基于按周期律拓展的El-Nabulsi分數階模型的Birkhoff系統(tǒng)的積分因子方法

蔡瓊輝，朱建青

（蘇州科技大學 數理學院，江蘇 蘇州215009）

通過構造非保守動力學系統(tǒng)守恒律的積分因子方法，最早追溯到1984 年由Djukic 提出[11]。該方法較為新穎，有限制條件少、便于運算等優(yōu)點，故積分因子方法在尋求力學系統(tǒng)守恒量方面有很大的發(fā)展前景。對此，喬永芬研究出了一系列重要成果[12-14]，張毅將積分因子方法應用于Birkhoff 系統(tǒng)[15]，束方平繼而拓展到了廣義Birkhoff 系統(tǒng)[16]。同時，束方平將積分因子方法推廣至基于Riemann-Liouville 分數階模型的力學系統(tǒng)[17]。

筆者采用積分因子方法來研究基于按周期律拓展的El-Nabulsi分數階模型的Birkhoff系統(tǒng)，尋找其守恒律。由于經典Birkhoff 系統(tǒng)、基于按周期律拓展的分數階積分的非保守Hamilton 系統(tǒng)和非保守Lagrange 系統(tǒng)都是文中系統(tǒng)的特例。因此，文中結論具有普遍意義。

1 基于按周期律拓展的分數階積分的El-Nabulsi-Birkhoff 方程

基于按周期律拓展的分數階積分的El-Nabulsi-Birkhoff 方程的一般形式為[10]

其中B（τ，a）為Birkhoff 函數，Rμ（τ，a）為Birkhoff 函數組。同時，0＜α≤1，這里，當α=1 時，方程（1）為經典Birkhoff 系統(tǒng)。τ 是固有時間，t是觀察時間，τ≠t，函數Rμ和B是其變量的C2類函數。對于系統(tǒng)（1），假設為非奇異，即det（Ωμv）≠0，則方程（1）可表示為

其中

2 積分因子和守恒定理

2.1 積分因子

定義1如果不變式

恒等地變?yōu)?/p>

總之，在數學課堂教學中，要提高學生在40分鐘內的學習效率，提高自身的教學質量，我們就應該充分做到備教材、備教法，提高自身的教學能力，發(fā)揮自身的主導。

其中ξ0、G和λμ是Birkhoff 變量a和時間τ 的函數，則稱ξμ＝ξμ（τ，a）為基于按周期律拓展的分數階積分的El-Nabulsi-Birkhoff 方程（1）的積分因子。

結合式（1）和式（4），則有

2.2 守恒定理

定理1如果函數ξμ是方程（1）的積分因子，那么基于按周期律拓展的El-Nabulsi分數階模型的Birkhoff系統(tǒng)存在守恒量（第一積分），為

若函數ξμ是方程（1）的積分因子，則每組函數ξμ，ξ0，G和λμ一定滿足必要條件（5）。條件（5）可寫成

顯然，如果函數組ξμ、ξ0、G和λμ滿足必要條件（7），那么沿著已知基于按周期律拓展的El-Nabulsi分數階模型的Birkhoff系統(tǒng)的運動軌線，使得式（6）的右端成為常數時，可得到一奇異函數組ξμ、ξ0、G和λμ。于是，有如下定理。

定理2對于非奇異函數組ξμ、ξ0、G和λμ，如果滿足必要條件（7），那么存在已知系統(tǒng)（1）的初積分（6）。

根據定理2，可求得函數組ξμ、ξ0、G和λμ，若對應于方程（7）不包含任何積分常數的任意解，就能得到系統(tǒng)的守恒量。

3 廣義Killing方程

求出函數ξμ＝ξμ（τ，a），ξ0＝ξ0（τ，a）和G＝G（τ，a）是利用上述定理來尋求系統(tǒng)守恒量的關鍵所在。這里可通過分解出ξμ、ξ0和G的一階偏微分，將方程（7）展開，所得的這些方程，稱為廣義Killing 方程，解廣義Killing方程則可能找到這些函數。具體操作中，有以下兩種廣義Killing 方程。

方法一將方程（7）展開，令其含a˙μ的項的系數和不含的項分別為零，得到

如果系統(tǒng)允許對ξμ、ξ0、G和λμ有非奇異解，那么初積分（6）自然存在。這里，有（2n+1）個線性偏微分方程，對應于（4n+2）個未知函數，因此，ξμ、ξ0、G和λμ不是唯一的。通過適當的選擇ξμ、ξ0、G和λμ，就可得到不同的守恒量。

方法二將必要條件（7）展開，應用式（2）和式（8），便有

這是一個線性偏微分方程，（2n+2）個函數ξμ、ξ0和G中的任意一個函數被認為是未知的。根據定理2，方程（11）對ξμ、ξ0和G的任何非奇異解產生一個初積分（6）。

4 算例

例1四階Birkhoff 系統(tǒng)為

試研究其基于按周期律拓展的分數階積分的El-Nabulsi 模型下的守恒量。

由Rμ計算出Birkhoff 張量

Birkhoff 逆變張量為

由方程（1）可得出系統(tǒng)的運動方程

然后，由廣義Killing 方程（11）可得

這里的式（16），取

可以驗證式（17）滿足必要條件（7），因此，由定理2 知，系統(tǒng)存在相應的守恒量

5 結語

對于基于按周期律拓展的El-Nabulsi分數階模型的Birkhoff系統(tǒng)，已有通過Noether 對稱性方法得出系統(tǒng)的守恒量。而積分因子方法是類似于構造保守系統(tǒng)能量積分的方法，更為新穎簡便。文中采用積分因子方法來研究系統(tǒng)的守恒律，是對該方法的進一步推廣應用，也為尋求基于分數階力學系統(tǒng)的守恒量提供了新的思路。

致謝：對張毅教授的悉心指導深表感謝！