其展開圖及制作過程．

2003年美國Michael Serra所著的教科書《Discovering Geometry》(《發(fā)現(xiàn)幾何》)第十章第三節(jié)棱錐體和圓錐體的“探索”欄目在簡單介紹正多面體歷史的基礎(chǔ)上提出如何制作五種正多面體的問題．

2009年中國香港TW Wong和WS Wong所著的數(shù)學(xué)教科書《New Century Mathematics》首先在初三之前立體圖形的學(xué)習(xí)中，將正多面體及其制作過程作為特殊情況予以介紹，最后在初三階段進(jìn)行總結(jié)歸納，由五種正多面體探究出歐拉公式．并對正多面體的歷史，包括柏拉圖、歐拉公式等進(jìn)行了簡要介紹．

1985年臺灣師范大學(xué)科學(xué)教育中心主編的教科書《高級中學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)統(tǒng)合上冊》，在共四章中有一章專門討論多面體問題，而該章三節(jié)內(nèi)容分別是多面體、歐拉公式和正多面體．不僅明確給出了多面體及其面、棱、頂點(diǎn)、多面角和正多面體的概念，對只存在五種正多面體進(jìn)行了證明，還對我們可以不加證明即可使用的歐拉公式進(jìn)行了詳細(xì)的證明．所以，無論是從正多面體所占教科書內(nèi)容的比重來講，還是從教科書對正多面體內(nèi)容的呈現(xiàn)方式來看，都體現(xiàn)著臺灣對正多面體內(nèi)容的重視程度之大，也充分反映著正多面體所具有的教育價值．

不難想象，各國中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中與正多面體相關(guān)的內(nèi)容不勝枚舉，這里不再一一列舉．

3.2 外國數(shù)學(xué)教科書中正多面體內(nèi)容個案——日本教科書中的正多面體

由歷史上數(shù)學(xué)教科書中的正多面體內(nèi)容可知，正多面體內(nèi)容越來越受到人們的重視，尤其是美國、日本等發(fā)達(dá)國家的中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中正多面體內(nèi)容更加豐富．這里作為個案，重點(diǎn)介紹日本現(xiàn)行數(shù)學(xué)教科書中正多面體內(nèi)容設(shè)置情況．

日本中小學(xué)數(shù)學(xué)教育十分重視正多面體相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，大多以作圖、剪紙和拼圖、制作模型等實(shí)踐活動來實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)任務(wù)．日本現(xiàn)行啟林館數(shù)學(xué)教科書對正多面體內(nèi)容在中小學(xué)都有呈現(xiàn)，知識講解較為系統(tǒng)，涉及內(nèi)容較為全面．

日本小學(xué)數(shù)學(xué)教科書并沒有直接給出正多面體的概念，多數(shù)是基礎(chǔ)的立體幾何內(nèi)容，如感知并認(rèn)識正方體、長方體和球等立體圖形，通過探究正方體、其他柱體和椎體展開圖，以及探究“平行四邊形可以做什么”等活動初步了解多面體圖形，這里并沒有上升到談及多面體或正多面體的概念．事實(shí)上，正方體就是正六面體，因此小學(xué)正方體的學(xué)習(xí)也為以后正多面體的學(xué)習(xí)埋下伏筆．

在初中《數(shù)學(xué)1》“各種各樣的立體”設(shè)置了柱體、錐體等多面體圖形后引入多面體的概念，即用一些平面包圍的立體叫做多面體，且根據(jù)其平面的數(shù)量，分為四面體、五面體、六面體……．在下面的“數(shù)學(xué)展望臺”中介紹了正多面體，給出：“在多面體中，所有面都是正多邊形，聚集在一個頂點(diǎn)的面的數(shù)量也相等且沒有凹陷的叫做正多面體．”并指出早在2000年以前人們就已經(jīng)知道了正多面體只有五種．

從這里也直接鏈接到“數(shù)學(xué)廣場：考察一下正多面體吧”，首先給出了五種正多面體及其透視圖與展開圖，接下來是五個問題：“①把267頁的展開圖組裝起來，制作正二十面體吧，如圖4；②正四面體一個頂點(diǎn)有幾個正三角形聚集在一起？正八面體、正二十面體呢？③在一個頂點(diǎn)周圍，有六個正三角形聚集在一起的正多面體嗎，為什么？④在求正十二面體邊的數(shù)量和頂點(diǎn)的數(shù)量時，下面的先生和女士給出如下做法，如圖5，請說明他們的想法．考察一下五種正多面體的面的形狀，頂點(diǎn)、邊和面的數(shù)量吧，完成如圖6的表格；⑤通過上述表格，求以下五種正多面體‘頂點(diǎn)數(shù)-邊數(shù)+面數(shù)’的值吧，你發(fā)現(xiàn)什么了？”對于⑤問旁邊有個提示，“對于⑤所考慮的值所蘊(yùn)含的規(guī)律，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，認(rèn)識一下歐拉吧．”這樣，便自然地與數(shù)學(xué)史知識相遇了.

