高中函數(shù)建模教學(xué)設(shè)計(jì)

曹倩倩

[摘? ?要]看似簡單的數(shù)學(xué)函數(shù)卻包含了很多限制條件與現(xiàn)實(shí)問題的模型，函數(shù)的教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).將函數(shù)教學(xué)融入現(xiàn)實(shí)的生活中，形成建模思想，并展開建模教學(xué)，既能幫助學(xué)生深刻理解函數(shù)概念，又能幫助學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)知識解決問題，具有極其重要的教學(xué)意義.

[關(guān)鍵詞]函數(shù);建模教學(xué);高中數(shù)學(xué)

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）05-0021-02

函數(shù)教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，同時(shí)還是學(xué)生解決生活問題和將來學(xué)習(xí)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).因此，學(xué)好函數(shù)知識具有極其重要的意義.但是函數(shù)比較抽象，對中學(xué)生來說有一定的理解難度，是學(xué)習(xí)的難點(diǎn).為此，本文擬將函數(shù)教學(xué)與數(shù)學(xué)建模相結(jié)合，以期使學(xué)生對函數(shù)知識的理解能力和應(yīng)用能力得到有效提升.

一、高中函數(shù)與數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)理論知識和實(shí)際問題的橋梁.將數(shù)學(xué)建模思想融入高中函數(shù)教學(xué)中，能夠強(qiáng)化學(xué)生對抽象概念與性質(zhì)及其應(yīng)用的理解.在函數(shù)教學(xué)中，函數(shù)與對應(yīng)案例的選取，模型的建立與限制條件的確定，是決定建模成功與否的關(guān)鍵要素.在很多應(yīng)用案例中，所建立的模型往往會求出兩個(gè)或以上的解，其中部分解要根據(jù)限制條件舍去.對一些函數(shù)與案例建立的模型求出的解進(jìn)行代入驗(yàn)證時(shí)，發(fā)現(xiàn)這些解毫無意義，這說明模型的選擇是錯(cuò)誤的.

函數(shù)教學(xué)應(yīng)該選擇合適的建模案例，這是學(xué)生運(yùn)用函數(shù)知識解決問題的關(guān)鍵所在，它能夠促進(jìn)隱性知識和定義理論不斷轉(zhuǎn)化并逐步完善，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解.一些文獻(xiàn)中提出了用以加深學(xué)生對函數(shù)定義與性質(zhì)理解的數(shù)學(xué)建模案例，但這些案例多是經(jīng)過一定程度的數(shù)學(xué)建模加工得到的“成品”或“半成品”，問題的提法也已經(jīng)是數(shù)學(xué)化和理想化，具有條件清楚準(zhǔn)確、結(jié)論唯一、結(jié)果符合實(shí)際等特點(diǎn)，甚至可以說是已經(jīng)建立了完善的數(shù)學(xué)模型.

函數(shù)建模是將實(shí)際問題蘊(yùn)含的函數(shù)關(guān)系巧妙地、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用函數(shù)解析式反映出來，然后對所建立的函數(shù)進(jìn)行研究，以達(dá)到解決實(shí)際問題的目的.函數(shù)建模需注意以下幾點(diǎn).

（1）關(guān)注建立模型的合理性，即需要進(jìn)行合理的假設(shè);

（2）將所求得的結(jié)果進(jìn)行合理化驗(yàn)證，根據(jù)實(shí)際情況對所求的值進(jìn)行修改和完善，使之更加符合要求;

（3）一個(gè)函數(shù)模型可能會運(yùn)用多個(gè)函數(shù)表達(dá)式.

目前，中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及應(yīng)用性較強(qiáng)的函數(shù)類型有冪函數(shù)、三角函數(shù)等.故本文擬以冪函數(shù)、三角函數(shù)為例，介紹相關(guān)函數(shù)建模的教學(xué)設(shè)計(jì).

二、冪函數(shù)建模教學(xué)設(shè)計(jì)

在日常生活中，我們經(jīng)常會遇到一些數(shù)學(xué)問題，這些問題和中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)有著密切的聯(lián)系.比如，在商店購買商品時(shí)，如何買商品既劃算又不會造成物品使用的浪費(fèi)，這類問題的解決與冪函數(shù)有緊密關(guān)聯(lián).不同規(guī)格的商品的價(jià)格是確定的，各個(gè)生產(chǎn)要素決定了商品的價(jià)格.

例如，某火腿腸廠家生產(chǎn)火腿腸出售，其中60 g的火腿腸售價(jià)為1.15元，而150 g的火腿腸售價(jià)為2.5元，現(xiàn)有某施工單位為了滿足職工需求，生產(chǎn)180 g的火腿腸，該如何確定該火腿腸的定價(jià).

（1）假設(shè)各要素對應(yīng)的參數(shù)

y、y1、y2分別為火腿腸的出廠價(jià)、火腿腸的生產(chǎn)成本、火腿腸的包裝費(fèi)用;w表示火腿腸的重量;[S]表示火腿腸的包裝面積.

（2）合理假設(shè)，建立模模

根據(jù)日常生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，火腿腸的出廠價(jià)格是由火腿腸的生產(chǎn)成本、包裝成本和人工成本決定的，為了將模型理想化，將人工成本假設(shè)為0或固定值，不參與計(jì)算.