高中在《數(shù)學(xué)A》“空間圖形”當(dāng)中再次給出了多面體的定義，即由幾個多邊形圍成的空間圖形叫做多面體．并具體指出，構(gòu)成多面體的多邊形叫做多面體的面，面的頂點(diǎn)、邊也叫做多面體的頂點(diǎn)、邊，不在同一面內(nèi)的兩個頂點(diǎn)所連線段叫做多面體的對角線，以及多面體由它的面數(shù)決定它的名稱，如四面體、六面體等．下面首先給出了凸多面體的定義，即在多面體中，面上的兩個頂點(diǎn)所連線段在多面體內(nèi)部的叫做凸多面體．在凸多面體定義的基礎(chǔ)上給出正多面體的定義，即在凸多面體中，各個面是完全相同的正多邊形，各頂點(diǎn)所聚集的面數(shù)、邊數(shù)都相等的叫做正多面體.

圖4

圖5

圖6

接下來給出了歐拉的多面體定理，即v-e+f=2,v為頂點(diǎn)數(shù)，e為邊數(shù)，f為面數(shù)．要求學(xué)生探究、感受并確定其定理的成立．在“Colum”欄目介紹了“正多面體的立體”．“Colum”欄目就是設(shè)置與本節(jié)內(nèi)容相關(guān)聯(lián)的話題．具體介紹內(nèi)容如下：如圖7，試著將正六面體通過各邊中點(diǎn)進(jìn)行切割，考慮留下的立體圖形．它的頂點(diǎn)數(shù)為12，邊數(shù)為24，面數(shù)為14，于是可以使得歐拉多面體定理成立．這個圖形是由8個正三角形和6個正方形構(gòu)成的，被稱為立方八面體.

圖7

在緊隨其后的“研究”欄目中對只有五種正多面體進(jìn)行了如下解釋．

正多面體存在的兩個必要條件：

①聚集在一個頂點(diǎn)的面數(shù)為3個以上；

②頂點(diǎn)處多邊形的內(nèi)角和要小于360°．

根據(jù)①、②具體到正多面體的面也就是正多邊形，它的內(nèi)角要小于120°，而構(gòu)成正多面體的正多邊形就只有正三角形、正四邊形和正五邊形三種．

(1)當(dāng)正多面體的面為正三角形時,

正三角形的一個內(nèi)角為60°，根據(jù)條件②一個頂點(diǎn)聚集的面數(shù)是3、4、5中的任意一個．1條邊是兩個面的交線．(其中v為頂點(diǎn)數(shù)，e為邊數(shù)，f為面數(shù)．)

A.當(dāng)一個頂點(diǎn)聚集的面數(shù)是3時，如圖8，

圖8

因?yàn)関=3f÷3，e=3f÷2，

v-e+f=2

所以f=4.

即得正四面體.

B.當(dāng)一個頂點(diǎn)聚集的面數(shù)是4時,如圖9，

圖9

因?yàn)関=3f÷4，e=3f÷2，

v-e+f=2

所以f=8.

即得正八面體.

C.當(dāng)一個頂點(diǎn)聚集的面數(shù)是5時,如圖10，

圖10

因?yàn)関=3f÷5，e=3f÷2，

v-e+f=2

所以f=20.

即得正二十面體.

(2)當(dāng)正多面體的面為正四邊形時,

正四邊形的一個內(nèi)角為90°，根據(jù)條件②一個頂點(diǎn)聚集的面數(shù)只能是3．與(1)同理可得f=6，即得正六面體.

(3)當(dāng)正多面體的面為正五邊形時,

正五邊形的一個內(nèi)角為108°，根據(jù)條件②一個頂點(diǎn)聚集的面數(shù)只能是3．與(1)同理可得f=12，即得正十二面體.

在教科書末尾設(shè)置的“課題學(xué)習(xí)”中也安排了正八面體的動手制作課題六項(xiàng)：①將1邊長為5cm的正八面體展開圖組裝起來，然后尋找相互平行的面吧；②把課題1制作好的正八面體一面放置水平臺上，然后畫出它的透視圖；③若正八面體的邊長為1，則求出課題2所畫圖形的面積．接下來是考察正八面體與正四面體的關(guān)系：④將1邊長為5cm的正四面體展開圖組裝起來，嘗試能否把它裝進(jìn)課題1制作的正八面體中，如圖11．另外，將正四面體像課題2中正八面體那樣放置，對它們的高度進(jìn)行比較吧；⑤將1邊長為10cm的正四面體展開圖組裝起來，嘗試能否把課題1制作的正八面體裝進(jìn)正四面體中．另外，試著考慮正四面體體積是正八面體體積的幾倍；⑥像課題1、課題4、課題5那樣，也可以做其它各種各樣的立體，調(diào)查它們的性質(zhì)并進(jìn)行比較．

圖11

在《數(shù)學(xué)活用》當(dāng)中設(shè)置一節(jié)為“正多面體的作法”，清晰、詳細(xì)地呈現(xiàn)了通過折紙制作成的五種正多面體的作法，如圖12，展示的是正四面體的制作過程，其它具體內(nèi)容這里不再贅述．

圖12

小學(xué)正多面體的學(xué)習(xí)主要是一種直觀的、簡單的對長方體、正方體的學(xué)習(xí)，目的是為培養(yǎng)學(xué)生空間感，從而建立空間想象，為以后正多面體的學(xué)習(xí)做好扎實(shí)的鋪墊．初中在認(rèn)識了很多立體圖形的基礎(chǔ)上介紹多面體，其定義“用一些平面包圍的立體”直觀易懂但不甚嚴(yán)謹(jǐn)，同樣也給出了正多面體的定義，這些也是初中“立體幾何”作為一種實(shí)驗(yàn)幾何的體現(xiàn)．并通過融入數(shù)學(xué)史料闡明正多面體只有五種，然后在“數(shù)學(xué)廣場”部分對五種正多面體及其透視圖與展開圖進(jìn)行考察，通過五個問題培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力、分析問題能力和邏輯推理能力，對于這些問題并沒有給出答案，而是再次通過數(shù)學(xué)史料給學(xué)生以尋找答案的線索．

高中對多面體及其面、頂點(diǎn)、邊和對角線都給出了明確定義，隨后在給出凸多面體定義的基礎(chǔ)上給出了正多面體的嚴(yán)格定義．接下來出現(xiàn)了歐拉的多面體定理，并在“Colum”欄目講述了立方八面體，從這里也說明了正多面體滿足歐拉多面體定理，但滿足歐拉多面體定理的多面體不一定是正多面體．此外，這里也滲透了另一個數(shù)學(xué)史知識，即阿基米德多面體[注]阿基米德多面體：相對于每種柏拉圖多面體的面都是同樣的，古代科學(xué)巨匠阿基米德(Archimedes,BC287-212)發(fā)現(xiàn)的13種多面體的面是兩類或多類不同的多邊形，其環(huán)繞著多面體每一個頂點(diǎn)按照一定次序出現(xiàn)．實(shí)際上也可以將阿基米德多面體理解為是把柏拉圖多面體的頂點(diǎn)截掉或?qū)Π乩瓐D多面體進(jìn)行擴(kuò)展或推扭得到的，即從柏拉圖多面體演化而來．，立方八面體就是從柏拉圖多面體演化而來的阿基米德多面體的一種．在“研究”欄目也給出了正多面體存在的兩個必要條件及只有五種正多面體的證明，且從證明方法上來看，正是畢達(dá)哥拉斯思想和泰阿泰德證明方法有機(jī)結(jié)合的體現(xiàn)．高中正多面體的內(nèi)容是對初中正多面體內(nèi)容的深化和延伸，也可以看成是對初中“數(shù)學(xué)廣場”內(nèi)容的回應(yīng)．而教科書末尾設(shè)置的“課題學(xué)習(xí)”中也安排了動手制作課題六項(xiàng)，《數(shù)學(xué)活用》中通過折紙完成正多面體的制作，這些開放性欄目都是為學(xué)生動手操作能力和創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)而設(shè)置的．

從整體上看，日本小學(xué)、初中再到高中的正多面體內(nèi)容抓住了學(xué)生的階段性特點(diǎn)，合理安排知識的呈現(xiàn)方式，其實(shí)秉承的則是知識間有效銜接的理念．

4 正多面體的教育價值

事實(shí)上，上述日本教科書個案已經(jīng)很好地展現(xiàn)了正多面體的教育價值．

正多面體的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)史的了解．在今天學(xué)習(xí)正多面體內(nèi)容時仍然可以學(xué)習(xí)到很多歷史知識．例如歐拉公式，偉大數(shù)學(xué)家笛卡兒和歐拉獨(dú)立得出的永恒真理，讓我們在了解數(shù)學(xué)史的同時也體驗(yàn)畢達(dá)哥拉斯、柏拉圖、歐幾里得、笛卡兒、歐拉等偉大數(shù)學(xué)家們孜孜不倦、追求探索的精神．柏拉圖和開普勒的數(shù)學(xué)化的宇宙觀也讓我們感受到數(shù)學(xué)的奧秘．