當(dāng)生產(chǎn)量較大時(shí)，火腿腸的生產(chǎn)成本和火腿腸的重量成正比例關(guān)系，系數(shù)為k1;

當(dāng)生產(chǎn)量較大時(shí)，火腿腸的包裝成本和火腿腸的包裝面積成正比例關(guān)系，系數(shù)為k2;

當(dāng)生產(chǎn)量較大時(shí)，火腿腸的包裝面積和火腿腸的質(zhì)量成正比例關(guān)系，系數(shù)為k3;

火腿腸包裝表面積的計(jì)算公式為[Sw=k3w23].

（3）建立數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

假如上述假設(shè)是合理的，那么可以求得：

（4）合理修正結(jié)果

求得火腿腸的出廠價(jià)格約為2.93元，考慮整箱包裝費(fèi)用、其他細(xì)節(jié)費(fèi)用以及銷售便利程度等因素，零售定價(jià)應(yīng)為3.00元.

（5）案例啟示

本次建立的數(shù)學(xué)模型將很多環(huán)節(jié)進(jìn)行理想化，例如火腿腸的生產(chǎn)成本和質(zhì)量并不是完全成正比，嚴(yán)格來講，應(yīng)該是一次函數(shù)關(guān)系;實(shí)際生產(chǎn)過程中人工成本占有很大的比例;等等.本次建模為了便于計(jì)算，均進(jìn)行了理想化.在計(jì)算過程中，火腿腸的體積和對應(yīng)的表面積是按照規(guī)則形狀計(jì)算的，但實(shí)際上存在偏差，在實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)該進(jìn)一步校正.

上述實(shí)際問題就是函數(shù)與模型建立之間的關(guān)系，根據(jù)實(shí)際問題提取其中的重要信息，結(jié)合不同火腿腸的質(zhì)量所對應(yīng)的各項(xiàng)成本建立冪函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行分析與求解.

三、 三角函數(shù)建模教學(xué)設(shè)計(jì)

三角函數(shù)較為抽象，如果不與實(shí)際問題相結(jié)合，學(xué)生是很難理解的.因此，三角函數(shù)教學(xué)中，教師應(yīng)在現(xiàn)實(shí)實(shí)物的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，以此來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.三角函數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活密不可分，三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用也十分廣泛.如現(xiàn)實(shí)生活中的“輪子問題”就與三角函數(shù)關(guān)系密切.

復(fù)雜的三角函數(shù)問題往往是由簡單的三角函數(shù)問題組合而成，簡單的三角函數(shù)問題往往通過直角坐標(biāo)系來解決.

以上簡單的三角函數(shù)問題如果單憑想象很難解決，但是如果把問題放置到直角坐標(biāo)系中來，問題即可迎刃而解.

對于比較復(fù)雜的三角函數(shù)問題，需要一一分解，再將分解出來的每個(gè)問題逐個(gè)建立數(shù)學(xué)模型，再將其組合在一起，從而解決問題.

例如，某游樂園為了吸引顧客，打算建造一個(gè)在一定時(shí)間內(nèi)在水下經(jīng)過的摩天輪，已知摩天輪的半徑為L（如圖3），摩天輪的圓心用O表示，摩天輪的圓心O在水面之上，且距離水面的距離為l，已知摩天輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)n圈，當(dāng)游客箱處于點(diǎn)A位置時(shí)進(jìn)行計(jì)時(shí)，假設(shè)水深為h，那么P點(diǎn)距離水底的高度與時(shí)間T的關(guān)系式該如何表達(dá)？

如果直接回答此問題很困難，但若將其分解為幾個(gè)小問題，再逐級對每個(gè)小問題建立模型求解，此問題的解答就相對容易了.

首先，將此問題放入平面直角坐標(biāo)系中，建立具體模型;其次，將問題分解為點(diǎn)P距離水面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.點(diǎn)P到達(dá)最高點(diǎn)所需要的時(shí)間是多少？點(diǎn)P到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間節(jié)點(diǎn)分別是什么？點(diǎn)P潛入水面以后距離水面的距離與時(shí)間的關(guān)系是什么？一個(gè)圓周內(nèi)點(diǎn)P共在水下持續(xù)多長時(shí)間？等等.如果將以上問題按照順序逐一回答，熟悉點(diǎn)P在整個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)內(nèi)每個(gè)點(diǎn)的情況，那么點(diǎn)P位與t的函數(shù)關(guān)系式就非常簡單了.

綜上可知，函數(shù)教學(xué)與數(shù)學(xué)建模密不可分，尤其是類似于冪函數(shù)和三角函數(shù)等較為抽象的函數(shù).教師在函數(shù)教學(xué)中要不斷引導(dǎo)學(xué)生將簡單的函數(shù)關(guān)系與生活實(shí)際相結(jié)合;在解決問題的過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)中的問題進(jìn)行理想化，進(jìn)而歸結(jié)到函數(shù)關(guān)系中，并將求得的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證和合理地取舍.這樣，既讓學(xué)生能進(jìn)到模型中去，又能回到現(xiàn)實(shí)中來，真正實(shí)現(xiàn)活學(xué)活用.

[? 參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ]

[1]? 賈晨. 數(shù)學(xué)模型思想在中專生函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用研究[D].合肥：合肥師范學(xué)院，2018.

[2]? 馮愛美. 數(shù)學(xué)建模思想融入函數(shù)教學(xué)的實(shí)踐研究[D].西安：陜西師范大學(xué)，2015.

[3]? 徐園園. 高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)策略[D].西安：西北大學(xué)，2015.

[4]? 岳海彥. 崇禮區(qū)一中初中生函數(shù)建模問題案例分析[D].石家莊：河北師范大學(xué)，2017.

[5]? 紀(jì)雪穎. 高中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力水平研究[D].上海：華東師范大學(xué)，2010.

（特約編輯 安 平）