正多面體的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)與其他學(xué)科間的關(guān)聯(lián)性．?dāng)?shù)學(xué)作為自然科學(xué)的工具，描述自然科學(xué)的語言，定然不會獨(dú)立存在．從正多面體的歷史可以看到，它的發(fā)展伴隨著天文學(xué)的發(fā)展、哲學(xué)的追問以及人類思想的進(jìn)步．除此之外，正多面體也應(yīng)用在很多美術(shù)、建筑、工藝等藝術(shù)作品中，如我們常見的骰子、魔方、黃金比例結(jié)構(gòu)等．

正多面體的學(xué)習(xí)有助于發(fā)展學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的系統(tǒng)性和完整性．正多面體雖然是空間立體圖形，但它不一定就是要在高中才具體學(xué)習(xí)．日本中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中對正多面體知識的呈現(xiàn)就較好地體現(xiàn)了知識的螺旋上升和遞進(jìn)發(fā)展．這種有效銜接使得學(xué)生對知識的掌握更加系統(tǒng)和完整．

正多面體的學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．正多面體本就是特殊的多面體，而由正多面體探索出的一般規(guī)律“歐拉公式”，又是從特殊到一般的推理，這對學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)大有裨益．而在推理中較多的運(yùn)算過程對數(shù)學(xué)運(yùn)算能力也是一種培養(yǎng)．正多面體的展開圖是三維到二維的轉(zhuǎn)化，正多面體的制作以及作圖又是二維到三維的發(fā)展，這些都有助于對學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)．

圖13

正多面體的學(xué)習(xí)有助于對學(xué)生動手能力、開放性思維的培養(yǎng)．正多面體內(nèi)容中有著豐富的動手實(shí)踐價值．《幾何原本》中全面嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼嗝骟w作圖方法、美國、香港教科書中正多面體的動手制作以及日本教科書中正多面體嵌套的復(fù)雜制作等，都已表明人們自古以來便注意到正多面體作圖及制作對學(xué)生動手能力和開放性思維培養(yǎng)的重要性．而在制作正多面體時也涉及到重要的黃金分割比．如圖13，y∶x=1.618……的矩形,3張上述的矩形即構(gòu)成正二十面體．(注：本文通訊作者代欽教授在日本學(xué)習(xí)和工作期間，東海大學(xué)平野葉一教授團(tuán)隊(duì)開發(fā)中小學(xué)數(shù)學(xué)校本課程時，用黃金比例矩形制作正二十面體，并給代欽教授展示，提供了具體材料．)而且學(xué)生在動手的同時更能深刻感受到數(shù)學(xué)的對稱美、和諧美以及“數(shù)學(xué)神奇”、“數(shù)學(xué)好玩”．

正多面體的學(xué)習(xí)有助于對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)．無論是從數(shù)學(xué)史的角度還是動手操作“數(shù)學(xué)好玩”的角度，都能夠激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，感受在本以為冷冰冰的公式背后有著太多有意思、有意義的故事．

5 結(jié)語

正多面體教育價值的重要性不言而喻，今天只是簡要的一瞥，正像日本著名數(shù)學(xué)家一松信所說：“僅僅詳細(xì)論述正多面體的歷史，就能寫成一本書”．[注][日]一松信.正多面體を解く[M].東京：東海大學(xué)出版會，1983：24.正多面體在以自然為源頭的時間長河中，流淌在古希臘哲學(xué)、天文學(xué)、數(shù)學(xué)、建筑、藝術(shù)等學(xué)科之中，它更多的價值亟待我們探索和重視．要知道這些并不是我們創(chuàng)造的，有時發(fā)現(xiàn)比創(chuàng)造更為重要．可以看到，美國、英國、日本、俄羅斯、中國香港等地的數(shù)學(xué)教科書中的正多面體，都是以知識為主，采用不同設(shè)計形式，為學(xué)生能很好地掌握正多面體的知識、發(fā)展學(xué)生動手操作能力、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維而呈現(xiàn)．遺憾的是，目前尚未在中國大陸現(xiàn)行數(shù)學(xué)教科書中發(fā)現(xiàn)正多面體的內(nèi)容．而在過去中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中有不少正多面體的內(nèi)容，如1961年人民教育出版社出版的《高級中學(xué)課本立體幾何》(暫用本)第二章第四節(jié)中有正多面體概念和對只存在五種正多面體的討論．這也是一個值得商榷的問題．由于正多面體的相關(guān)內(nèi)容豐富，在以后的研究中繼續(xù)探討．